人教B版选修45 一般形式的柯西不等式 课时提升作业.doc

一般形式的柯西不等式课时提升作业一、选择题(每小题4分,共12分)1.(2016珠海高二检测)已知a,b,c,x,y,z为正数,且a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,ax+by+cz=20,则a+b+cx+y+z=()a.14b.13c.12d.34【解析】选c.由已知得(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=(ax+by+cz)2,结合柯西不等式,知ax=by=cz=12,所以a+b+cx+y+z=12.2.已知x,y,z是非负实数,若9x2+12y2+5z2=9,则函数u=3x+6y+5z的最大值是()a.9b.10c.14d.15【解析】选a.因为(3x+6y+5z)212+(3)2+(5)2(3x)2+(23y)2+(5z)2=9(9x2+12y2+5z2)=81,所以3x+6y+5z9.当且仅当x=13,y=12,z=1时,等号成立.故u=3x+6y+5z的最大值为9.3.已知a2+b2+c2=1,若a+b+2c|x+1|对任意实数a,b,c恒成立,则实数x的取值范围是()a.x1或x-3b.-3x1c.x-1或x3d.-1x3【解题指南】根据题目中的a2+b2+c2=1和a+b+2c|x+1|的结构形式,可以联想使用柯西不等式.【解析】选a.由柯西不等式得:(a2+b2+c2)(1+1+2)(a+b+2c)2,所以a+b+2c2,又因为a+b+2c|x+1|,所以|x+1|2,解之得x1或x-3.二、填空题(每小题4分,共8分)4.已知x,y,zr,且2x+2y+z+8=0,则(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2的最小值为_.【解析】因为(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2(4+4+1)(2x+2y+z-1)2=81,所以(x-1)2+(y+2)2+(z-3)29.答案:95.设a,b,c为正数,则(a+b+c)4a+9b+36c的最小值是_.【解析】(a+b+c)4a+9b+36c=(a)2+(b)2+(c)22a2+3b2+6c2a2a+b3b+c6c2=(2+3+6)2=121.当且仅当a2=b3=c6时等号成立.答案:121三、解答题6.(10分)(2016深圳高二检测)已知定义在r上的函数f(x)=x+1+x-2的最小值为a,又正数p,q,r满足p+q+r=a.求证p2+q2+r23.【证明】因为f(x)=x+1+x-2(x+1)-(x-2)=3,即函数f(x)=x+1+x-2的最小值a=3.所以p+q+r=3.由柯西不等式得(p2+q2+r2)(1+1+1)(p+q+r)2=9,于是p2+q2+r23.一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知x,y是实数,则x2+y2+(1-x-y)2的最小值是()a.16b.13c.6d.3【解析】选b.由柯西不等式,得(12+12+12)x2+y2+(1-x-y)2x+y+(1-x-y)2=1.即x2+y2+(1-x-y)213.当且仅当x=y=1-x-y.即x=y=13时,x2+y2+(1-x-y)2取得最小值13.【补偿训练】(2015珠海高二检测)已知a12+a22+an2=1,x12+x22+xn2=1,则a1x1+a2x2+anxn的最大值是()a.1b.2c.3d.4【解析】选a.因为(a1x1+a2x2+anxn)2(a12+a22+an2)(x12+x22+xn2)=11.当且仅当a1x1=a2x2=anxn时,等号成立.所以a1x1+a2x2+anxn的最大值为1.2.(2016长沙高二检测)已知为锐角,则1+1sin1+1cos的最小值为()a.3-22b.3+22c2-1d.2+1【解析】选b.1+1sin1+1cos1+1sincos2,当且仅当sin=cos时等号成立,此时1+1sincos2=1+22=3+22.即1+1sin1+1cos的最小值为3+22.二、填空题(每小题5分,共10分)3.方程21-2x+4x+3=15的解为_.【解题指南】利用柯西不等式等号成立的条件构建方程求解.【解析】由柯西不等式,得(21-2x+4x+3)2=21-2x+22x+32222+(2)2(1-2x)2+2x+322=652=15,即21-2x+4x+315.当且仅当1-2x2=2x+322,即x=-13时,等号成立.故原方程的根是x=-13.答案:x=-134.(2016西安高二检测)边长为a,b,c的三角形abc,其面积为14,外接圆半径为1,若s=a+b+c,t=1a+1b+1c,则s与t的大小关系是_.【解析】由已知得12absinc=14,csinc=2r=2.所以abc=1,所以1a+1b+1c=ab+bc+ca,由柯西不等式得1a+1b+1c(ab+bc+ca)(b+c+a)2,所以1a+1b+1c2(a+b+c)2.即1a+1b+1ca+b+c.当且仅当a=b=c=1时等号成立.答案:st三、解答题5.(10分)(2016石家庄高二检测)设a1a2anan+1,求证:1a1-a2+1a2-a3+1an-an+1+1an+1-a10.【证明】为了运用柯西不等式,我们将a1-an+1写成a1-an+1=(a1-a2)+(a2-a3)+(an-an+1),于是(a1-a2)+(a2-a3)+(an-an+1)1a1-a2+1a2-a3+1an-an+1n2