人教B版选修45 绝对值三角不等式 课件（29张）.ppt

高中数学人教b版选修4 5不等式选讲 no 1middleschool mylove no 1middleschool mylove 第4课时绝对值三角不等式 若点o为数轴的原点 a b为数轴上的任意两点 则一定有 ab ao ob 吗 如果原点o的坐标为0 而a b两点在数轴上的坐标分别为a b 那么一定有 a b a b 吗 no 1middleschool mylove 预学1 定理1如果a b是实数 那么 a b a b 当且仅当ab 0时 等号成立 议一议 说出不等式 a b a b 等号成立的条件 解析 等号成立的条件是ab 0且 a b no 1middleschool mylove 预学2 定理2如果a b c是实数 那么 a c a b b c 当且仅当 a b b c 0时 等号成立 想一想 方程 2 x x 4 2的解集是多少 解析 2 x x 4 2 4 2 当且仅当 2 x x 4 0 即2 x 4时等号成立 方程 2 x x 4 2的解集为 2 4 no 1middleschool mylove 预学3 a b 与 a b a b 与 a b 及 a b 之间的关系 a b a b a b a b a b 当ab 0时 a b a b 当ab 0时 a b a b 练一练 若a b r 且 a 3 b 2 则 a b 的最大值是 最小值是 解析 a b a b a b 故 a b 的最大值是5 最小值是0 答案 50 no 1middleschool mylove 预学4 不等式 a b a b a b 中等号成立的条件左边等号成立的条件是ab 0 右边等号成立的条件是ab 0 a b a b 等号成立的条件是ab 0 想一想 不等式 a b a b a b 其中左右两边等号成立的条件分别是什么 解析 a b a b 等号成立的条件是ab 0 a b a b 等号成立的条件ab 0 no 1middleschool mylove 1 利用绝对值三角不等式证明例1 已知 0 x 2a y 3b 求证 2x 3y 4a 9b 方法指导 利用绝对值不等式的性质及基本不等式的性质证明 no 1middleschool mylove 解析 2x 3y 4a 9b 2x 3y 4a 9b 2 x 2a 3 y 3b 2 x 2a 3 y 3b 2 3 所以 2x 3y 4a 9b no 1middleschool mylove 变式训练1 已知f x a b 求证 f a f b a b 解析 f a f b 又 a b a b 1 no 1middleschool mylove a b a b 0 a b 1 即 f a f b a b no 1middleschool mylove 2 利用绝对值三角不等式解决函数的最值问题例2 对于任意的实数a a 0 和b 不等式 a b a b m a 恒成立 1 求实数m的最大值 2 若实数m的最大值为m 当x 1时 解不等式 x 1 x 2 m no 1middleschool mylove 方法指导 1 不等式变形为m 对于任意的实数a a 0 和b恒成立 再进行求解 2 去掉绝对值可以求得 x 1 x 2 m的解集 no 1middleschool mylove 解析 1 不等式 a b a b m a 恒成立 即m 对于任意的实数a a 0 和b恒成立 故只要左边恒小于或等于右边的最小值 所以 a b a b a b a b 2 a 当且仅当 a b a b 0时等号成立 即当 a b 时 2成立 所以 的最小值是2 故m的最大值为2 no 1middleschool mylove 2 由 1 知m 2 不等式 x 1 x 2 m 即 x 1 x 2 2 当x 1时 不等式可化为1 x 2 x 2 解得 x 1 故 x 1 x 2 2的解集为 x x 1 no 1middleschool mylove 变式训练2 设函数f x x x a a 0 1 证明 f x 4 2 若f 2 5 求a的取值范围 no 1middleschool mylove 解析 1 由公式 a b a b 及基本不等式可证得f x x x a x x a a a 2 4 no 1middleschool mylove 2 因为f 2 2时 a2 a 4 0 解得 a 2 a 综上 a的取值范围为1 a no 1middleschool mylove 3 绝对值三角不等式的应用例3 若a r且 a 1 函数f x ax2 x a 1 x 1 求证 f x 方法指导 可以根据绝对值三角不等式的性质对 进行变形 然后利用二次函数的性质进行证明 no 1middleschool mylove 解析 f x x2 1 a x x2 1 a x x2 1 x 1 x2 x x 2 no 1middleschool mylove 变式训练3 设函数f x x 3 x a 其中a r 1 当a 2时 解不等式f x 1 2 若对于任意实数x 恒有f x 2a成立 求a的取值范围 no 1middleschool mylove 解析 1 当a 2时 f x 0 所以0 x 3 当x 3时 不等式为x 3 x 2 1 得 5 1 不等式恒成立 所以x 3 综上可知 不等式f x 1的解集是 0 no 1middleschool mylove 2 因为f x x 3 x a x 3 x a a 3 所以f x 的最大值为 a 3 对于任意实数x 恒有f x 2a成立等价于 a 3 2a 当a 3时 不等式为a 3 2a 得a 3 当a 3时 不等式为 a 3 2a 得a 1 无解 综上 所求a的取值范围是 3 1 两数和与差的绝对值不等式的性质 a b a b a b 1 对绝对值三角不等式定理 a b a b a b 中等号成立的条件要深刻理解 特别是用此定理求函数的最值 2 该定理可强化为 a b a b a b 它经常用于证明含绝对值的不等式 no 1middleschool mylove 2 含绝对值不等式的证明主要分两类 一类是比较简单的不等式 往往可通过平方法 换元法去掉绝对值符号转化为常见的不等式证明题 或利用绝对值不等式的性质 a b a b a b 通过适当的添 拆项证明 另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式 往往可考虑利用一般情况成立则特殊情况也成立的思想 或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明 no 1middleschool mylove no 1middleschool mylove 2016年江苏卷 设a 0 x 1 y 2 求证 2x y 4 a no 1middleschool mylove 解析 因为 x 1