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第3章张量函数及其导数 2020年3月9日 1 主要内容 张量函数 各向同性张量函数的定义和例矢量的标量函数二阶张量的标量函数二阶张量的二阶张量函数张量函数导数的定义 链规则矢量的函数之导数二阶张量的函数之导数 2 张量函数 各向同性张量函数的定义和例 要研究导数 必须引进函数 张量函数 有各种类型 例如 张量的标量函数 例如 张量的张量函数 3 张量函数 各向同性张量函数的定义和例 各向同性张量函数 客观性背景 可先看各向同性标量函数 在坐标系刚性旋转变换下 其表现形式和数值均保持不变 例如 4 张量函数 各向同性张量函数的定义和例 等价表示或等价描述 上述各向同性函数的描述 虽然清晰 但很不方便 因为坐标系要旋转 问题 能否找到一种等价描述 在该描述下 坐标系保持不动 经典 解析几何 中 解析地描述一个几何图形的运动 有两种不同的思想 一种思想 图形不动 移动坐标 但运动是相对的 于是另一种思想 坐标不动 图形移动 注意 运动学思想之重要 5 张量函数 各向同性张量函数的定义和例 考察一个最简单的图形 一个矢量 研究两种相对的旋转运动下 矢量的表达 以及矢量的标量函数的表达 一种旋转运动 矢量不动 坐标系顺时针旋转一个角度 函数不变 另一种旋转运动 坐标系不动 矢量逆时针旋转同一个角度 函数不变 进一步 6 张量函数 各向同性张量函数的定义和例 矢量的旋转量 二阶张量的旋转量 进一步看 7 张量函数 各向同性张量函数的定义和例 把上述思想推广至一般情形 各向同性张量函数 函数 满足当自变量 改为其旋转量 时 函数值 必相应地 变为其旋转量 即 通过正交变换 使 从而使 8 张量函数 各向同性张量函数的定义和例 各向同性张量函数 例子请见 张量分析 的92 93页 9 矢量的标量函数 Cauchy基本表示定理 矢量 的标量函数 为各向同性 f可表示为内积 的函数 推论 矢量 的标量函数 为各向同性 f可表示为 10 张量的标量函数 定理1 若 为各向同性函数 例 屈服函数 定理2 若 为各向同性函数 时 发生屈服 张成的曲面为屈服面 因此 一次项 二次项 三次项 11 张量的标量函数 例 屈服函数 若材料不可压缩 马氏体相变 金属材料 塑性屈服 考虑 因此有 消失 若只研究二次项 消失 因此有 若材料可压缩 则与 有关 因此有 12 二阶张量的二阶张量函数 二阶张量的解析函数 幂级数 仿照复变函数中的解析函数来构造二阶张量的解析函数 如何确定 13 二阶张量的二阶张量函数 Hamilton Cayley等式 推广 T的特征多项式 H C等式 均可用来表达 由于 也就是说 H C等式的意义 只需研究低次项 而无需高次项 14 二阶张量的二阶张量函数 例 应力应变关系 1 各向同性材料 未加载时 有 2 线性各向同性材料 则 因此 有 15 张量函数导数的定义 链规则 有限微分 导数与微分 函数的导数 微分 有限微分是张量函数导数的核心 先对函数概念做扩展 A是自变量 可以是标量 矢量 张量 B是函数 也可以是标量 矢量 张量 16 典型例子 非线性弹性材料 过去 这样求导 似乎天经地义 本章假定 仅研究直线坐标系下张量函数的导数 换言之 基矢量不变 是常矢量 17 如果 且x是标量 则总有 然而 如果 且v是矢量 就没有任何意义了 因此 微分的概念要拓展 18 从微分到有限微分 出发点 仍然是传统的微分称为函数F x 对z的有限微分 其中 h 无量纲无穷小量 z 自变量x的有限增量 与x同量纲 令z 1 立即有 19 可以证明 这是有限微分与传统微分之间的关系 线性关系 令dx hz 则有 即得 进一步 20 进一步推广 矢量的矢量函数 有限微分运算具有线性性与可和性 线性性 可和性 规定gi是常矢量 21 矢量的矢量函数的有限微分 22 张量的张量函数的有限微分 协变微分意义下 张量函数 其中 注意 至此 都只是给出定义 23 张量函数导数的链规则 类似于经典的复合函数求导 经典复合函数的导数 张量的张量复合函数的导数 二阶张量 24 矢量的函数之导数 矢量的 矢量 标量 张量 函数之导数 先看矢量的标量函数之导数 已有 出发点 仍为定义 于是 关键是计算 25 26 于是有 比较 定义式和计算式 u任意 故立即有 27 矢量的函数之导数 推而广之 矢量的函数求导数的计算式 矢量的 矢量 标量 张量 函数之导数 28 张量的函数之导数 张量的函数求导数的计算式 张量的 矢量 标量 张量 函数之导数 29 张量的函数