多元函数微分学(1).ppt

多元函数微分学 习题课 一 主要内容 二 典型例题分析 一 主要内容 1 区域 1 邻域 2 区域连通的开集称为区域或开区域 3 聚点 4 n维空间 2 多元函数概念 1 二元函数 2 当n 2时 n元函数统称为多元函数 3 多元函数的极限及求法 注意 定义中P P0的方式是任意的 4 多元函数的连续性 1 最大值和最小值定理 2 介值定理 5 多元连续函数的性质 6 偏导数概念及求法 7 高阶偏导数及求法 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数 8 全微分概念及求法 9 多元函数连续 偏导存在 可微的关系 10 复合函数求导法则 1 复合函数的中间变量均为一元函数的情形 2 复合函数的中间变量均为多元函数的情形 3 复合函数的中间变量既有一元函数 又有多元函数的情形 11 全微分形式不变性 12 隐函数的求导法则 13 多元函数的极值与最值 1 定义及求法 2 条件极值及求法 二 典型例题分析 解题思路 1 利用多元初等函数的连续性求二元函数的极限 如例1 3 利用夹逼定理求二元函数的极限 如例3 题型1求二元函数的极限 2 利用变量替换将求二元函数极限的问题转化为求一元函数极限的问题 如例2 4 判定二元函数的极限不存在 如例4 例1求极限 解 例2求极限 解 解 例3求极限 例4判定极限是否存在 解 不存在 题型2求多元函数的偏导数与全微分 4 利用多元复合函数的求导法则求函数的全导数或偏导数 如例6 11 5 用隐函数的求导公式求偏导数 如例12 14 解题思路 1 已知二元函数的偏导数 求二元函数 如例1 3 利用全微分的概念求函数的全微分 如例4 5 2 利用偏导数的概念求函数的偏导数 如例2 3 例1设z x y 满足求z x y 解 两边对x积分 得 代入题设条件 得 其中 y 为待定函数 例2设求 解 例3设求 解 例4求函数的全微分 解 例5设z z x y 是由方程所确定的函数 其中具有二阶导数且 1 求dz 2 记 求 解 1 由所给方程的两边求全微分 得 2 解 例6设函数u x 由方程组所确定 且试求 方程组各方程两边对x求导 得 由 3 得 代入 2 得 代入 1 得 例7设u f x y z 有连续的一阶偏导数 又函数y y x 及z z x 分别由下列两式确定 解 由exy xy 2两边对x求导 得 和 求 由两边对x求导 得 解 例8设f具有二阶连续偏导数 求 函数都可微 求 例9设其中 解法1 由多元复合函数的求导法则 得 解法2 由全微分形式的不变性 得 于是 例10设z f u 方程确定u是x y的函数 其中f u u 可微 连续 且 求 解 由方程z f u 可得 即 例11设函数f u v 具有二阶连续偏导数 且满足 解 又 求 例12设函数z z x y 由方程所确 定 试求 解法1 利用隐函数求导公式 令 则 解法2 方程两边分别对x y求导 得 解得 解法3 由所给方程的两边求全微分 得 即 解得 例13试证由方程所确定的函数z z x y 满足 证明 令 则 例14设函数z z x y 由方程所确定 证明 证明 令 则 题型3多元函数的极值与最值问题 解题思路 1 利用函数极值的定义讨论函数的极值 如例1 2 求函数的无条件极值 如例2 3 3 利用拉格朗日乘数法求条件极值 如例4 7 例1设函数f x y 在点O 0 0 及其邻域内连续 且讨论f x y 在点O 0 0 是否有极值 若有 是极大值还是极小值 解 存在点O 0 0 的某个邻域内 使得在该邻域内有 故函数f x y 在点O 0 0 处有极大值 且 即 例2证明函数有无穷多个极大值 但无极小值 证明 其二阶偏导数为 函数f x y 取得极大值 函数f x y 无极值 故f x y 有无穷多个极大值 但无极小值 例3某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售 售价分别为p1和p2 销售量分别为q1和q2 需求函数分别为和 总成本函数为 试问 厂家如何确定两个市场的售价 才能使得获得的总利润最大 最大利润为多少 解 总收入函数与总利润函数分别为 由函数取得极值的必要条件得 解方程组得唯一驻点 80 120 由问题的实际意义知 当p1 80 p2 120时 厂家所获得的总利润最大 其最大总利润为 解 例4求函数在附加条件下的极值 作拉格朗日函数 则由 解得驻点为 当时 函数取得最大值u 3 从而也是极大值 当时 函数取得最小值u 3 从而也是极小值 所给函数在闭球面上连续且不为常数 必取得最大值与最小值且二者不相等 又条件极值点只有两个 例5求函数在约束条件和下的最大值和最小值 解 作拉格朗日函数 则由 解得 或 该函数在所给旋转抛物面及平面上连续且不为常数 该函数必取得最大值与最小值且二者不相等 即可能极值点为 2 2 8 1 1 2 例6当x 0 y 0 z 0时 求函数u lnx 2lny 3lnz在球面上的最大值 并证明对任意的正实数a b c 不等式成立 解 由函数取得极值的必要条件 得 设 例7某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告 根据统计资料 销售收入R 万元 与电台广告费用x 万元 及报纸广告费用y 万元 之间的关系有如下的经验公式 1 在广告费用不限的情况下 求最优广告策略 2 若提供的广告费用为1 5万元 求相应的最优广告策略 解 1 利润函数为 解方程组 求得驻点为 0 75 1 25 根据题意可知 该问题的最优广告策略一定存在 又 0 75 1 25 是函数的唯一驻点 最优广告策略是用0 75万元作电台广告 用0 75万元作报纸广告时 2 若广告费用为1 5万元 则该问