大学文科数学4.ppt

1 第四章导数的应用问题 洛必塔法则 函数的性质和图像 2 28 53 70 1 认识中值定理 洛必塔法则 2 基本掌握用导数研究函数的性质和绘制函数的图像的方法 3 掌握利用洛必达法则求极限的方法 4 了解业余数学家费马的事迹及其对数学的贡献 1 拉格朗日中值定理 2 洛必塔法则求极限的方法 3 函数的极值和最值 教学目标 教学重点 3 28 53 70 1联结局部与整体的纽带 中值定理 中值定理揭示了函数在某区间的整体性质与该区间内部某一点的导数之间的关系 因而称为中值定理 中值定理既是用微分学解决实际问题的理论基础 又是解决微分学自身发展的一种理论性数学模型 因而也称为微分基本定理 4 28 53 70 先介绍函数极值的定义 1 1 费马定理 5 28 53 70 定义 函数的极大值与极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点 6 28 53 70 定理1 必要条件 7 28 53 70 定义 注意 例如 8 28 53 70 补充 罗尔 Rolle 定理 9 28 53 70 证 10 28 53 70 注意 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足 其结论可能不成立 例如 又例如 不满足端点相等条件 不满足闭区间条件 11 28 53 70 1 2拉格朗日 Lagrange 中值定理 12 28 53 70 几何解释 注意 拉格朗日公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系 即 反映了函数在 a b 上整体变化的平均变化率和区间内某点出局部变化率之间的关系 是连接整体与局部的桥梁 13 28 53 70 2计算不定式极限的一般方法 洛必塔法则 14 28 53 70 定义 例如 15 28 53 70 定理 定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则 注意 三个条件都要符合 若用了一次洛必达之后 仍符合洛必达条件 则可继续使用洛必达法则 16 28 53 70 例1 解 例2 解 随时检查是否满足定理条件 17 28 53 70 例3 解 例4 解 若出现复杂分式可化简后再判断是否可以再次使用洛必达法则 18 28 53 70 例5 解 若用了一次洛必达之后 仍符合洛必达条件 则可继续使用洛必达法则 19 28 53 70 例7 解 关键 将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型 步骤 20 28 53 70 例8 解 步骤 21 28 53 70 例12 解 注意 洛必达法则的使用条件 22 28 53 70 3用导数研究函数的性质 单调性 极值和最值 23 28 53 70 一 单调性的判别法 定理 注意 y f x 若在 a b 上连续 单调区间也是 a b 若在 a b 上连续 单调区间也是 a b 这是由连续性所保证 24 28 53 70 例1 解 注意 函数的单调性是一个区间上的性质 要用导数在这一区间上的符号来判定 而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性 25 28 53 70 二 函数极值的求法 定理1 必要条件 定义 注意 对一般函数而言 极值点不一定是驻点 驻点不一定是极值点 26 28 53 70 定理2 第一充分条件 是极值点情形 不是极值点情形 27 28 53 70 求极值的步骤 极值点可能出现的两个位置 28 28 53 70 例1 解 列表讨论 极大值 极小值 29 28 53 70 图形如下 30 28 53 70 例3 解 注意 函数的不可导点 也可能是函数的极值点 31 28 53 70 定理3 第二充分条件 证 32 28 53 70 例2 解 33 28 53 70 3 3函数的最大值和最小值 定义 若函数在其定义域 a b 上的函数值满足 则m和M分别称为函数的最小值和最大值 34 28 53 70 闭区间上的连续函数其最大值和最小值只可能在区间的端点及区间内的极值点处取得 而极值点有可能在驻点和不可导点取得 函数在闭区间 a b 上的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中的最大者 其最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中的最小者 极值与最值的关系 35 28 53 70 最大值和最小值的求法 1 求出函数f x 在 a b 内的驻点和不可导点 设这此点为x1 x2 xn 2 计算函数值f a f x1 f xn f b 3 判断 最大者是函数f x 在 a b 上的最大值 最小者是函数f x 在 a b 上的最小值 36 28 53 70 二 应用举例 例1 解 计算 比较得 37 28 53 70 例4 小学生接受新概念时接受能力函数为 问t为何值时学生学习兴趣激增或减退 何时学习兴趣最大 解 由 得唯一驻点 可见第13分钟时小学生兴趣最大 38 28 53 70 实际问题求最值应注意 1 建立目标函数 2 求最值 39 28 53 70 业余数学家之王 费马 费马 1601 1665 是一位对我们有教益的法国数学家 出身于皮革之家 求学期间没有留下值得传诵的奇闻轶事 30岁时获得法学学士学位 毕业后担任律师 费马的社会工作非常繁忙 但他酷爱数学 利用全部业余时间 从事数学研究 费马在笛卡尔 几何学 发表之前 就于1629年发现了解析几何的基本原理 建立了坐标法 是解析几何的发明人之一 同年写了 求最大最小值的方法 40 28 53 70 费马善于思考 特别善于猜想 如费马大定