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文档简介

偏微分方程模型 前面建立的模型都用了考察对象在系统中的均匀分布假设 这种方法建模被称为集中参数法 考虑个体差异 或分布差异 的建模方法被称为分布参数法 分布参数法用于连续变量的问题时 得到的通常都是偏微分方程 无论建模还是求解都比较困难 仅举两个简单例子 来说明这种方法的应用 1 人口问题的偏微分方程模型 人有年龄 性别等区别 本例中考虑到这些因素 用分布参数法来建立人口问题的数学模型 令p t x 为t时刻年龄为x的人口密度 则t时人口总数为 其中A为人的最大寿命 设t时刻年龄为x的人的死亡率为d t x 则有 dx dt 由上式可导出 初始条件 P 0 x P0 x 2 边界条件 3 1 对 1 式关于x从0到A积分 得 令 B t D t 分别为t时刻的生育率和死亡率 则有 若B t D t 与t无关 则可得 2 交通流问题 现实生活中可能吗 车流密度和车速不可能是常数 分布参数法 x轴表示公路 x轴正向表示车流方向 如果采用连续模型 设u t x 为时刻t时车辆按x方向分布的密度 再设q t x 为车辆通过x点的流通率 由于安全上的原因 q是u的函数 该函数关系称为基本方程或结构方程 车辆数守恒 有 利用经验公式导出基本方程 图1是根据美国公路上的车辆情况而统计出来的曲线 其中u的单位是车辆数 每英里 q的单位为车辆数 每小时 图中可以看出 2 u增大到一定程度 达到um 时 q达到最大 u继续增大时 车辆流q将减小 这表示车辆密度太大反而会影响车辆率 使之下降 出现堵塞 1 当u的值较小时 公路利用率较低 q较小 u 0时公路是空置的 车辆率q为零 随着u的增大 公路利用率逐渐提高 q逐渐增大 根据美国公路实际统计 当u 75辆 每英里可达到最大车辆流当u 225辆 英里时 q 0 即堵塞 根据图1中曲线的特征 可用多种函数来拟合q q u 将Greenshields的基本方程代入 3 41
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