苏教版选修22 1.3.2 极大值与极小值 课件（36张）.pptVIP

1 3 2极大值与极小值 第1章导数及其应用 学习导航 第1章导数及其应用 1 函数极值的概念 1 极大值与极小值的直观解释如图函数图象在点p处从左侧到右侧由 变为 函数由单调递增变为单调递减 这时在点p附近 点p的位置最高 亦即f x1 比它附近点的函数值都要 我们称f x1 为函数f x 的一个极 值 类似地 图中f x2 为函数f x 的一个极小值 函数的极大值 极小值统称为函数的 上升 下降 大 大 极值 2 极大值与极大值点定义 一般地 设函数f x 在点x0附近有定义 如果对x0附近所有的点 都有f x f x0 就说f x0 是函数f x 的一个极 值 点x0叫做函数f x 的极大值点 3 极小值与极小值点定义 一般地 设函数f x 在点x0附近有定义 如果对x0附近所有的点 都有f x f x0 就说f x0 是函数f x 的一个极 值 点x0叫做函数f x 的极小值点 大 小 4 极值是一个局部概念 是仅对某一点的左右两侧邻域而言的 极值点总是f x 定义域中的点 因而端点绝对不是函数的极值点 连续函数f x 在其定义域上的极值点可能不止一个 也可能没有 函数的极大值与极小值没有必然的大小关系 函数的一个极小值也不一定比极大值小 若f x 在 a b 内有极值 那么f x 在 a b 内绝不是单调函数 即在区间上单调的函数没有极值 2 函数的极值与函数的导数之间的关系 1 极大值与导数之间的关系 极大值f x1 2 极小值与导数之间的关系 极小值f x2 3 求函数f x 极值的方法与步骤 1 解方程f x 0 2 根据函数的极值与导数之间的关系验证判断 如果在x0两侧f x 符号相同 那么x0不是f x 的极值点 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么 f x0 是极大值 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么 f x0 是极小值 注意 可导函数的极值点一定是其导数为零的点 但是 导数为零的点不一定是该函数的极值点 因此导数为零的点 又称驻点 可疑点 仅是该点为极值点的必要条件 其充分条件是这点两侧的导数异号 1 判断正误 正确的打 错误的打 1 导数为零的点一定是函数的极值点 2 函数的极小值一定小于它的极大值 3 f x 在定义域内最多只能有一个极大值 一个极小值 4 若f x 在 a b 内有极值 那么f x 在 a b 内不是单调函数 3 直线y a与函数y x3 3x的图象有三个相异的交点 则a的取值范围是 解析 f x 3x2 3 令f x 0可以得到x 1或x 1 f 1 2 f 1 2 2 a 2 2 a 2 求函数的极值 解 1 函数f x 的定义域为r f x 3x2 12 3 x 2 x 2 令f x 0 得x 2或x 2 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 方法归纳 1 求函数y f x 极值的方法 确定函数的定义域 求导数f x 求方程f x 0的全部实根 检查f x 在方程根左右的值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得极小值 2 函数极值与其导数的关系连续函数的某点是极值点的充分条件是这点两侧的导数异号 可导函数的某点是极值点的必要条件是在这点的导数为0 1 求函数f x sinx cosx x 1 0 x 2 的极值 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 已知f x x3 3ax2 bx a2在x 1时有极值0 求a b的值 已知函数的极值求参数的值 当a 1 b 3时 f x 3x2 6x 3 3 x 1 2 0 所以f x 在r上为增函数 无极值 故舍去 当a 2 b 9时 f x 3x2 12x 9 3 x 1 x 3 当x 3 时 f x 为增函数 当x 3 1 时 f x 为减函数 当x 1 时 f x 为增函数 所以f x 在x 1时取得极小值 因此a 2 b 9 方法归纳已知函数极值情况 逆向应用确定函数的解析式 进而研究函数性质时 注意两点 1 常根据极值点导数为0和极值两个条件列方程组 利用待定系数法求解 2 因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件 所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性 2 设函数f x