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第3章数系的扩充与复数的引入 第3章数系的扩充与复数的引入 1 复数的概念虚数单位 i叫做虚数单位 i具有下面的性质 i2 1 实数可以和它进行四则运算 进行四则运算时 原有的加 减 乘运算律仍然成立 复数 形如a bi a b r 的数叫做复数 复数的概念及分类 正确理解复数的实部和虚部 对于复数a bi a b r 实部为a 虚部为b 在说复数a bi时一定要有a b r 否则不能说实部为a 虚部为b 复数的实部和虚部都是实数 对于复数的定义 特别要抓住a bi这一标准形式以及a b是实数这一概念 利用复数相等解题 必须化成复数的标准形式z a bi 2 复数的分类复数分类如下 注意 设z a bi a b r 则 z为实数 b 0 z为虚数 b 0 z 0 a 0且b 0 z为纯虚数 a 0且b 0 已知m r 复数z 2 i m2 3 1 i m 2 1 i 1 若z为实数 则m 2 若z为纯虚数 则m 1或2 1 复数加 减 乘 除运算的实质是实数的加 减 乘 除运算 复数的加 减法是分别对应实 虚部相加 减 而复数的乘法类比多项式乘法 复数的除法类比根式的分母有理化 要注意i2 1 2 复数的四则运算顺序与实数运算顺序一致 即先算乘方 再算乘除 后算加减 3 复数的四则运算过程中常用到如下结论 复数的四则运算 复数相等 共轭复数和复数的模问题 利用复数的几何意义 复数加减法的几何意义 复数模的定义等 复数和图形可以统一起来 这为我们利用数形结合思想解题提供了条件 1 复数的几何意义包括三个方面 复数的表示 点和向量 复数的模的几何意义及复数的运算的几何意义 复数的几何意义体现了用几何图形的方法研究代数问题的数学思想方法 2 复数的加减法的几何意义实质上是平行四边形法则和三角形法则 由减法的几何意义知 z z1 表示复平面上两点z和z1之间的距离 数形结合思想 复数的代数形式是z x yi x y r 所以任一个复数都可由实数对 x y 惟一确定 利用复数的代数形式 在处理复数相等 复数的模 复数对应点的轨迹问题时 都可以化归为实数x y
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