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文档简介

5大数定律和中心极限定理 大数定律 阐明大量随机现象的平均结果具有稳定性的一系列定理 中心极限定理 论证随机变量之和的极限分布为正态分布的一系列定理 从而解释了为什么正态分布是最广泛的原因 一 大数定律 切比雪夫不等式 假设随机变量X的数学期望 方差 则对任意 证明 若X为连续型随机变量 概率密度为 例1 已知随机变量X Y的相关系数为 根据切比雪夫不等式估计 解 例2设电站供电网有10000盏电灯 夜晚每一盏灯开灯的概率都是0 7 假设各盏灯开 关是相互独立的 估计夜晚同时开灯数在6800 7200的概率 解设夜晚同时开灯的灯数为X 则 精确计算 用切比雪夫不等式估计 记为 证明 因为相互独立 由契比雪夫不等式 得到 因为概率不可能大于1 所以定理成立 定理3 伯努利大数定律 是n次独立重复试验中事件A发生的次数 说明 在大量独立重复试验中 事件A的发生的频率依概率收敛于A发生的概率 即事件A发生的频率具有稳定性 正因为如此 概率的统计定义才有意义 证明 引入如下随机变量 设表示第i次试验A发生的次数i 1 2 n 其分布为 由定理5 2 得到 即 定理4 辛钦大数定律 独立同分布 数学期望存在则对任意的 1 伯努利大数定律是辛钦大数定律的特殊情况 说明 2 辛钦大数定律是算数平均值法则的理论依据 如要测量一个物体a 在相同的条件下重复测量n次 得到当n足够大时 可以用算术平均值作为a的近似值 练习1 随机从数集 1 2 3 4 5 中有返回的取出n个数 依概率收敛于 依概率收敛于 由辛钦大数定律 依概率收敛于3 由辛钦大数定律 依概率收敛于11 解 二 中心极限定理 定理5 独立同分布的中心极限定理 独立同分布 数学期望和方差都存在 的分布函数为 即 则对任意实数 有 说明 当n充分大时 例1一个螺丝钉的重量是一个随机变量 期望值是100克 标准差是10克 求一盒 100个 同型号螺丝钉的重量超过10 2千克的概率 由定理5 得到 定理6 李雅普诺夫定理 独立 数学期望和方差都存在 则 的分布函数为 对任意实数 有 即 说明 定理7设 1 拉普拉斯定理 当n充分大时 2 棣莫弗 拉普拉斯定理 对任意实数 有 证明 引入如下随机变量 设表示第i次试验A发生的次数i 1 2 n 其分布为 由定理5 独立同分布的中心极限定理 得到 说明 1 当n充分大时 2 当n很大 n 20 p很小 p 0 05 时 例2设电站供电网有10000盏电灯 夜晚每一盏灯开灯的概率都是0 7 假设各盏灯开 关是相互独立的 估计夜晚同时开灯数在6800 7200的概率 解设夜晚同时开灯的灯数为X 则 下面用棣 拉中心极限定理来估计 例3每颗炮弹命中飞机的概率为0 01 求500发炮弹中命中5发的概率 解设500发炮弹中命中飞机的炮弹数为X 1 二项分布精确计算 2 用泊松分布估计 3 用棣 拉中心极限定理估计
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