苏教版选修22 1.3.3 最大值与最小值 课件（37张）.ppt

1 3 3最大值与最小值 第1章导数及其应用 学习导航 第1章导数及其应用 1 函数的最大值与最小值如果在函数定义域i内存在x0 使得对任意的x i 总有f x f x0 则f x0 为函数f x 在定义域上的最大值 最大值是相对函数定义域整体而言的 如果存在最大值 那么最大值 如果在函数定义域i内存在x0 使得对任意的x i 总有 则f x0 为函数f x 在定义域上的 一般地 在闭区间 a b 上连续的函数f x 在 a b 上必有最大值与最小值 函数的最值必在端点处或极值点处取得 惟一 f x f x0 最小值 注意 开区间 a b 上连续函数y f x 的最值有如下几种情况 图 中的函数y f x 在开区间 a b 上有最大值无最小值 图 中的函数y f x 在开区间 a b 上有最小值无最大值 图 中的函数y f x 在开区间 a b 上既无最大值也无最小值 图 中的函数y f x 在开区间 a b 上既有最大值也有最小值 2 函数的最值与极值的区别和联系 1 函数的最值是一个整体性的概念 函数极值是在局部上对函数值的比较 具有相对性 而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况 是对整个区间上的函数值的比较 2 函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值 则最大值或最小值只能各有一个 具有惟一性 而极大值和极小值可能多于一个 也可能没有 例如 常数函数就既没有极大值也没有极小值 3 极值只能在区间内取得 最值则可以在端点处取得 有极值的不一定有最值 有最值的也未必有极值 极值有可能成为最值 最值只要不在端点处取必定是极值 3 求函数y f x 在区间 a b 上的最值的步骤第一步 求f x 在区间 a b 上的 第二步 将函数y f x 的各极值与端点处的函数值f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 注意 1 若函数在闭区间 a b 上连续单调 则最大 最小值在端点处取得 2 当连续可导函数f x 在开区间 a b 内只有一个导数为零的点时 若在这一点处f x 有极大值 或极小值 则可以判定f x 在该点处取得最大值 或最小值 这里 a b 也可以是无穷区间 极值 1 判断正误 正确的打 错误的打 1 定义在闭区间 a b 上的函数f x 一定有最大值和最小值 2 若函数f x 在 a b 上单调递增 则f x 的最大值是f b f x 的最小值是f a 3 定义在开区间 a b 上的函数f x 没有最大值 4 函数的所有极小值中最小的一个就是最小值 f x g x 4 函数f x x3 3x2 9x k在区间 4 4 上的最大值为10 则其最小值为 解析 f x 3x2 6x 9 3 x 3 x 1 由f x 0得x 3或x 1 又f 4 k 76 f 3 k 27 f 1 k 5 f 4 k 20 由f x max k 5 10 得k 5 f x min k 76 71 71 求函数的最值 方法归纳用导数法求一个函数在闭区间上的最值 可按如下步骤进行 1 求f x 令f x 0 求出在 a b 内使导数为0的点 同时还要找出导数不存在的点 如果有的话 2 比较三类点处的函数值 导数不存在的点 导数为0的点及区间端点的函数值 其中最大者便是f x 在 a b 上的最大值 最小者便是f x 在 a b 上的最小值 已知f x ax3 6ax2 b 问是否存在实数a b 使f x 在 1 2 上取最大值3 最小值 29 若存在 求出a b的值 若不存在 说明理由 已知函数最值求参数的值 解 存在 显然a 0 f x 3ax2 12ax 令f x 0 得x 0或x 4 舍去 1 a 0时 x变化时 f x f x 的变化情况如下表 所以当x 0时 f x 取极大值 f 0 b 又f 2 b 16a f 1 b 7a 由于a 0 所以f 0 f 1 f 2 所以当x 0时 f x 取最大值 即b 3 当x 2时 f x 取最小值 即3 16a 29 所以a 2 2 a 0时 x变化时 f x f x 的变化情况如下表 所以当x 0时 f x 取极小值 f 0 b 又f 2 b 16a f 1 b 7a 由于af 1 f 0 所以当x 0时 f x 取最小值 即b 29 当x 2时 f x 取最大值 即 16a 29 3 所以a 2 综上所述 a 2 b 3或a 2 b 29 方法归纳 1 这是一道求函数最值的逆向思维问题 求解本题的关键是比较极值和端点处的函数值的大小 列表解题一目了然 从而确定出a b的值 2 由函数的最值来确定参数的问题是利用导数求函数最值的逆向运用 解题时一般采用待定系数法 列出含参数的方程或方程组 从而得出参数的值 这也是方程思想的应用 2014 高考江苏卷节选 已知函数f x ex e x 其中e是自然对数的底数 1 证明 f x 是r上的偶函数 2 若关于x的不等式mf x e x m 1在 0 上恒成立 求实数m的取值范围 利用最值解决恒成立问题 方法归纳恒成立问题是高考的热点之一 解答恒成立问题的一种基本思路是 分离参数 最值转化 即f x a恒成立 f x min a f x a恒成立 f x max a 从而把恒成立问题转化为求函数的最值问题 感悟提高 对于含参数的最值问题 由于参数的取值范围不同 会导致函数在所给区间上的单调性的变化 从而导致最值的变化 所以解决这类问题常需要分类讨论 分类时一般从导函数值为零时自变量的大小或通过比较函数值的大小等方面进行参数分界的确定 设函数f x x ax2 blnx 曲线y f x 过p 1 0 且在p点处的切线斜率为2 1 求a b的值 2 证明 f x 2x 2 名师点评 解