第21讲推理与证明、数学归纳法.doc

第21讲 推理与证明、数学归纳法考点透析推理与证明、数学归纳法合情推理与演绎推理B分析法和综合法A反证法A数学归纳法的原理A数学归纳法的简单应用B知识整合 1.合情推理与演绎推理(1)了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用。 (2)了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。(3)了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。 2.直接证明与间接证明(1)了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。 (2)了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点。3.数学归纳法了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。考点自测 1.（2009江苏）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 .2（2009浙江）观察下列等式：, 由以上等式推测到一个一般的结论：对于n,_. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3.（2010盐城二模）请阅读下列材料：w ww.ks 5u.c om若两个正实数满足，那么证明：构造函数，因为对一切实数，恒有，所以，从而得，所以根据上述证明方法，若个正实数满足时，你能得到的结论为 .（不必证明）4. （2010苏、锡、常、镇一模）若等差数列的公差为，前项的和为，则数列为等差数列，公差为类似地，若各项均为正数的等比数列的公比为，前项的积为，则数列为等比数列，公比为 典型例题 高考热点一：合情推理与演绎推理例1.（2010陕西理）观察下列等式：，根据上述规律，第五个等式为 .【分析】可以从等式结构出发，作出类比猜想。变题：（2010苏南六校联合调研）,，, （其中），则_高考热点二： 反证法 例2. 若均为实数，且.求证：中至少有一个大于0.【分析】应用反证法证明命题，那么怎么假设呢？ 变题：用反证法证明命题“可以被5整除，那么中至少有一个能被5整除。”那么假设的内容是 . 高考热点三： 分析法与综合法的应用 例3. ABC的三个内角A、B、C成等差数列，求证：。【分析】用哪种证明方法呢？边、角怎么转化呢？ 变题：用分析法证明：若a0，则。 高考热点四：数学归纳法的简单应用 例4已知为等差数列，且，公差.（）试证：；（）根据（）中的几个等式，试归纳出更一般的结论，并用数学归纳法证明.【分析】从什么角度去归纳一般结论呢？误区分析 问题：已知：a0 , b0 , a+b=1,求(a+ )2+(b+ )2的最小值.解: (a+)2+(b+)2=a2+b2+42ab+44+4=8,(a+)2+(b+)2的最小值是8.随堂练习 1（2010南通二模）将正偶数按如图所示的规律排列：2468101214161820则第n（n4）行从左向右的第4个数为 2（2009浙江文）设等差数列的前项和为，则，成等差数列类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则， ， ，成等比数列3在中，若，则的外接圆半径，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体中，若两两垂直，则四面体的外接球半径 4. “AC,BD是菱形ABCD的对角线，AC,BD互相垂直且平分。”补充以上推理的大前提是 .5已知a+b+c=0且abc,求证：.6.已知数列满足：，且（1） 求数列的通项公式；（2） 证明：对于一切正整数n，不等式学力测评 1. （2010年江苏省宿迁二模）无限循环小数为有理数，如：， 观察 ， 请你归纳出 2.函数由下表定义：若，则 3.把数列依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数循环下去，如：（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），则第104个括号内各数字之和为 . 4(2009湖南理)将正分割成个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2, 3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列.若顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为，则有， ， ， . ABC（1）CAB（2）5.将正奇数按下表排成5列第1列第2列第3列第4列第5列第1行1357第2行1513119第3行171921232725那么2003应该在第 行，第 列.6. (2010莆田模拟) 在平面几何中，ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比=，把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中（如图所示），而DEC平分二面角ACDB且与AB相交于E，则得到的类比的结论是 . 7. (2010南通模拟) 对于等差数列有如下命题：“若是等差数列，是互不相等的正整数，则有”。类比此命题，给出等比数列相应的一个正确命题是：_”。8如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n2)行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加则第n行(n2)中第2个数是_（用n表示）.9已知a、b、c是互不相等的非零实数.若用反证法证明三个方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根. 10. 请你把不等式“若是正实数，则有”推广到一般情形，并证明你的结论. 11.已知数列的前项和为，通项公式为，（1）计算的值；（2）比较与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论.12. (2010南通二模)设数列an满足a1a，an1an2a1，（1）当a（，2）时，求证：M；（2）当a（0，时，求证：aM；（3）当a（，）时，判断元素a与集合M的关系，并证明你的结论第21讲 推理与证明、数学归纳法参考答案考点自测 1 1:8； 2； 3； 4. 典型例题例1解：【解析】（方法一）所给等式左边的底数依次分别为；，右边的底数依次分别为（注意：这里），由底数内在规律可知：第五个等式左边的底数为，右边的底数为.又左边为立方和，右边为平方的形式，故第五个等式为.（方法二）易知第五个等式的左边为，且化简后等于，而，故易知第五个等式为.变题：例2.解：（用反证法）假设都不大于0，即，则有，而 =均大于或等于0，这与假设矛盾，故中至少有一个大于0。变题：解： a,b中没有一个能被5整除。例3.证明：要证，即需证。即证。又需证，需证ABC三个内角A、B、C成等差数列。B=60。由余弦定理，有，即。成立，命题得证。变题：用分析法证明：若a0，则。证明：要证，只需证。a0，两边均大于零，因此只需证只需证，只需证，只需证，即证，它显然成立。原不等式成立。例4解：（）略（）结论： 证：当时，等式成立，假设当时，成立，那么当时，因为，所以，所以，当时，结论也成立。综合知，对都成立.误区分析 分析：上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b22ab，第一次等号成立的条件是a=b=,第二次等号成立的条件是ab=，显然，这两个条件是不能同时成立的.因此，8不是最小值.正确解答如下：原式= a2+b2+4=( a2+b2)+(+)+4=(a+b)22ab+(+)2+4= (12ab)(1+)+4，由ab()2= 得：12ab1=, 且16，1+17，原式17+4= (当且仅当a=b=时，等号成立)，(a + )2 + (b + )2的最小值是.随堂练习 1； 2；3 ； 4.菱形对角线互相垂直且平分；5证明：a+b+c=0且abc， a0，c0 ab2-ac3a2（ac）2ac3a22 a2acc20（2ac）（ac）0a0，c0，a-c0a+b+c=0且ab，aac即2ac0，（2ac）（ac）0成立，故原不等式得证。6. 解：（1）将条件变为：1，因此1为一个等比数列，其首项为1，公比，从而1，据此得（n1）（2）证：据得，为证，只要证nN*时有显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个nN*，有1（）下用数学归纳法证明：n1时，显然成立；设nk时，不等式式成立，即1（），则当nk1时，1（）（）1（）（）1（），即当nk1时，3式也成立。故对一切nN*，不等式成立。由此得，1（）11，从而结论成立。 学力测评 1； 24； 32072； 4， 5251,3；6=； 7若是等比数列，是互不相等的正整数，则有； 8；9证明：假设三个方程中都没有两个相异实根，则1=4b24ac0，2=4c24ab0，3=4a24bc0.相加有a22ab+b2+b22bc+c2+c22ac+a20，（ab）2+（bc）2+（ca）20. 由题意a、b、c互不相等，式不能成立.假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.10.答案： 推广的结论：若 都是正数， 证明： 都是正数 ， 11.