第19章第07课时矩形的性质.doc

第7课时 矩形的性质（2）【目标导航】1掌握矩形的性质，能熟练运用矩形的性质解决问题2在解决问题的过程中，进一步发展推理论证能力与主动探究习惯3通过探究括动，激发学生的学习兴趣，渗透转化思想，学会类比的研究方法体会矩形的内在美和应用美【要点梳理】1直角三角形斜边上的中线等于斜边的 【问题探究】例1：如图1，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BEAC于E，CFBD于F求证：BE = CFABCDEF图1变式：（2010齐齐哈尔）如图2所示，E、F是矩形ABCD对角线AC上的两点，试添加一个条件： 使得ABCFE图3（）DADFCBE 图2 图4例2：（2010山东青岛）把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图3方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF若AB = 3 cm，BC = 5 cm，则重叠部分DEF的面积是 cm2变式：（2010江西南昌）如图4，已知矩形纸片ABCD，点E 是AB的中点，点G是BC上的一点，BEG60，现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与BEG相等的角的个数为( )A4 B3 C2 D1例3：已知，如图5，E是矩形ABCD的边AD上一点，且BEED，P是对角线BD上任一点，PFBE，PGAD，垂足分别为F、G求证：PFPGAB 图5变式：已知矩形ABCD的点P，当点P在图6中的位置时，则有结论： 理由:过点P作EF垂直BC,分别交AD、BC于E、F两点.ABCDPEF图6又ABCDP图8图7ABCDPEF请你参考上述信息,当点P分别在图7、图8中的位置时,又有怎样的数量关系?请你写出你对上述两种情况的猜想,并选择其中一种情况的猜想给予证明【每课一测】1在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（ ） A对角线互相平分且相等 B四个角相等 C既是轴对称图形，又是中心对称图形 D对角线互相垂直平分2直角三角形中，两条直角边边长分别为12和5，则斜边中线的长是（ ）A26B13C30D6.53 矩形的两邻边分别是4cm和3cm，则其对角线为_cm，矩形面积为_cm24 矩形的两条对角线交角为60，两条对角线的和为16，则周长为_5如图9，矩形ABCD中，DHAC于H，ADH30，DH2，求矩形ABCD的面积 图96如图所示，在ABC中，ACB=90，点D，E分别为AC，AB的中点，点F在BC的延长线上，且CDF=A求证：四边形DECF为平行四边形 图10【每课一测】一、选择题（每题5分，共25分）1若矩形的一条对角线与一边的夹角为40，则两条对角线相交所成的锐角是（ ）A.20 B.40 C.80 D.1002矩形的两条对角线所成的钝角为120，若一条对角线的长是2，那么它的周长是（ ）A6 B2 C2（1+） D1+3如图11，矩形ABCD中，若AB=4，BC=9，E、F分别为BC，DA上的点，则S四边形AECF等于（ ）A12B24C36 D484如图12，将矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C，BC，交AD于E，下列结论不一定成立的是（）AAD=BC， BEBD=EDB CABECBD DABECDE 图11 图12 图135如图13在RtABC中，ACB90，D、E为AB、AC的中点则下列结论中错误的是（ ）ACDADBBBCDCAED90DAC2DE二、填空题（每题5分，共25分）6已知矩形ABCD中，如图14，对角线AC、BD相交于O，AEBD于E，若DAEBAE=31，则EAC=_7若矩形一个角的平分线分对边为3cm和5cm，则这个矩形的面积为图168如图15，矩形ABCD的周长是56cm，对角线AC、BD相交于O，OAB与OBC周长差是4cm，则矩形ABCD中较短边长是_图15 图149如图16，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的大小关系是S1 S2（填“”或“”或“”）ABCDABCDEFABCDEGMN图1710（2010年江苏盐城）小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图17，ADCD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图17）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图17）如果第二次折叠后，M点正好在NDG的平分线上，那么矩形ABCD长与宽的比值为 三、解答题（每题10分，共50分）11如图18所示，AB，CD交于点E，AD=AE，CE=BC，F，G，H分别是DE，BE，AC的中点求证：（1）AFDE（2）HFG=FGH 图1812已知：如图19，四边形ABCD中，ABCADC90，M、N分别是AC、BD的中点求证：（1）MDMB；（2）MNBD 图1913如图20，BD是ABC的高，E、F分别是AB、BC的中点（1）若A60，C50，则ABC_，EDF_（2）若Am，Cn，则EDF_（3）由此可猜想，ABC与EDF的大小关系是_，并给予证明（4）若连结EF，则EF与BD具有怎样的特殊关系？试加以证明 图2014（2010湖南邵阳）如图21，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，EF为折痕（1）求证：FGCEBC；（2）若AB8，AD4，求四边形ECGF（阴影部分）的面积 图2115已知矩形ABCD内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求 PD的长【参考答案】【要点梳理】1半【问题探究】例1：证明：四边形ABCD是矩形，OB = OC.又BEAC，CFBD，BEO =CFO = 90BOE =COF，BOECOF，BE = CF变式：答案：本题答案不唯一，如AFCE，ADFCBE，AFDCEB，DFEBEF，FDCABE，AECF，BEDF等解析：由条件可知，在ADF和CBE中，已经存在着ADBC，DAFBCE两个条件，所以，根据不同的全等判定方法添加相应的条件即可例2：答案：5.1解析：由矩形纸片的折叠可得AB，EAE，由勾股定理，在RTDE中有又AEDEAD，可设DEx,则得EADDE5x,列方程得，解得x3.4，即DE3.4，所以变式：答案：B解析：依据纸片折叠可得，又因为，所以，过点作，则，所以，即例3：证明：如图，连接PE，SPDEPGDE，SBPEPFBE，BEED，SBDE SPDE+ SBPEPGDE+PFBE（PF+PG）DESBDEABDE，ABDE（PF+PG）DE，ABPF+PG变式：解:猜想结果:图10结论;图11.证明:如图10点P作EF垂直AD,分别交AD、BC于E、F两点.ABDCGEHFIJ图12.【课堂操练】1答案：D2答案：D解析：由直角边12和5，根据勾股定理可求得斜边长是13，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可知斜边上的中线长6.53答案：5，124答案：885解：ADH30，四边形ABCD是矩形，DH2AD，CD2DH4，矩形ABCD的面积为6证明：D，E分别为AC，AB的中点，DE为ACB的中位线，DEBCCE为RtACB的斜边中线，CE=AB=AEA=ACE又CDF=A，CDF=ACEDFCE四边形DECF为平行四边形 【每课一测】1答案：C2答案：C3答案：B4答案：C5 答案：D解析：只有当A45时，才有AC2DE6答案：307答案：8答案：12 cm9答案：24cm2或40cm2.解析：矩形短的一边是5或3,另一边是8cm10答案：解析：沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE，则AF=AB,FAE=FEA=45；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG，则DN=DC,四边形DGEC四边形DGMN，GDA=45，M点正好在NDG的平分线上，可以得出DG=DN=DC，在RtAGD中，AD:AG=AD:DC=：1.11证明：（1）F为DE中点AF为ADE的高AD=AE，AFDE（2）连接CGCB=CE，G为BE中点，CGBEAFC=AGC=90H为AC中点，FH=AC，GH=ACFH=GHHFG=FGH12（1）ABCADC90，M是AC的中点MDAC、BMAC，MDMB；（2）证明：MDMB，N是BD的中点，MNBD13（1）70，70；（2）（180mn）；（3）答：ABCEDF理由：BDAC，E、F分别是AB、BC的中点DEBE，FDFB，EBDEDB，FDBFBD，ABCEDF；（4）EFBD理由：E、F分别是AB、BC的中点，EF是ABC的中位线EFAC，BDAC，EFBD14解：（1）ABCD，CFEFEA又CEFFEA CEFCFE EC=FC在直角FGC和直角EBC 中，EC=FC BCADGC FGCEBC（2）由（1）知，DF=GF=BE，所以四边形ECGF的面积四边形AEFD的面积=1615分析：要利用已知条件，因为矩形ABCD，