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文档简介

第二节方阵的特征值和特征向量 线性代数 特征值和特征向量的概念 特征值和特征向量的计算 特征值和特征向量的性质 概念的引入 一 特征值和特征向量的概念 1 在讨论矩阵的特征值问题时 必须是方阵 说明 3 的特征值可能是实数 也可能是虚数 2 特征向量一定是非零向量 对于 这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组 它有非零解的充要条件是系数行列式 定义2系数矩阵称为的特征矩阵 特征多项式 也可写为 显然 的特征值就是的特征方程的解 因此特征值也叫特征根 特征方程 特征方程 的根 就是矩阵A的特征值 的非零解x就是A的 齐次线性方程组 由上面的分析讨论知 对应于特征值 的特征向量 二 特征值和特征向量的求法 解 例2 例3 解 解 得基础解系为 解 定理1 推论阶方阵可逆的充分必要条件是 它的任一特征值不等于零 2 三 特征值与特征向量的性质 称为矩阵的迹 则 1 记为 解 定理2设是阶方阵 则与有相同的特征值 说明 与对应于同一特征值的特征向量不一定相同 证明 所以与有相同的特征多项式 故有相同的特征值 由于 证明 于是 故结论成立 解 根据定理3 解 根据性质 若的特征值为 则的特征值为 例8证明 即有 证明 于是 即有 于是 综合练习 对应于矩阵的一个特征值的特征向量不唯一 有无穷多个 且它们的非零线性组合仍是这个特征值的特征向量 那么对应于不同特征值的特征向量之间是什么关系呢 定理4 依次是与之对应的特征向量 各不相等 则 证明 则 即 类推得
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