人教A版选修22 1.4生活中的优化问题举例习题课 学案.doc

第一章导数及其应用1.4 习题课 - 学 案一、学习目标提高学生综合、灵活运用导数的知识解决有关函数问题的能力 二、自主学习1. 知识 络导 数导数的概念导数的运算导数的应用导数的几何意义、物理意义函数的单调性函数的极值函数的最值常见函数的导数导数的运算法则2.自主小测1若函数yx22bx6在(2,8)内是增函数，则()ab0 bb2答案a2已知yasin xsin 3x在x处有极值，则() aa2 ba2ca da0答案b3设函数g(x)x(x21)，则g(x)在区间0,1上的最小值为()a1 b0 c d.答案c解析g(x)x3x，由g(x)3x210，解得x1，x2(舍去)当x变化时，g(x)与g(x)的变化情况如下表：x01g(x)0g(x)0极小值0所以当x时，g(x)有最小值g.4.设函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图象如图所示，则导函数yf(x)的图象可能为()答案d解析应用函数的单调性与其导函数的正负关系来判断导函数的图象三、合作探究 题型一函数与其导函数之间的关系例1对正整数n，设曲线yxn(1x)在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列的前n项和的公式是 答案2n12解析由ky|x22n1(n2)，得切线方程为y2n2n1(n2)(x2)，令x0，求出切线与y轴交点的纵坐标为y0(n1)2n，所以2n，则数列的前n项和sn2n12.反思与感悟找切点，求斜率是求切线方程的关键跟踪训练1如图，曲线yf(x)上任一点p的切线pq交x轴于q，过p作pt垂直于x轴于t，若ptq的面积为，则y与y的关系满足()ayy byy cyy2 dy2y答案d解析sptqy|qt|，|qt|，q(x，0)，根据导数的几何意义， kpqyy2y.故选d. 题型二利用导数研究函数的单调性、极值、最值例2已知函数f(x)ax3(a1)x248(a2)xb的图象关于原点成中心对称(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间及极值；(3)当x1,5时，求函数的最值解函数f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)是奇函数，f(x)f(x)，得ax3(a1)x248(a2)xbax3(a1)x248(a2)xb，于是2(a1)x2b0恒成立，解得a1，b0；(2)由(1)得f(x)x348x，f(x)3x2483(x4)(x4)，令f(x)0，得x14，x24，令f(x)0，得4x0，得x4.f(x)的递减区间为(4,4)，递增区间为(，4)和(4，)，f(x)极大f(4)128，f(x)极小f(4)128.(3)由(2)知，函数在1,4上单调递减，在4,5上单调递增，对f(4)128，f(1)47，f(5)115，所以函数的最大值为47，最小值为128.小结(1)讨论函数的单调性首先要求出函数的定义域，在定义域内解f(x)0得增区间，解f(x)0得减区间(2)求极值时一般需确定f(x)0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点(3)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得跟踪训练2已知函数yax3bx2，当x1时，有极大值3.(1)求a，b的值；(2)求函数的极小值；(3)求函数在1,1的最值解y3ax22bx，当x1时，y|x13a2b0，y|x1ab3，即，a6，b9.(2)y6x39x2，y18x218x，令y0，得x0，或x1，y极小值y|x00.(3)由(1)知，函数yf(x)6x39x2，又f(1)15，f(0)0，f(1)3，所以函数的最大值为15，最小值为0. 题型三导数的综合应用例3已知函数f(x)x3ax1.(1)若f(x)在实数集r上单调递增，求a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由解(1)f(x)3x2a，因为f(x)在r上是增函数，所以f(x)0在r上恒成立即3x2a0在r上恒成立即a3x2，而3x20，所以a0.当a0时，f(x)x31在r上单调递增，符合题意所以a的取值范围是(，0(2)假设存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减，则f(x)0在(1,1)上恒成立即3x2a0在(1,1)上恒成立，即a3x2，又因为在(1,1)上，03x23，所以a3.当a3时，f(x)3x23，在(1,1)上，f(x)0，所以f(x)在(1,1)上单调递减，即a3符合题意，所以存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减，且a的取值范围是3，)反思与感悟在已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时，应令f(x)0(或f(x)0)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立来求解)，然后检验参数的取值能否使f(x)恒等于0，若不能恒等于0，则参数的这个值应舍去；若f(x)能恒等于0，则由f(x)0(或f(x)0)恒成立解出的参数的取值范围来确定跟踪训练3(1)若函数f(x)4x3ax3的单调递减区间是，则实数a的值是多少？(2)若函数f(x)4x3ax3在上是单调函数，则实数a的取值范围为多少？解(1)f(x)12x2a，f(x)的单调递减区间为，x为f(x)0的两个根，a3.(2)若f(x)在上为单调增函数，则f(x)0在上恒成立，即12x2a0在上恒成立，a12x2在上恒成立，a(12x2)min0.当a0时，f(x)12x20恒成立(只有x0时f(x)0)a0符合题意若f(x)在上为单调减函数，则f(x)0在上恒成立，即12x2a0在上恒成立，a12x2在上恒成立，a(12x2)max3.当a3时，f(x)12x233(4x21)0恒成立(且只有x时f(x)0)因此，a的取值范围为a0或a3.四、自主小测1若函数yx3x2mx1是r上的单调函数，则实数m的取值范围是() a. b. c. d.2设f(x)是函数f(x)的导函数，将yf(x)和yf(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是()3设f(x)、g(x)是定义在r上的恒大于0的可导函数，且f(x)g(x)f(x)g(x)0，则当axf(b)g(b) bf(x)g(a)f(a)g(x) cf(x)g(b)f(b)g(x) df(x)g(x)f(a)g(a)4函数f