人教A版选修45 1.1.1不等式的基本性质 课件（49张）.ppt

第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1 不等式的基本性质 自主预习 1 两个实数a b的大小关系 a b 0 a b 0 a b 0 2 不等式的基本性质 1 对称性 a b 2 传递性 a b b c 3 可加性 a c b c b a a c a b 4 可乘性 如果a b c 0 那么 如果a b cb 0 那么an bn n n n 2 6 开方 如果a b 0 那么 n n n 2 ac bc ac bc 即时小测 1 若a b 0 则下列结论不正确的是 a a2 b2b ab a2 解析 选a 因为a b 0 所以0 b a 故b c d都正确 a错误 2 下列不等式 1 x2 3 2x x r 2 a5 b5 a3b2 a2b3 a b r 3 a2 b2 2 a b 1 其中正确的个数 a 0b 1c 2d 3 解析 选c 因为x2 3 2x x 1 2 2 0 所以 1 正确 a5 b5 a3b2 a2b3 a2 b2 a3 b3 a b 2 a b a2 ab b2 正负不确定 所以 2 不正确 a2 b2 2 a b 1 a 1 2 b 1 2 0 所以 3 正确 知识探究 探究点不等式的基本性质1 若a b c d 那么a c b d吗 提示 不一定成立 同向不等式具有可加性 但不具有可减性 如2 1 5 1 但2 5 1 1不成立 2 若a b c d 一定有ac bd吗 提示 不一定 如a 1 b 2 c 2 d 3时就不成立 归纳总结 1 符号 和 的含义 与 即推出关系和等价关系 或者说 不可逆关系 与 可逆关系 这要求必须熟记和区别不同性质的条件 2 性质 3 的作用它是移项的依据 不等式中任何一项改变符号后 可以把它从一边移到另一边 即a b c a c b 性质 3 是可逆的 即a b a c b c 3 不等式的单向性和双向性性质 1 和 3 是双向的 其余的在一般情况下是不可逆的 4 注意不等式成立的前提条件不可强化或弱化成立的条件 要克服 想当然 显然成立 的思维定式 如传递性是有条件的 可乘性中c的正负 乘方 开方性质中的 正数 及 n n 且n 2 都需要注意 类型一作差法比较大小 典例 设m n x m4 m3n y n3m n4 比较x与y的大小 解题探究 比较两个多项式的大小常用的方法是什么 提示 常用作差比较法 解析 因为x y m4 m3n mn3 n4 m n m3 n3 m n m n m3 n3 m n 2 m2 mn n2 又m n 所以 m n 2 0 因为所以x y 0 故x y 方法技巧 作差比较法的四个步骤 变式训练 1 若f x 3x2 x 1 g x 2x2 x 1 则f x 与g x 的大小关系是 解析 f x g x 3x2 x 1 2x2 x 1 x2 2x 2 x 1 2 1 1 0 所以f x g x 答案 f x g x 2 若x y均为正实数 判断x3 y3与x2y xy2的大小关系 解析 x3 y3 x2y xy2 x2 x y y2 x y x2 y2 x y x y 2 x y 因为x 0 y 0 所以 x y 2 x y 0 所以x3 y3 x2y xy2 类型二不等式性质的简单应用 典例 判断下列命题是否正确 并说明理由 1 a b 0 则 2 c a b 0 则 3 若 则ad bc 4 设a b为正实数 若a b 则a b 解题探究 判断上述每个命题真假的关键是什么 提示 关键是利用不等式的性质或者举反例进行判断 解析 1 因为a b 0 所以a b两边同乘以得得 故正确 2 因为c a 0 c b 0 且c a0 又a b 0 所以 正确 3 由 所以 0 即ad bc且cd 0或ad bc且cd 0 故不正确 4 因为a 0 b 0 所以a2b b ab2 a a2b ab2 b a 0 ab a b a b 0 a b ab 1 0 所以a b 0 即a b 正确 方法技巧 1 利用不等式的性质判断命题真假的技巧 1 要判断一个命题为真命题 必须严格证明 2 要判断一个命题为假命题 或者举反例 或者由题中条件推出与结论相反的结果 其中 举反例在解选择题时用处很大 2 运用不等式的性质判断命题真假的三点注意事项 1 倒数法则要求两数同号 2 两边同乘以一个数 不等号方向是否改变要视此数的正负而定 3 同向不等式可以相加 异向不等式可以相减 变式训练 1 下列命题中正确的是 若a b 0 c d 0 那么 若a b r 则a2 b2 5 2 2a b 解析 因为a b 0 c d 0 所以 0 故 错误 a2 b2 5 2 2a b a2 b2 5 4a 2b a 2 2 b 1 2 0 所以 正确 答案 2 若a b 0 分别判断下列式子是否成立 并简述理由 解析 1 成立 由a b 0得a a b 0 所以则 2 成立 因为a b 0 所以a b b 0 则所以 类型三利用不等式的性质证明简单不等式 典例 已知a b 0 c d 0 求证 解题探究 证明该不等式成立的关键是什么 提示 证明的关键是由不等式的性质得到a c与b d的大小关系 证明 因为c d 0 又a b 0 所以a c b d 0 所以0 再由0 b a 所以 延伸探究 1 改变问法 本题条件不变 证明 证明 因为c d 0 所以又a b 0 所以所以同乘以 1得 2 变换条件 改变问法 本题中加上条件 e d 0 又a b 0 所以a c b d 0 所以 a c 2 b d 2 0 所以又e 0 所以 方法技巧 利用不等式性质证明简单不等式的实质与技巧 1 实质 就是根据性质把不等式进行变形 要注意不等式性质成立的条件 2 技巧 若不能直接由不等式性质得到 可先分析需要证明的不等式的结构 利用不等式的性质进行逆推 寻找使其成立的充分条件 变式训练 1 已知a b 0 c d 0 求证 证明 因为a b 0 所以0d 0 所以0 所以 所以所以即又a c b d均大于0 所以所以 2 已知a 0 b 0 c 0 d 0 且 求证 证明 因为a 0 b 0 c 0 d 0且 所以ad bc 所以ad cd bc cd 即d a c c b d 所以 自我纠错作差法比较大小 典例 设a b 0 n为偶数 的大小关系为 失误案例 分析解题过程 找出错误之处 并写出正确答案 提示 n为偶数时 an bn和an 1 bn 1不一定同号 这里忽略了在题设条件a b 0且没有明确字母的具体值的情况下 要考虑分类讨论 即对a 0 b 0和a