人教A版选修45 数学归纳法 本讲整合4 课件（24张）.ppt

本讲整合 专题一 专题二 专题一正确使用数学归纳法同学们在刚开始学习数学归纳法时 常常会遇到两个困难 一是数学归纳法的思想实质不容易理解 二是归纳步骤的证明有时感到难以入手 本专题将对两种常见的错误进行讨论 整理 以帮助学生进一步理解数学归纳法的原理 弄清它的实质 从而明确如何正确地使用数学归纳法 1 缺少数学归纳法的第二步 有人觉得如果一个命题对于开头的一些自然数都成立 那么由p k 成立导出p k 1 成立是必然的 因此第二步归纳步骤是流于形式 证与不证似乎一样 显然这是不正确的 产生这种错误想法的原因在于没有认识到归纳步骤所起的递推作用 如果没有递推性 那么一个命题可能对于开头的许多自然数都成立 但是对于一般的自然数并不成立 我们举几个例子来看看 专题一 专题二 这是个合数 费尔玛的猜想错了 这就充分说明我们不能把不完全归纳法当成证明 用数学归纳法证明时第二步不可缺少 专题一 专题二 2 缺少数学归纳法的第一步 也有人觉得既然第二步归纳步骤中有递推作用 而且k又可以任意取值 这样就够了 有没有第一步p 1 无关紧要 这种认识也是错误的 它忽视了第一步的奠基作用 因为如果没有p 1 成立 归纳假设p k 成立就没有了依据 因此递推性也就成了无源之水 无本之木 下面我们看一个这样的例子 专题一 专题二 例 证明 n 1 2 n 2 2一定是偶数 n n 证明 假设当n k时命题成立 即 k 1 2 k 2 2是偶数 当n k 1时 k 1 1 2 k 1 2 2 k 2 2 k 1 2 4 k 1 4 k 1 2 k 2 2 4 k 2 由假设 k 1 2 k 2 2是偶数 又4 k 2 也是偶数 所以上式是偶数 这就是说当n k 1时命题也成立 由此 对于任意的正整数n n 1 2 n 2 2一定是偶数 这个结论显然是错误的 原因就在于证明中缺少第一步奠基步骤 实际上 当n 1时 1 1 2 1 2 2 4 9 13不是偶数 这说明使用数学归纳法时不可缺少第一步 专题一 专题二 专题一 专题二 专题二数学归纳法证题的几种技巧在使用数学归纳法证明时 一般说来 第一步验证比较简明 而第二步归纳步骤情况较复杂 因此 熟悉归纳步骤的证明方法是十分重要的 其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题 归纳假设 p k 是问题的条件 而命题p k 1 成立就是所要证明的结论 因此 合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键 下面简要分析一些常用技巧 专题一 专题二 1 分析综合法用数学归纳法的假设证明关于正整数n的命题 从 p k 到 p k 1 常常可用分析综合法 应用1求证 对任意正整数n 有13 23 33 n3 1 2 n 2成立 提示 这是一个等式证明问题 它涉及全体正整数 用数学归纳法证明 用数学归纳法证明恒等式 关键是第二步要用上假设 证明n k 1时 原等式成立 专题一 专题二 证明 1 当n 1时 左边 1 右边 1 左边 右边 所以原等式成立 2 假设当n k k n k 1 时 等式成立 即13 23 k3 1 2 k 2 则当n k 1时 13 23 k3 k 1 3 即当n k 1时 原等式也成立 综合 1 2 可知 对任何n n 原等式都成立 专题一 专题二 提示 这是一个不等式证明问题 它涉及全体正整数n 用数学归纳法证明 专题一 专题二 2 ak 1 bk 1 a b ak bk 2 ak 1 bk 1 ak 1 abk bak bk 1 0 ak 1 abk bak bk 1 0 a b ak bk 0 因为a b与 ak bk 同正负 或同时为0 所以最后一个不等式显然成立 这就证明了当n k 1时 不等式成立 专题一 专题二 2 放缩法涉及关于正整数n的不等式 从 k 过渡到 k 1 有时也考虑用放缩法 提示 利用数学归纳法证明不等式关键是利用放缩 凑假设 凑结论 但要注意从n k变化到n k 1时增加了多少项 减少了多少项 一般用f k 1 f k 研究增加或减少的项的多少 专题一 专题二 专题一 专题二 3 递推法利用数学归纳法证明与数列有关的问题时 有时要利用an与an 1的关系 实现从 k 到 k 1 的过渡 提示 数列类问题用数学归纳法证明时 一般先用递推公式 后用归纳假设 专题一 专题二 专题一 专题二 4 拼凑法利用数学归纳法证明关于正整数的命题 尤其是整除 时 从 k 过渡到 k 1 常用拼凑法 应用5对于任意正整数n 求证 an bn能被a b整除 对于多项式a b 如果存在多项式c 使得a bc 那么称a能被b整除 提示 用数学归纳法证明问题时 关键在于弄清n由k到k 1时 问题的变化情况 创造条件一定要用上归纳假设 专题一 专题二 证明 1 当n 1时 an bn a b能被a b整除 2 假设当n k k n k 1 时 ak bk能被a b整除 那么当n k 1时 ak 1 bk 1 ak 1 akb akb bk 1 ak a b b ak bk 因为 a b 和ak bk都能被a b整除 所以ak a b b ak bk 也能被a b整除 即当n k 1时 ak 1 bk 1能被a b整除 根据 1 2 可知 对一切正整数n an bn都能被a b整除 专题一 专题二 5 几何法 几何类 命题的证题关键是先要从证明n k 1时命题成立的结论中 分解出n k时命题成立的部分 再去证明余下的部分 提示 利用数学归纳法证明几何问题 关键是找出由n k到n k 1时所增加的项 专题一 专题二 20