华罗庚学校数学教材(六年级上)第12讲棋盘中的数学(三).doc

本系列共 14 讲第十二讲 棋盘中的数学（三）棋盘对弈的数学问题. 文档贡献者：winner_d1975我们看这样一个比输赢的问题例 1 在 88 的棋盘格中的某个格子里已放入一枚棋子“王”（如 下图），甲、乙两人轮流移动“王”子，每次只能横向或竖向移动一 格 凡“王”子已经占据过的格都不得再进入谁先遇到无法移动“王” 子时，谁就算输方试证明，先走者存在必胜的策略分析 “王”子已占一个格，还剩下 88163 个格，比如甲 先走一个格，还剩下 62 个格若能将 62 个格分成 31 对，每对都是 相邻的两小格，这时该乙走，乙领先进入一格，甲就随之进入与其配 对的格，这样就造成了甲必取胜的态势因此，将 64 个格两两配对 成为 32 个 12 的小矩形是解决本题的关键证明：设甲为先走的一方，在甲的心目中如上图将 64 个方格两 两配对分成 32 个 12 的 小 矩 形 ，“王”子必在某个 12 的小矩形的 一个格子中甲先走，将“王”子走入这个 12 的小矩形的另一个 格子中这时还有 31 个 12 的小矩形，每个小矩形中都有两个小方格这时该乙走，乙总是领先进入某个 12 小矩形的第一个格，甲就可以随之进入这个小矩形的第二个格由于不能重复进入“王”已 经进过的格子，所以乙总处于领先进入新的小矩形的第一格的地位， 甲就总可随之进入这个小矩形的第二个格最后必然乙先无法移动 “王”子，乙输甲必取胜例 2 下图是一盘未下完的中国象棋残局，各子走法必须按中国 象棋的规则办事，将对方憋死或无法走子时算取得胜利如果轮到乙 方走，问乙怎样走法才能取胜？分析 这是中国象棋残局，当然各子的走法必须按中国象棋的规 则办事，将对方憋死（无法走子时）算取得胜利。在上图中，双方的将（帅）均无法移动，双方的士（仕）也无法 移动，底炮也不能在横线上移动（否则对方可将炮沉底打闷将）底 线兵（卒）只能横向移动谁先移动底线兵（卒）打将，会造成对方 将（帅）移出，从而出现移兵（卒）方自己必输的态势因而只有底 炮、中炮和边卒（兵）可以在纵线上移动，兵（卒）只能前移 1 步 ， 中炮只能前移 4 步，底炮只能前移 8 步现在的问题是：乙先走，轮 流走完这三对子的 13 步，问乙怎样走才能取胜？解：我们把乙的获胜策略及甲的各种走法列表于下（其中“甲 1，乙 1”分别表示“甲第一步走棋”与“乙第二步走棋”，其 余 类 同 ；“中 炮 2，相炮 3，卒 1”分别表示“中路炮进 2 步”，“相位炮进 3 步” 和“卒进 1 步”其余类同；“结果”栏表明乙 1，甲 1，乙 1 之后的态 势，其中的“距”以步为单位）：其中，情形显然为乙胜情形，中，如甲 2 进炮几步 ， 则乙 3 就将另一路炮进同样步数，这样，终将乙胜情形， 与，是类似的以为例，甲的各种走法及乙的策略见下表：显然，各种情形中也是乙胜 注意，若甲某次退炮几步，则乙接着将同一路炮进相同步数（这样，这两只炮之间的间隔没有改变） 说明：本题的深刻道理和规律在于自然数的二进制表示，将 1 步 ，4 步，8 步分别用二进制表示为 1，100，1000当乙从 8 步中走了 3 步后，变为还有 5 步即 1，100，101我们把这三个数写成竖式11 0 01 0 1 容易看出每一个数位上的数字之和都是偶数（这里均勿进位）无论甲怎样走，所走的那一行的步数（用二进制表示）至少有 一个数位上的数字发生了变化，从而破坏了上面的规律，即不是每一 个数位上的数字之和都是偶数了，比如说，甲在中路炮进一步，三路 的步数变为：11 11 0 1这时三个数位上的数字之和 111，10，1 都不是偶数 乙再接着走，他的办法是恢复上面的规律这是能办到的首先 ，他看一下数字和不是偶数的最高数位，三路步数二进制表示中至少有 一路在这数位上的数字是 1，然后，他就在这一路上走若干步，使得 上述数位上的数字和为 0，而较低数位上的数字为 1 或 0 以保证这些 数位上的数字之和为偶数，其它数位上的数字不变比如，对于上面 的情形，乙应当在“相”位炮所在的路线上走 3 步，将三路步数变为 ：11 11 0这样继续下去，步数逐渐减少，必有结束的时候，由于甲走后， 不是每个数位上的数字之和都是偶数，所以甲不可能走到最后一 步走最后一步的是乙，所以乙必然取胜例 3 如下图是一个 99 棋盘，它有 81 个小正方形的格子，在 右上角顶的格子里标有“”的符号代表山顶A、B 两人这样来游 戏：由 A 把一位“皇后”（以一枚棋子代表）放在棋盘的最下面一行 或最左边一列的某个格子里（即放在右图中阴影区域的一个格子里）， 然后由 B 开始，两人对奕：“皇后”只能向上，向右或向右上方斜着 走，每次走的格数不限，但不得倒退，也不得停步不前；谁把“皇后” 走进标有“”的那格就得胜显然，双方对弈下去决不会出现“和棋”，在有限个回合后，必 有一胜一负，试分析 B 必取胜的策略这个游戏我们不妨称之为“皇后登山”问题分析 我们采用倒推分析的方法如果 A 把皇后走进下图中带阴 影的格子，则 B 就可一步把皇后走到山顶而获胜因此任何一方都应 该避免把皇后走进右图中的阴影地区，而都应该迫使对方不得不把皇 后走至带阴影的格子里去，这是取胜的总的指导思想那么 B 应把皇后走到哪些格子中才能迫使对方不得不把皇后走进上图中带阴影的格子里去呢？从上图中可看出，这样的格子只有两 个：有标号和的格子由此可知，如果谁抢占了或，只要走 法不再失误，就必会得胜因此，我们形象地称、两格为“制高 点”。那么为占或，如下图，如果 A 把皇后走进有的方格里，则 B 就能占领或，从而获胜，而 B 又怎样迫使 A 不得不把皇后走进 有的或有阴影的方格呢？同样的分析可知，只要 B 能占领第二对制 高点或即可。继续运用上述分析方法，还可以得到下一组制高点和 这时，不论 A 开始把皇后放在最左一列与最下面一行的哪个格子中，B 第一步都可以抢到一个制高点，或者第一步就直接达到，只 要走法得当，必能稳操胜券的说明：1如果我们给出的是 88 的国际象棋盘，玩“皇后登山”游戏，A 开始把皇后放在最左列或最下行的哪个格时，A 必胜？这时我们看到，对 88 棋盘，制高点在最左列上，制高点在最下列 上，所以 A 开始把皇后放于或，则 A 必胜，放在其它格时，B 可 抢到制高点，则 B 必胜2如果在普通的围棋盘上，（共有 1818324 个格）玩“皇后 登山”游戏B 取胜的制高点都是哪些？请读者自己找出来可以告 诉大家，一共有六对，计 12 个制高点例 4 在 88 的国际象棋盘中（如下页图）有三枚棋子，两个人 轮流移动棋子，每一次可将一枚棋子移动任意多格（允许两枚或三枚 棋子在同一格），但只能按箭头所表示的方向移动在所有棋子都移 到 A 点时，游戏结束，并且走最后一步的算赢，问哪一个人能够获胜？解：由三枚棋子到 A 的格数分别要走 59 步，50 步和 30 步，这 样就与例 2 在三条路线上走步本质上一样的，我们不妨把 59，50，30 这三个数写成 2 进制59（111011）2，50（110010）2，30（11110）2排在一起：1 1 1 0 1 11 1 0 0 1 01 1 1 1 0第一个人应当将第一行的 111011 改为 101100，也就是减少 11ll， 这样就使各个数位上的数字和为偶数这时无论第二个人如何走都将 破坏这个特性，第一个人接着可以采取使各个数位上的数字和为偶数 的方法，稳步地走向胜利这就是说，第一个人应当将最外面的棋子移动 15 步（即（1111）212312212115），即可按例 2 的规则稳步取胜。习题十二1如下页图是一个 3101 的棋盘，甲每次可走一个黑子，乙每 次可走一个白子每枚棋子只能在它所在的行沿固定方向移动，走步 数不限，但不能越过对方棋子，谁不能走子谁算输若甲先走，请指 出甲必取胜的着法2对 88 的棋盘，讨论“皇后登山”问题3在普通围棋盘上（共 1818324 个格）讨论“皇后登山” 游戏4图 a 是一个彩色激光棋盘，上面有红（打）黄（空 白 格）， 蓝（斜线格）三种颜色的方格游戏人可以随意地通过按电钮将某一 行或某一列的小方格同时改变颜色，红变黄，黄变蓝，蓝变红，如果 按不多于