人教A版选修45 不等式的证法03 课件（39张）.ppt

高中数学人教a版选修4 5不等式选讲 no 1middleschool mylove 你有没有看到过这样壮观的场面 在自行车存放处 整齐的摆放着长长的一排自行车 突然 一阵大风袭来 第一辆自行车倒下了 在第一辆自行车倒下时碰到了第二辆 于是第二辆也倒下了 而第二辆倒下时又碰到了第三辆 第三辆也倒下了 这样连续下去 直到最后一辆自行车也倒下 请分析 在这个 倒自行车 的过程中 有几个主要步骤 no 1middleschool mylove 第9课时不等式的证法 三 no 1middleschool mylove 预学1 数学归纳法上述情境分两步 第一步 第1辆自行车倒下 第二步 前一辆倒下后一辆一定倒下 类似于数学归纳法的两个步骤 什么是数学归纳法 数学归纳法 设 pn 是一个与自然数相关的命题集合 如果 1 证明起始命题p0成立 2 在假设pk成立的前提下 推出pk 1也成立 那么可以断定 pn 对一切正整数 或自然数 成立 no 1middleschool mylove 想一想 下列四个判断中 正确的是 a 式子1 k k2 kn n n 当n 1时恒为1b 式子1 k k2 kn 1 n n 当n 1时恒为1 kc 式子 n n 当n 1时恒为1 d 设f n n n 则f k 1 f k no 1middleschool mylove 解析 对于a 式子1 k k2 kn n n 当n 1时应为1 k 对于b 式子1 k k2 kn 1 n n 当n 1时应为1 对于d 设f n n n 则f k 1 f k 故选c 答案 c no 1middleschool mylove 预学2 数学归纳法证题的步骤 1 归纳奠基 证明当n n0时 命题成立 2 假设与递推 假设当n k k n0 k n 时 命题成立 证明当n k 1时 命题也成立 只要完成这两个步骤就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n成立 no 1middleschool mylove 预习3 贝努利不等式如果x是实数 且x 1 x 0 n为大于1的自然数 那么有 1 x n 1 nx no 1middleschool mylove 预学4 归纳 猜想和证明在数学中通过特例或根据一部分对象得出的结论可能是正确的 也可能是错误的 这种不严格的推理方法称为不完全归纳法 不完全归纳法得出的结论 只能是一种猜想 其正确与否 必须进一步检验或证明 经常采用数学归纳法证明 不完全归纳法是发现规律 解决问题极好的方法 no 1middleschool mylove 练一练 已知数列 an 的前n项和为sn 且满足sn an 2n 1 1 写出a1 a2 a3 并猜想an的表达式 2 用数学归纳法证明所得结论 no 1middleschool mylove 解析 1 a1 a2 a3 猜想 an 2 2 当n 1时 a1 2 猜想成立 no 1middleschool mylove 假设当n k k n 时 ak 2 成立 则当n k 1时 a1 a2 ak ak 1 ak 1 2 k 1 1 且a1 a2 ak 2k 1 ak 2k 1 ak 2ak 1 2 k 1 1 2k 3 2ak 1 2 ak 2 2 ak 1 2 当n k 1时 猜想也成立 由 可知 an 2 n n 成立 no 1middleschool mylove 1 利用数学归纳法证明等式例1 是否存在常数a b c使等式1 n2 12 2 n2 22 n n2 n2 an4 bn2 c对一切正整数n都成立 证明你的结论 方法指导 按数学归纳法解题时要清楚等式两边的结构 先取n 1 2 3求出a b c的值 再用数学归纳法证明存在a b c所确定的等式对一切正整数n都成立 no 1middleschool mylove 解析 分别用n 1 2 3代入方程组 得 解得 下面用数学归纳法证明 no 1middleschool mylove 1 当n 1时 由上可知等式成立 2 假设当n k时 等式成立 则当n k 1时 左边 1 k 1 2 12 2 k 1 2 22 k k 1 2 k2 k 1 k 1 2 k 1 2 1 k2 12 2 k2 22 k k2 k2 1 2k 1 2 2k 1 k 2k 1 k4 k2 2k 1 2 2k 1 k 2k 1 k 1 4 k 1 2 所以当n k 1时 等式成立 由 1 2 可知 存在常数a b c 使等式对一切的n n 均成立 no 1middleschool mylove 变式训练1 已知数列 an 与 bn 的通项公式分别是an 3n 1 bn 2n n n 记tn anb1 an 1b2 a1bn n n 用数学归纳法证明 tn 12 2an 10bn n n 解析 1 当n 1时 t1 12 a1b1 12 16 2a1 10b1 16 等式成立 2 假设当n k时 等式成立 即tk 12 2ak 10bk no 1middleschool mylove 则当n k 1时 有tk 1 ak 1b1 akb2 ak 1b3 a1bk 1 ak 1b1 2 akb1 ak 1b2 a1bk ak 1b1 2tk ak 1b1 2 2ak 10bk 12 2ak 1 4 ak 1 3 10bk 1 24 2ak 1 10bk 1 12 即tk 1 12 2ak 1 10bk 1 因此当n k 1时 等式也成立 由 1 2 可知 对任意n n tn 12 2an 10bn成立 no 1middleschool mylove 2 利用数学归纳法证明整除问题例2 是否存在正整数m 使得f n 2n 7 3n 9对一切正整数n都能被m整除 若存在 求出最大的m值 并证明你的结论 若不存在 请说明理由 方法指导 先将n 1 2 3 4依次代入 计算相应的f n 的值 猜想满足条件的m值 再根据数学归纳法对结论进行证明 no 1middleschool mylove 解析 由f n 2n 7 3n 9 得f 1 36 f 2 3 36 f 3 10 36 f 4 34 36 由此猜想m 36 下面用数学归纳法证明 1 当n 1时 显然成立 2 假设当n k时 f k 能被36整除 即f k 2k 7 3k 9能被36整除 no 1middleschool mylove 当n k 1时 2 k 1 7 3k 1 9 3 2k 7 3k 9 18 3k 1 1 由于3k 1 1是2的倍数 故18 3k 1 1 能被36整除 这就是说 当n k 1时 f n 也能被36整除 由 1 2 可知 对一切正整数n都有f n 2n 7 3n 9能被36整除 故m的最大值为36 no 1middleschool mylove 变式训练2 用数学归纳法证明 32n 2 8n 9 n n 能被64整除 解析 1 当n 1时 34 8 9 64显然能被64整除 命题成立 2 假设当n k k n 时 命题成立 即32k 2 8k 9 64m m z no 1middleschool mylove 则当n k 1时 32k 4 8 k 1 9 9 32k 2 8k 17 9 32k 2 8k 9 64k 64 64 9m k 1 又k n m z 9m k 1 z 即当n k 1时 32k 4 8 k 1 9也能被64整除 由 1 2 可知 命题对一切n n 均成立 no 1middleschool mylove 3 利用数学归纳法证明不等式例3 求证 n 2 n n 方法指导 用数学归纳法证明 要完成两个步骤 这两个步骤是缺一不可的 但从证题的难易来分析 证明第二步是难点和关键 要充分利用归纳假设 做好命题从n k到n k 1的转化 这个转化要求在变化过程中结构不变 no 1middleschool mylove 解析 1 当n 2时 左边 不等式成立 2 假设当n k n 2 n n 时 不等式成立 即 no 1middleschool mylove 则当n k 1时 no 1middleschool mylove 3 所以当n k 1时 不等式也成立 由 1 2 可知 原不等式对一切n 2 n n 均成立 no 1middleschool mylove 变式训练3 在等差数列 an 中 a1 1 前n项和为sn 等比数列 bn 各项均为正数 b1 2 且s2 b2 7 s4 b3 2 1 求an与bn 2 设cn tn c1 c2 c3 cn 求证 tn n n no 1middleschool mylove 解析 1 设等差数列 an 的公差为d 等比数列 bn 的公比为q 则d 2q 5 0 3d q2 1 0 解得q 2或q 8 舍去 d 1 an 1 n 1 n bn 2n 2 cn cn tn 下面用数学归纳法证明 tn 对一切正整数成立 no 1middleschool mylove 当n 1时 t1 命题成立 假设当n k时 命题成立 即tk 则当n k 1时 tk 1 tk 因此当n k 1时 命题也成立 由 可知 原命题成立 no 1middleschool mylove 1 数学归纳法是用来证明与正整数n有关的数学命题的一种方法 其基本步骤是 1 验证n n0成立 递推的基础 2 假设当n k k n0 k n 时命题成立的前提下 证明当n k 1时命题也成立 递推的条件 由 1 2 可知 对一切大于等于n0的正整数n命题都成立 no 1middleschool mylove 2 观察 归纳 猜想 证明 的思维模式是探索科学规律的一般途径 我们应用时要注意以下几点 1 避免归纳猜想时得出错误结果 从而得出错误结论 2 假设当n k k n0 k n 时命题成立 证明当n k 1时命题也成立 进行这一步时 忽略了利用假设条件去证明 造成本质上不是数学归纳法 3 数学归纳法关键是由n k到n k 1的过渡 这是数学归纳法的难点 我们要注意 凑假设 凑结论 同时灵活使用基本不等式 放缩法 分析法等 no 1middleschool mylove 2015年陕西卷 设fn x 是等比数列1 x x2 xn的各项和 其中x 0 n n n 2 1 证明 函数fn x fn x 2在 1 内有且仅有一个零点 记为xn 且xn 2 设有一个与上述等比数列的首项 末项 项数分别相同的等差数列 其各项和为gn x 比较fn x 和gn x 的大小 并加以证明 no 1middleschool mylove 解析 1 fn x fn x 2 1 x x2 xn 2 则fn 1 n 1 0 fn 1 2 n 2 2 0 所以fn x 在 1 内至少存在一个零点 no 1middleschool mylove 又f n x 1 2x nxn 1 0 故fn x 在 1 内单调递增 所以fn x 在 1 内有且仅有一个零点xn 因为xn是fn x 的零点 所以fn xn 0 即 2 0 故xn no 1middleschool mylove 2 由题意知fn x 1 x x2 xn gn x x 0 当x 1时 fn x gn x 当x 1时 用数学归纳法可以证明fn x gn x 当n 2时 f2 x g2 x 1 x 2 0 所以f2 x g2 x 成立 假设当n k k 2 时 不等式成立 即fk x gk x no 1middleschool mylove 则当n k 1时 fk 1 x fk x xk 1 gk x xk 1 xk 1 又gk 1 x no 1middleschool mylove 令hk x kxk 1 k 1 xk 1 x 0 则h k x k k 1 xk