苏教版必修4 1.3 第1课时　三角函数的周期性 学案.doc

第1课时三角函数的周期性问题1：今天是周三，66天后的那一天是周几？你是如何推算的？提示：66天后的那一天是周六，因为每隔七天，周一到周日依次循环，而66793，所以66天后的那一天是周六问题2：在三角函数中：(1)终边相同的角的正弦函数值相等，即sin(xk2)sin x(kz)(2)终边相同的角的余弦函数值相等，即cos(xk2)cos x(kz)上述两个结论说明正弦函数和余弦函数有什么共同性质？提示：正弦函数和余弦函数都具有周期性1周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数t，使得定义域内的每一个x值，都满足f(xt)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数t叫做这个函数的周期2最小正周期(1)定义：对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数叫做f(x)的最小正周期(2)正弦函数和余弦函数都是周期函数，2k(kz且k0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2.(3)正切函数ytan x也是周期函数，并且最小正周期是.问题：由周期函数的定义可知ysin x，ysin 2x，ysin 3x，ysin，ysin的周期分别为2，4，6.你能猜出ysin 4x，ysinx的周期吗？那么ysin x(0)的周期又是什么？提示：ysin 4x，ysinx的周期分别为，8；ysin x(0)的周期为.(1)若函数yf(x)的周期为t，则函数yaf(x)的周期为(其中a，为常数，且a0，0)(2)函数yasin(x)及yacos(x)(其中a，为常数，且a0，0)的周期t.1对周期函数与周期定义中的“对定义域内的任意一个x”，要特别注意“任意一个”的要求，如果只是对某些x有f(xt)f(x)成立，那么t就不是函数f(x)的周期例如：sinsin，但是sinsin，也就是说，不能对x在定义域内的每一个值都有sinsin x成立，因此不是函数ysin x的周期2从等式f(xt)f(x)(t0)来看，应强调的是与自变量x相加的常数才是周期，如f(2xt)f(2x)，t不是最小正周期，而应写成ff(2x)，则是f(x)的最小正周期3若f(x)是周期函数，则其图象平移周期的整数倍后，一定与原图象完全重合，即周期函数的周期不唯一 例1求下列函数的最小正周期(1)f(x)2sin；(2)f(x)2cos；(3)f(x)sin；(4)f(x)2cos(a0)思路点拨直接利用周期公式求解精解详析(1)t6，最小正周期为6.(2)t，最小正周期为.(3)t4，最小正周期为4.(4)t，最小正周期为.一点通利用公式求yasin(x)或yacos(x)的最小正周期时，要注意的正负，公式可记为t；函数yatan(x)的最小正周期为t.1函数f(x)sin的最小正周期为_解析：t4.答案：42函数f(x)tan的最小正周期为_解析：t.答案：3若f(x)5sin的最小正周期为，求k.解：由t.|k|10，k10. 例2若f(x)是以为周期的奇函数，且f1，求f.思路点拨利用奇偶性、周期性将转化可求精解详析fffffff1.一点通函数的周期性与其它性质相结合是一类热点问题，一般在条件中，周期性起到变量值转化作用，也就是将所求函数值转化为已知求解4设f(x)是定义在r上的以4为周期的奇函数，且f(1)1，则f(2 015)_.解析：f(x)的周期为4，f(x)为奇函数，且f(1)1.f(2 015)f(45041)f(1)f(1)(1)1.答案：15若f(x)是r上周期为5的奇函数，且满足f(1)1，f(2)2，则f(3)f(4)_.解析：由于f(x)的周期为5，所以f(3)f(4)f(2)f(1)又f(x)为r上的奇函数，f(2)f(1)f(2)f(1)211.答案：16已知f(x)在r上是奇函数，且满足f(x4)f(x)，当x(0,2)时，f(x)2x2，求f(7)的值解：f(x4)f(x)，f(x)是周期为4的函数，f(7)f(241)f(1)，又f(x)在r上是奇函数，f(x)f(x)，f(1)f(1)，而当x(0,2)时，f(x)2x2，f(1)2122，f(7)f(1)f(1)2.1求三角函数的周期的常用方法正弦函数和余弦函数的周期性实质是由终边相同的角所具有的周期性决定的求三角函数的周期的常用方法有：(1)公式法：对形如函数yasin(x)及yacos(x)(a，为常数，a0，0)的周期直接用公式t求解；(2)定义法：用周期函数的定义求解；(3)图象法：周期函数的图象总是周而复始地重复同一个形状，因而观察图象是不是周期性的循环也是判断周期性的常用方法2周期函数的一些常见结论由周期函数的定义“函数f(x)满足f(x)