第二部分第一章初等模型.ppt

数学建模的方法 第一章初等模型 在这一章中 我们介绍几个初等模型及相应的求解方法 所谓初等模型 指的是该模型并不涉及高深的数学问题 用常用的数学工具即可求解此类问题 微积分方法寻找最优点 适用于寻找最优的连续可导的数学模型 我的三大定律是数学模型 苹果 也是 问题1 铁路线上AB段的距离为100公里 工厂C距A处20公里 并且AC垂直于AB 见图 为了运输需要 要在AB线上选一点D向工厂修筑一条公路 已知铁路每公里货运的运费与公路每公里货运的运费之比为3 5 为了使货物从供应站B运到工厂C的运费最省 问D点应选在何处 已知AB 100 公里 AC 20 公里 铁路每公里货运的运费与公路每公里货运的运费之比为3 5 假设 公里 则取正常数可k为比例因子 铁路上每公里货运的运费为3k 公路上每公里货运的运费为5kAB间任意点到C都可以直线修路建模总运费 解模问题就归结为求函数在闭区间上的最小值 利用微积分方法 可先求y对x的导数 得x 15是函数在区间 0 100 内唯一驻点 又结论当AD 15公里时 总运费最省 问题2 某医院有一直角拐角走廊 如下图 已知该拐角走廊两边各宽1 5米和1 7米 另已知该医院病床宽1 2米 问能通过该走廊的病床最长不能超过多少米 已知廊弯为直角 两边宽度分别为1 5 1 7米病床的宽度为1 2米假设不考虑病床随行之医疗设备 廊高足够让病床通过 病床在转弯中可最大限度接近廊壁病床是一个标准的长方体 在俯视平面上记为ABCD 转弯点为E病床一侧与一边走廊的夹角为 建模由假设 病床的长度 而CE和ED的长度分别受走廊宽度限制 要找出病床最大容忍长度 由相似三角形 从而 该式表达了 0 2 中廊角可容病床的最大长度 病床若能转过拐角 其长度不能超过这个式子中所有取到的函数最小值 由于函数是一个连续可微函数 该问题可以转化为求解导函数的求零点问题 解模经过计算得该函数的零点并不容易求得 怎么办 我们用二分法方法求出该函数的零点 通过试验导函数在 0 1 1 0 中有实根 取中点0 55 导函数在 0 55 1 0 中有实根反复实施 可得到下表以及其近似根 通过近似计算的方法 我们知道问题的解为结论病床的长度不能超过2 1米 导函数曲线 函数曲线 模型分析从导函数曲线图中可以看到 导函数的零点是唯一的 因而问题有唯一的极值 再从函数曲线图中看到 该曲线是个 单谷 曲线 因而该点即为我们所要求的极小点 直观上 该点应该在区间中点的附近 而该结果和猜测相差不大 模型评价我们用近似求解的方法代替精确求解的方法 带来了误差 因此 最终的结果我们之保留了两位有效数字 当然从实用的角度看 这也足够了 最小二乘法拟合 许多问题需要根据两个变量的几组实验数据 来找出其最接近这些数据的函数关系的表达式 处理这样的问题通常有两种情况 完全不了解两个变量之间的任何函数关系式 黑箱模型 希望通过实验数据的分析讨论 建立两个变量之间的某种函数关系式 已知两变量间的带有若干个参数的函数关系式 希望根据实验数据确定这些参数 灰箱模型 确定参数的方法 通常采用最小二乘法 其中变量之间的含参数的关系式可借鉴前人研究结果 也可通过对实验数据的分析得到 数据拟合 给定平面上个数据点 我们将寻找曲线 使误差尽可能的小 即 使 为最小 一个最为简单的情况是 函数 为线性函数 即于是 记 则问题转变为求 使得 由多元函数的极值条件知 应满足方程 其解为 该方法就称为最小二乘法 最小二乘法的几何意义 进一步地 若所求曲线为多项式时 也有相应的方程 曲线拟合关系中的方程常称为法式方程 利用软件MatLab 可以简单地得到拟合多项式曲线中 各个系数 MatLab中曲线拟合命令是 基本格式 例求解下面的最小二乘问题 解由求解公式 在MatLab下编制程序并进行求解 得 求解程序为 问题1 汽车刹车距离与车速关系如何 分析汽车刹车距离由两部分组成 反应距离 反应时间因人而异 但有范围 为简化模型 不妨假定为一个常数 制动距离 与制动力成正比 因车而异 但不妨假定与车的质量成正比 制动过程是制动力作了功 将车的动能转化为零 假设刹车时 汽车的速度为v 反应时间为常数b 制动力F ma 其中m是车质量 a是常数建模由前 制动力做的功为F乘以制动距离 而这个功的大小等于刹车时车的动能刹车距离这个刹车距离与刹车时速度之间的关系是一个二次方程 有两个待定系数 系数b可以通过经验数据取人平均反映时间0 75秒 通过实际刹车距离的实际数据可以拟合系数c 只确定一个参数可直接解方程 解模下表列出了一组车速与刹车距离的实际测定值将原二次方程做一个变换 然后利用表中的数据 进行线性拟合 求得c 0 06于是 我们得到车速与刹车距离的经验公式 在Matlab中 结果可以用以下命令得到 v 020304050607080 D 04273 5116173248343464 c v 2 D 0 75 v 图标出了实际刹车距离与计算刹车距离的比较 问题2农作物产量与施肥量关系 某研究所为了研究氮 N 磷 P 钾 K 三种肥料对土豆和生菜的作用 分别对每种作物都进行了三种试验 试验中将每种肥料的施用量分为10个水平 在考察其中一种肥料的施用量与产量的关系时总是将另外两种肥料的施用量固定在第7个水平上 实验数据如下表所示 其中施肥量单位为公斤 公顷 产量单位为吨 公顷 试建立反映施肥量与产量关系的模型 并从应用价值和如何改进等方面作出评价 土豆数据 生菜数据 分析我们希望建立农作物产量W与施肥量之间的函数关系 由于施用了N P K三种肥料 若将N P K既表示三种肥料的名称 同时又表示三种肥料的施用量 则可考虑建立三元函数换个角度 建立产量W分别与三种肥料N P K的一元函数关系式 求教于专家 他们的专业知识会给我们指导 农学理论给出了多种有效的产量与施肥量间的函数关系 下列是几种关系理论Nicklas Miller理论 抛物线型关系 米采利希学说 指数型关系 博伊德观点 分段直线关系 建模据上述专业理论 可将问题由 黑箱模型 转化为 灰箱模型 先通过散点图大致估计确定施肥量与产量效应关系的函数来建模型将六组实验数据画点图 形状确定生菜土豆产量与氮磷钾肥函数 由上述点图的形状我们可以看到 氮肥施用量对土豆 生菜产量的效应关系均为抛物线型关系 函数关系可设为磷肥施用量对土豆 生菜产量的效应关系均为分段直线型关系 函数关系可设为钾肥施用量对土豆产量的效应关系为指数型关系 函数关系可设为 解模氮肥对土豆 生菜的函数关系磷肥对土豆 生菜的函数关系钾肥对土豆 生菜的函数关系 结果分析上述函数关系式反映了在一定条件下 每种肥料的施用量对农作物产量的效应关系 氮肥N的过量施用会造成减产 农学理论称为 烧苗 磷肥P的施用量达到某值后 增加施肥量对作物产量影响不大钾肥K的施用量的增加开始时对作物产量的影响较明显 逐渐的影响趋于缓和而钾肥K对生菜产量的作用关系几乎是一条水平直线 这可能是生菜的生长对钾肥的需求量较小 但也可能是由于土壤中含有的天然钾肥已足够满足生菜生长的需求 推广在我们得到的函数基础上 可以进行每种肥料最佳施用量的分析 我们的讨论不是基于产量最高时的最佳施肥量 而是使得经济效益最大的最佳施肥量 如果确定了每种肥料在一定条件下的最佳施肥量 综合平衡三种肥力交互作用对农作物产量的影响以及施肥量固定在第七个水平的操作原理 可确定 既能达到高产 又不浪费肥料 的总体最佳施肥量 状态转移方法 过河问题是一个古老而又有趣的数学问题 并且有很多描述 这里仅仅是其中的一种描述 问题有三名军官各带一名新随扈要乘一条小船过河 该船每次最多只能容纳两个人 并且由于谣言 军官们提防着随扈 感到一旦随扈人数多于军官数时 随扈就会发生兵变 但由于军官们控制着如何乘船的指挥权 所以他们就可以采用一个安全的过河方案 确保自己和随扈能顺利过河 试为军官设计这样的过河方案 建模 设在渡河过程中 此岸的军官个数为随从个数为以表示此岸的状态向量 即 在中有一部分对商人是安全的 称为容许状态集合 记为 即有 在上图中 实点即表示为容许状态的集合 乘船的方案称为决策 仍然用向量来表示 即名军官和名随扈同坐一条船 在这些决策中 有 是符合条件的 称为容许决策 容许决策的全体组成集合构成容许决策的集合 记为 在这个问题中 容许决策的集合为 小船从此岸到彼岸的一次航行 会使两岸的状态发生一次变化 此称为状态的转移 用 表示状态的转移 其中用表示在状态下的决策 当为奇数时 表示从此岸到彼岸 当为偶数时 表示从彼岸到此岸 称为状态转移公式 所以 该问题转变成寻找一系列的决策使状态由初始状态经过有限次的转移达到 建立坐标系统 并在坐标平面上建立的刻度单位 做网格线 网格线上的每一个交点代表一个状态 用实点表示 蓝色曲线弧表示向彼岸渡人 粉色曲线弧表示从彼岸返回 容许决策表现为从一个实点向另一个实点的转移 当i为奇数时 容许决策表现的是向下及向左的移动 当i为偶数时容许决策表现的是向上及向右的移动 解模 整个状态的转移用下面的表格来表示 经过11次的转移 最终军官和随扈都顺利安全地到达了河的彼岸 简单公式 席位分配问题 把定量的席位分配给不同的单位 并使得分配尽可能地 公正 这就是所谓的 席位分配 问题 问题某学校有3个系 共200名学生 其中甲系有学生100名 乙系有学生60名 丙系有学生40名 现拟成立有20人组成的学生会 问应如何分配学生会名额 解3个系的学生数所占须生总额的比例为 由此不难得到名额分配方案为 若丙系有6名学生转到他系 其中甲系3人 乙系3人 此时应如何分配名额呢 一般原则是先取整数分配 小数部分按取大原则 甲系 乙系 丙系 即 甲系10人 乙系6人 丙系4人 这样的分配方案是否公平呢 假设学生会成员数上升到21人 问应该如何分配 甲系 乙系 丙系 即 甲系11人 乙系7人 丙系3人 从中可以看出这样的分配方案并不合理 作为丙系的代表是不会接受这样的分配方案的 假设 席位是以整数计量的 并且为有限个 设为n个 参加分配的单位为有限个 并且不超过席位数 设单位数为m 有m n 每个单位有有限个人 席位是按各集体的人员多少来分配的 建模 所谓公平原则指的是 每个席位在各自的集体中所代表的人员数希望是相等的 为体现公平性 对人员数是的两单位1 2 其代表数为 引入指标 显然 若两指标相等 则分配是绝对公平的 定义绝对不公平度但不完全合理 在上面的例子中 绝对不公平度都相等 但实际问题是 间存在的不公平显然要比间存在的不公平要大 为此我们引入 当时 吃亏 称 为的相对不公平度 当时 吃亏 称 为的相对不公平度 在前例中 我们的目标是 在每一次分配时都使得相对不公平度都达到最小 解模 设单位已有席位 单位有席位 并假定吃亏 即 因而有意义 现考虑下一个席位的分配 把下一个席位分配给一定是吃亏 此时相对不公平度为 把下一个席位给使吃亏 这是不可能的 问题的关键就是在 情况下 通过比较相对不公平度的大小 确定下一个席位的分配方案 原则是把下一席位分配给相对不公平度大的一方 由此得到以下结论 当时 这一席位分配给 当时 这一席位分配给 若 即 上式等价于 引入 则在 的情况下 席位应分配给值大的那一方 在情况 由于 所以 因而把席位分配给符合上面的原则 把上面讨论的情况一般化就得到个单位个席位的分配方法 当分配一个新的席位时 首先按 计算各单位的 再根据值最大的一方进行分配 再回到本节一开始的问题 此时 首先先给各系一个席位 因而再计算 由此 第4个席位应该给甲系 此时再计算 而值没有变化 因此得到第5个席位给乙系 由此得到余下的席位的分配情况 具体分配见下表 计算结果表明 丙系最终保住了一个席位 类比比例法 四足动物的身材 问题的提出 如何根据四足动物的外部尺寸来估计它的重量 分析 这个问题咋一看比较复杂 涉及到生物学 然而我们换个思路 抛开复杂的生物组织 直接把四足动物的躯干看成物理的弹性梁 然后用弹性物理的一些理论来解决虽然结果不那么精准 但作为估计是足够了 假设考虑某四足动物 其质量为m 重量为W 动物的躯干外形为圆柱体 长度为L 横断面直径为d 面积为S 躯干被支撑在四条腿上 近似于简之弹性