人教A版选修22 推理与证明04反证法 课件（29张）.ppt

高中数学人教a版选修2 2第二章 四川省成都市新都一中肖宏 no 1middleschool mylove a b c三个人 a说b撒谎 b说c撒谎 c说a b都撒谎 则c必定是在撒谎 为什么 no 1middleschool mylove 第4课时反证法 no 1middleschool mylove 第4课时反证法 预学1 反证法的概念假定命题结论的反面成立 在这个前提下 引用一系列论据进行正确推理 若推出的结果与已有公理 定理 定义相矛盾 或与命题中的已知条件相矛盾 或与假定相矛盾 从而说明命题结论的反面不可能成立 由此断定命题的结论成立 这种证明方法叫作反证法 no 1middleschool mylove 第4课时反证法 练一练 应用反证法导出矛盾的推导过程中 要把下列哪些作为条件使用 结论相反的判断 即假设 原命题的条件 公理 定理 定义等 原结论 a b c d 答案 c no 1middleschool mylove 第4课时反证法 预学2 反证法的证题步骤 no 1middleschool mylove 第4课时反证法 练一练 反证法是 a 从结论的反面出发 推出矛盾的证法b 对其否命题的证明c 对其逆命题的证明d 分析法的证明方法 答案 a no 1middleschool mylove 第4课时反证法 预学3 常见的 原结论词 与 假设词 no 1middleschool mylove 第4课时反证法 练一练 否定结论 至多有两个解 的说法中 正确的是 a 有一个解b 有两个解c 至少有三个解d 至少有两个解 答案 c no 1middleschool mylove 第4课时反证法 预学4 适合用反证法证明的试题类型 1 直接证明困难 2 需分成很多类进行讨论 3 结论为 至少 至多 有无穷多个 类命题 4 结论为 唯一 类命题 想一想 设实数a b c满足a b c 1 则a b c中至少有一个不小于 答案 no 1middleschool mylove 第4课时反证法 1 用反证法证明否定性命题例1 已知a b c 0 1 求证 三个数 1 a b 1 b c 1 c a不能同时大于 方法指导 证明三个数不能同时大于某数 这种否定性命题不容易从正面入手 可用反证法求证 先假设三个数都大于某数 然后利用均值不等式推出矛盾 no 1middleschool mylove 第4课时反证法 解析 假设三个数同时大于 即 1 a b 1 b c 1 c a 因为a b c 0 1 所以上述三个不等式同向相乘 得 1 a b 1 b c 1 c a no 1middleschool mylove 第4课时反证法 又 1 a a 2 同理 1 b b 1 c c 所以 1 a b 1 b c 1 c a 这与假设矛盾 故原命题得证 no 1middleschool mylove 第4课时反证法 变式训练1 已知函数f x ax a 1 用反证法证明方程f x 0没有负实数根 解析 假设存在x0 0 x0 1 满足f x0 0 则 又0 1 所以0 1 解得 x0 2 这与假设矛盾 故x0 0不成立 故方程f x 0没有负实数根 no 1middleschool mylove 第4课时反证法 2 用反证法证明几何命题例2 求证 若两条平行直线中的一条与平面 相交 则另一条也与平面 相交 方法指导 直接证明直线与平面相交比较困难 故可考虑用反证法 注意该命题的否定形式不止一种 需一一驳倒 才能推出命题的结论正确 no 1middleschool mylove 第4课时反证法 解析 已知直线a b 且直线a与平面 相交 求证 直线b与平面 相交 假设直线b与平面 不相交 则必有下面两种情况 1 直线b在平面 内 由a b a 平面 得a 平面 与题设矛盾 2 直线b 平面 在平面 内有直线b 使b b 而a b 故a b 因为a 平面 所以a 平面 这也与题设矛盾 综上所述 直线b与平面 相交 no 1middleschool mylove 第4课时反证法 变式训练2 设sa sb是圆锥so的两条母线 o是底面圆心 c是sb上一点 求证 ac与平面sob不垂直 解析 假设ac 平面sob 如图所示 因为so在平面sob内 所以so ac 因为so 底面圆o ab在底面圆o内 所以so ab no 1middleschool mylove 第4课时反证法 又ac与ab交于点a so不在平面abc内 所以so 平面abc 所以so 平面sab 所以平面sab 底面圆o 这显然矛盾 所以假设不成立 即ac与平面sob不垂直 no 1middleschool mylove 第4课时反证法 3 用反证法证明至多 至少等形式的命题例3 已知a b c为正数 求证 三个数a b c 中至少有一个不小于2 方法指导 结论含有的 至少 提示我们可用反证法 注意 至少有一个 的反面是 一个也没有 no 1middleschool mylove 第4课时反证法 解析 假设这三个数都小于2 即a 2 b 2 c 2 将上述三个不等式相加 得a b c 6 又a 2 b 2 c 2 所以a b c 6 显然 与 矛盾 所以三个数a b c 中至少有一个不小于2 no 1middleschool mylove 第4课时反证法 变式训练3 若a b c均为实数 且a x2 2y b y2 2z c z2 2x 求证 a b c中至少有一个大于0 no 1middleschool mylove 第4课时反证法 解析 假设a b c都不大于0 即a 0 b 0 c 0 所以a b c 0 而a b c x2 2y y2 2z z2 2x x2 2x y2 2y z2 2z x 1 2 y 1 2 z 1 2 3 3 0 这与a b c 0矛盾 故a b c中至少有一个大于0 1 用反证法证明数学命题的四个步骤第一步 分清命题的条件和结论 第二步 写出与命题结论相矛盾的假设 第三步 由假设出发 推出矛盾的结果 第四步 断定产生矛盾结果的原因在于假设不真 于是原结论成立 从而间接地证明了命题为真 no 1middleschool mylove 第4课时反证法 2 适宜用反证法证明的数学命题 1 结论本身是以否定形式出现的一类命题 2 关于唯一性 存在性的命题 3 结论是以 至多 至少 等形式出现的命题 4 结论的反面比原结论更具体 更容易研究的命题 5 一些基本命题 定理 no 1middleschool mylove 第4课时反证法 如果 a1b1c1的三个内角的余弦值分别等于 a2b2c2的三个内角的正弦值 那么 a a1b1c1和 a2b2c2都是锐角三角形b a1b1c1和 a2b2c2都是钝角三角形c a1b1c1是钝角三角形 a2b2c2是锐角三角形d a1b1c1是锐角三角形 a2b2c2是钝角三角形 no 1middleschool mylove 第4课时反证法 解析 由条件知 a1b1c1的三个内角的余弦值均大于0 则 a1b1c1是锐角三角形 假设 a2b2c2是锐角三角形 由 no 1middleschool mylove 第4课时反证法 得 所以a2 b2 c2 这与三角形内角和为180 相矛盾 所以假设不成立 又 a2b2c2不能为直角三角形 所以 a2