人教A版选修22 2.3数学归纳法 课件（46张）.ppt

第二章 推理与证明 2 3数学归纳法 自主预习学案 数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题 可按下列步骤进行 归纳奠基 证明当n取 时命题成立 归纳递推 假设 证明 第一个值n0 n0 n n k k n0 k n 时命题成立 当n k 1时命题也成立 解析 当n 1时 2n 1 2 1 1 3 所以左边为1 2 3 故应选c c d b 互动探究学案 命题方向1 数学归纳法的基本原理及用数学归纳法证明恒等式 规律总结 用数学归纳法证明恒等式时 一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况 二是弄清从n k到n k 1等式两端增加了哪些项 减少了哪些项 三是证明n k 1时结论也成立 要设法将待证式与归纳假设建立联系 并朝n k 1证明目标的表达式变形 c b 命题方向2 用数学归纳法证明不等式 规律总结 用数学归纳法证明不等式和证明恒等式注意事项大致相同 需要注意的是 1 在应用归纳假设证明过程中 方向不明确时 可采用分析法完成 经过分析找到推证的方向后 再用综合法 比较法等其他方法证明 2 在推证 n k 1时不等式也成立 的过程中 常常要将表达式作适当放缩变形 以便于应用归纳假设 变换出要证明的结论 命题方向3 用数学归纳法证明整除问题 证明 1 当n 1时 a1 1 a 1 2 1 1 a2 a 1 命题显然成立 2 假设当n k k n 时 ak 1 a 1 2k 1能被a2 a 1整除 则当n k 1时 ak 2 a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2 a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2k 1 a 1 2 a 1 2k 1 a a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2k 1 a2 a 1 a 1 2k 1 由归纳假设知 上式能被a2 a 1整除 故当n k 1时命题也成立 由 1 2 知 对一切n n 命题都成立 规律总结 用数学归纳法证明整除问题时 首先从要证的式子中拼凑出假设成立的式子 然后证明剩余的式子也能被某式 数 整除 其中的关键是 凑项 可采用增项 减项 拆项和因式分解等方法分析出因子 从而利用归纳假设使问题得到解决 利用数学归纳法证明整除问题 由归纳假设p k 能被p整除 证p k 1 能被p整除 也可运用结论 若p k 1 p k 能被p整除 p k 1 能被p整除 或利用 p k 能被p整除 存在整式q k 使p k p q k 将p k 1 变形转化分解因式产生因式p 例如本题中 在推证n k 1命题也成立时 可以用整除的定义 将归纳假设表示出来 假设n k时 ak 1 a 1 2k 1能被a2 a 1整除 则ak 1 a 1 2k 1 a2 a 1 q a q a 为多项式 所以 a 1 2k 1 a2 a 1 q a ak 1 所以n k 1时 ak 2 a 1 2k 1 ak 2 a 1 2 a 1 2k 1 ak 2 a 1 2 a2 a 1 q a ak 1 ak 2 a 1 2 a2 a 1 q a a 1 2ak 1 a 1 2 a2 a 1 q a ak 1 a2 a 1 显然能被a2 a 1整除 即n k 1时 命题亦成立 归纳 猜想 证明 规律总结 数学归纳法源于对某些猜想的证明 而猜想是根据不完全归纳法对一些具体的 简单的情形进行观察 类比而提出的 给出一些简单的命题 n 1 2 3 猜想并证明对任意自然数n都成立的一般性命题 解题一般分三步进行 1 验证p 1 p 2 p 3 p 4 2 提出猜想 3 用数学归纳法证明 2 由a2 a3 a4 对 an 的通项公式作出猜想 an n 1 n 2n 证明如下 当n 1时 a1 2 1 1 1 21成立 假设当n k k n 时 ak k 1 k 2k 则当n k 1时 ak 1 ak k 1 2 2k k 1 k 1 2k k 1 2 2k k k 1 2k 1 k 1 1 k 1 2k 1 由此可知 当n k 1时 ak 1 k 1 1 k 1 2k 1也成立 由 可知 an n 1 n 2n对任意n n 都成立 未用归纳假设而致误 辨析 错解中的第二步没用到归纳假设 直接使用了等比数列的求和公式 由于未用归纳假设 造成使用数学归纳法失误 正解 1 当n 3时 左边 2 22 6 右边 2 22 1 6 等式成立 2 假设n k时 结论成立 即2 22 2k 1 2 2k 1 1 那么n k 1时 2 22 2k 1 2k 2 2k 1 1 2k 2 2k 2 2 2k 1 所以当n k 1时 等式也成立 由 1 2 可知 等式对任意n 2 n n 都成立 点评 在用数学归纳法证明中 两个基本步骤缺一不可 其中 第一步是递推的基础 验证n n0时结论成立的n0不