课题第24讲数形结合思想.doc

课题 第24讲 数形结合思想考点透析高考数学对数形结合思想的考查主要涉及以下几点：集合及其运算问题Venn图与数轴；运用函数图像解决有关问题；与向量相关的问题；解析几何与立体几何中的数形结合思想；数学概念及数学表达式几何意义的应用；数轴与直角坐标系的广泛应用知识整合数形结合的数学思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，近几年的高考题注重对知识内在联系的考查，注重对中学数学所蕴含的数学思想方法的考查运用数形结合思想方法解题，通常可以从以下几个方面入手：函数、不等式与函数图像；曲线与方程；向量的两重性；概念自身的几何意义；参数本身的几何意义；可行域与目标函数最值；代数式的结构特点解题时要注重数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决 运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征，注意“数”与“形”的互化，转换命题，就能化难为易、化繁为简，提高解决问题的速度和准确率，达到事半功倍的效果考点自测1（2010湖北理9改编）若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是_.2（2011如皋市月考）已知偶函数的图象与轴有五个公共点，那么方程的所有实根之和为_.3（2010北京海淀）若满足约束条件，则的最大值和最小值分别为 4（2011如东月考）四面体的六条棱中，其中五条棱的长度都是2，则第六条棱长的取值范围是 典型例题高考热点一：应用数形结合探求方程根的个数例1：（2011通州市月考）设是定义在区间上以为周期的函数，对于，用表示区间，已知当时， 求在上的解析表达式； 对自然数,求集合使方程在上有两个不相等的实根 【分析】由函数的周期性不难求出函数的表达式，对于，用代数解法可以利用一个方程有两个不相等的实根的充要条件，但是如果充要条件的方法则使问题的解决变得比较简单高考热点二：应用数形结合解决不等式有关问题例2：（2011海安文科练习）已知为自然数，实数，解关于的不等式： 【分析】应用数形结合解不等式显得比较直观清晰高考热点三：应用数形结合将代数问题“几何化”例3：(2008四川卷改编)设等差数列的前项和为，若，求的最大值 【分析】应用数形结合将代数问题“几何化”，借助于线性规划的有关知识使问题得以解决Ox+2y-6=0x-2y+10=0（图1）yx2x-y-7=0y（图2）OxABCDPMN（图24-1）高考热点四：应用数形结合将几何问题“代数化”例4：（2008南通一模）在平面区域内有一个圆，向该区域内随机投点，将点落在圆内的概率最大时的圆记为M（1）试求出M的方程；（2）设过点P（0，3）作M的两条切线，切点分别记为A，B；又过P作N：x2+y2-4x+y+4=0的两条切线，切点分别记为C，D试确定的值，使ABCD【分析】平面直角坐标系的建立使得利用代数方法处理几何问题成为了可能，“以数辅形”，通过计算将问题得以解决。高考热点五：应用数形结合解决填空题在填空题里渗透数学数学的考查是每年高考的重中之重例5：(2011扬州中学摸底考试改编)设定义域为R的函数，则关于的方程有7个不同实数解的充要条件是_【分析】直接解似乎无从下手，可画出函数的图象帮助思考。例6：(2011苏州实验中学月考)对,记,函数 的最小值是_【分析】画出函数的图象帮助思考（图24-2）误区分析求方程的解的个数. 解：画出和的草图(图24-2)，由图像可以看出，方程只有一个解,随堂练习1方程sin(x)=x的实数解的个数是 2已知（其中ab，且、是方程f(x)=0的两根（，则实数、的大小关系为 3已知集合A=x5x,B=xx2axxa，当AB时，则a的取值范围是 4两个圆与的公切线有且仅有 条 5已知A（1，1）为椭圆=1内一点，F1为椭圆左焦点，P为椭圆上一动点 求PF1+PA的最大值和最小值 6已知方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围学力测评1不等式一定有解，则a的取值范围是 2无论m取任何实数值，方程的实根个数都是 （图24-3）3已知函数的图象如右（图24-3）所示，则b的范围是 4设，则函数的最小值是 5(2011全国卷,理15) 直线与曲线有四个交点，则的取值范围是 .6若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是 7已知方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是_ 8设分别为定义在上的奇函数和偶函数，当时，,且,则不等式的解集是_ 9设函数,其中,解不等式.10已知向量,，,求与夹角的最小值和最大值11已知是等差数列的前n项的和且,求12已知二次函数的图像以原点为顶点且过点,反比例函数的图像与直线的两个交点距离为8，求函数的表达式；证明当时，关于x的方程，有三个实数解参考答案第24讲 数形结合思想考点自测1； 2. 0；3.17，-11 4. 典型例题例1：解：由题意，代数解法需解方程， 即方程 在区间内有两个不相等的实根，其充要条件是（图24-4） 由这个不等式组解得的取值范围。用数形结合思想则比较直观。 由图24-4中，立即可得, 的取值范围为例2：解：由，不等式的左边化为首先，对按奇数和偶数分类，再画出图象求解。（1）当为奇数时，不等式化为，即化为不等式组（2）当为偶数时，不等式化为，即化为不等式组画出图象，两个图象的交点是（图24-5）.（图24-5）因为，则的解为,则当为奇数时，不等式的解为,即,当为偶数时，不等式的解为,即.（图24-6）例3：解：由题意， ， 即 ， ， 建立平面直角坐标系，画出可行域 （如图24-6），画出目标函数即直线，当直线过可行域内 点时截距最大，此时目标函数取最大值 例4：解：（1）设M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)，则点(a，b)在所给区域的内部 于是有 解得 a=3，b=4，r=，所求方程为(x-3)2+(y-4)2=5 （2）当且仅当PMPN时，ABCD 因，故，解得=6当=6时，P点在圆N外，故=6即为所求的满足条件的解 （图24-7）例5：解：画出函数的图象（图24-7）,该图像关于对称,且,令,若有7个不同实数解,则方程有2个不同实数解,且为一正根,一零根.因此, 且。 （图24-8）（图24-9）例6：解：画出函数和的图象（图24-8），由的定义,可得，则.误区分析解：准确地画出图象(图24-9),可知有三个解随堂自测1，2，a3，2，解 由可知a=3,b=,c=2，左焦点F1(2,0),右焦点F2(2,0) 由椭圆定义，PF1=2aPF2=6PF2,PF1+PA=6PF2+PA=6+PAPF2如图（24-10）（图24-10）由PAPF2AF2=知PAPF2 当P在AF2延长线上的P2处时，取右“=”号；当P在AF2的反向延长线的P1处时，取左“=”号 即PAPF2的最大、最小值分别为， 于是PF1+PA的最大值是6+,最小值是6 （图24-11）已知方程化为. 作函数的图象，这是以为圆心,以为半径,在轴上方的半圆再作函数的图象如图（24-11）,这是以为斜率.且过点的直线已知方程有两个实数根就是直线与半圆有两个交点，设切半圆于，由图2-11可知，斜率应满足 ，因为为圆的切线，所以，圆心到直线的距离等于半径，即，解得，所以，实数的取值范围为学力测评1，22，3，4，5，6，7，8 ,9解：不等式可化为，（图24-12）作函数的图象，它是双曲线的上支，作函数的图象如图（24-12），它是过的直线系，不等式的意义是双曲线在直线的下方时，横坐标的取值.从图象可以看出,当时, 函数的图象的右半部分在直线的下方,因此,不等式的解是,当时, 直线与的图象交于两点.解方程得,于是解为由以上,不等式的解集为: 当时, 当时, 10本题用直接法相当麻烦,下面先用直接法求解 由及可知,向量与向量的夹角就是直线的倾斜角, 向量是直线的方向向量,于是 .设，则 ， 由于,则, 解得 ,（图24-13） 即 而根据向量的几何意义用图形解题就比较简单 由则点在以为圆心,为半径的圆上,又由已知, ,则是轴上的一个向量,所以圆上的点与点的连线的倾斜角即为与的夹角. 如图24-13,可以求出, ,. 因而, Opqn(图24-14)11解：，由题设知，是关于n的缺常数项的二次函数，其图像是由过原点的抛物线上的点构成（图24-14）又抛物线对称轴方程为，故12解：由已知，设，由得