二项式定理的推广及应用.doc

二项式定理的推广及应用曲靖市麒麟高级中学 车保勇摘 要 二项式定理是在处理有关两个元素和的方幂问题时常常考虑到的一个重要公式深入研究二项式定理的推广及其用途，巧妙应用，能为许多数学问题提供另类解法，同时解决一些难度较大的问题因此，进一步探讨二项式定理的推广及应用仍是一项有意义的工作但前人得出的应用范围仅局限于求值、近似计算、整除、求余数、证明不等式等方面，而且在推广方面不够完善，笔者对二项式定理的推广作进一步完善，系统整理已有用途，并给出一种前人尚未提及的用途：即用二项式定理处理特殊极限问题纵观全文，深入研究二项式定理的用途，不仅为一些数学问题提供了另类解法，更重要的是拓宽了二项式定理的应用范围关键词 二项式定理 推广 方幂 应用1 引言二项式定理是在处理有关两个元素和的方幂问题时常常考虑到的一个重要公式.数式二项式定理表述为：它有着十分广泛的应用，遍及初等数学和高等数学领域1 认真研究问题的条件和结构，把一些表面与二项式定理或推广定理无关的问题作适当变形，构造出二项式定理或推广定理，再用其求解（证明），可使解题简洁明快巧妙应用二项式定理或推广定理，不仅为许多问题提供另类解法，还能解决一些难度较大的数学问题因此，把二项式定理进一步推广完善，并充分研究其用途，拓宽其应用范围，仍是一件有意义的工作2 问题的提出虽然学者们对二项式定理的推广及应用的研究取得了丰硕的成果，但已有成果都存在两个不足方面：一是推广不够完善；二是应用范围不够广针对此情况，笔者试图将其推广进一步完善，系统整理已有用途，并提出新的用途，拓宽其应用范围 3 二项式定理的推广二项式定理是在处理有关两个元素和的方幂问题时常常考虑到的一个重要公式数式二项式定理表述为：其中叫做二项式的通项公式，叫做二项式系数若令 ，则 ，3.1 推广一在实际应用中，除遇到二项式外还常常遇到多项式问题，为便于应用，现将其作推广 先考察三项式的展开式: 若令，便得到三项式展开式通项公式：，其中叫三项式系数2类似地可得四项式通项公式为 ，其中称四项式系数于是猜想项式定理为：定理，在证明之前，先分析一下上述定理的结构如果像二项、三项那样展开求和或用归纳法证明，显然十分繁琐，于是考虑用排列组合知识进行证明证明设，它的一般项可以这样得到，从个式子，中由个式子里取有种方法，再由剩下的个式子中选个式子取有种方法，依次类推，从最后的个式子中选有种方法于是选取这个元素总共有种方法，将所得元素相乘即为，因此一般项系数为于是定理得到证明这个结论结构优美，记忆简便，体现出数学美33.2 推广二由数式二项式定理可得这里的是正数，当指数为负整数时，又是什么情形呢？定理2 当,为正整数时其中证明(1)当时，左边，右边，左边右边，即上式成立 (2) 假设当时，有 成立， 则当时，考虑 ，其中 ，因为 ，所以 ，所以，两边同时除以得，即当也成立综上所述，定理成立3.3 推广三设，对于多项式，约定展开式中含项的系数，易得定理3 设，则(1) ；(2) ；(3) ；(4) 当为奇数时，；(5) 当为偶数时，证明若令，则可得结论(1)和(2)成立(3)令则有 ，即 ，由复数相等的定义可知结论(3)成立下面证明结论(4)和(5):令则有，整理可得当为奇数时，上式右边为纯虚数，所以左边实数部分为0，即结论(4)成立；当为偶数时，上式右边为实数，所以左边虚数部分为0，即结论(5)成立4二项式定理的应用二项式定理是代数中的一个重要定理，恰当应用二项式定理和其推广定理可使一些复杂问题简洁化，困难问题简单化4.1 在求值问题中的应用巧妙运用二项式定理可使一些看似十分困难的求值问题简单化例1用表示实数的小数部分，若，则的值为多少？分析：此题表面看较为困难，但若能发现，且，便能迎刃而解解令，因为，所以，由二项式定理有 ， ，因为是正整数，所以 ，所以 在挖掘出倒数关系的基础上，巧妙构造来替代是顺利解题的关键5例2若的展开式为，求的值(2001年全国高中数学联赛题)解令，可得，； (1)令，可得， （其中，则，且）； (2) 令，可得； (3)以上三式相加可得 ，所以 对求有关二项式系数和的问题，常用赋值法一般地，多项式的各项系数和为，奇次项系数的和为；偶次项系数和为64.2 在近似计算问题中的应用求近似值问题常把二项式定理展开，根据精确度决定所取项数可使计算简捷7例3求的近似值(精确到0.001)分析: ，简单构造二项式定理模型，展开按精确度要求取前两项计算便得符合条件的结果解 4.3 在整除与余数问题中的应用二项式定理是解决整除和余数问题最有效的策略之一例4试证大于()的最小整数能被整除(第六届普特南数学竞赛题)分析: 由联想到其对偶式，考虑二者之和即可证明因为 ，所以 由二项式定理可得 是偶数，记为，则大于的最小整数为又因为 ，由二项式定理知是偶数，记为，所以 即命题得证例5今天是星期日，再过天后是星期几？分析：此题实质是求除以7后的余数问题解 ，因为前50项都能被7整除，只需考查除以7所得余数. 于是得余数为4，故天后是星期四4.4 在不等式问题中的应用利用二项式定理证明不等式，是二项式定理的一个重要应用一般情况，在二项式展开式中取舍若干项，即可将相等关系转化为不等关系，从而获得相关不等式特别在有关幂不等式和组合不等式方面有独特作用例6求证：证明由二项式定理得 又 根据实际需要进行实际取舍相关项是这类题的关键例7 设，求证: 分析: 设，且，则，再用二项式定理解题证明设，且，于是有 ；又因为 ，所以 即题目得证此题表面看似乎与二项式定理无关，但做换元后便露出其本质它的结论也可以写成在高中数学教材不再介绍数学归纳法的情况之下，二项式定理是证明这一不等式简捷且有效的途径8-13例8 设，且求证：对每个自然数都有(1998年全国高中数学竞赛题)分析: 因为，且，所以； 再利用均值不等式求证证明由 ，及二项式定理得 本题一般用数学归纳法证明，但用二项式定理结合基本不等式证明更简捷明快4.5 在多项式问题中的应用在实际应用中，除遇到二项式问题外还常常遇到多项式问题，利用推广定理可使解题方便快捷例10 求的展开式中含的项解 直接应用推广定理1有的展开式中项为例11 求中的系数分析: 直接展开项数太多，显得冗长复杂，利用定理1可快速解决解 的通项为于是有方程组 其非负整数解为， ， 故中的系数为 5 结论本文首先将二项式定理进行推广，然后系统整理了二项式定理已有的用途，同时提出不同于前人成果的用途，即求解一些特殊极限问题再以典型实例说明了二项式定理有着十分广泛的应用二项式定理在中学教材中占有的篇幅并不大，但其有着十分广泛的应用，可以从初等数学跨到高等数学中，可使一些困难问题简洁化深入挖掘二项式定理及推广定理的应用，不但为教师教学提供参考，提供一种新的解题途径，且拓宽了二项式定理的应用范围本文存在着两方面的局限：一是推广没有从本质上突破前人的成果，只是将其进一步完善；二是在高等数学中的应用范围有待拓宽参考文献:1 刘玉琏，傅沛仁数学分析讲义M北京：高等教育出版社，2003：1562 耿玉霞二项式定理的推广及应用J辽宁教育学院学报，2002，19(4)：50513 孙幸荣，曹学锋二项式定理的推广及其应用J广西教育学院学报，2004，15(5)：53544 张盛可换