人教A版选修22 1.3导数在研究函数中的应用2 学案.doc

第一章导数及其应用 1.3导数在研究函数中的应用2 - 学 案一、学习目标1了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用2掌握函数极值的判定及求法3掌握函数在某一点取得极值的条件二、自主学习(1) 函数极值定义一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有点，都有f(x)f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个 ，记作y极大值=f(x0)，x0是 .如果对x0附近的所有的点，都有f(x) f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个 ，记作y极小值= f(x0)，x0是 .极大值与极小值统称为极值.(2) 判别f(x0)是极大、极小值的方法:若满足，且在的两侧的导数 ，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的 ，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是 .(3) 求可导函数f(x)的极值的基本步骤: (1)确定函数的定义区间，求 . (2)求方程f(x)=0的 .(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.检查f(x)在方程根左右的值的 ，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得 ；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得 ；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处 .三、合作探究题型一 求函数的极值例1 设函数（）,其中,求函数的极大值和极小值思路导析: 先求函数的导数，再令导函数为零,求可疑极值点,最后列表判断极值,并求出极值.解：，令，解得或由于，当变化时，的正负如下表：因此，函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值，且规律总结: 该问题既求函数的极大值,又求极小值,需要依据求极值的基本步骤进行.列表判断符号是关键.当两个可疑极值点大小不确定时,需要进行分类讨论.变式训练1已知，函数，求函数在的极值.题型二 函数极值(点)的判定例2 已知函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如下图所示，则().a函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点b函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点c函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点d函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点思路导析:依据导函数值的符号与函数单调性的关系，判断函数的单调性，再依据单调性判断函数极值.解:由导函数图象可知,当和时,当函数值非负,其余部分导函数值非正,据此可以判断为极大值点, 为极小值点,故该函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点.规律总结:由图象性质判断函数的极值,其依据是函数极值的定义,因此,由导函数的性质判断函数的单调性,是解决该类问题的关键所在.变式练习2已知与是定义在上的连续函数，如果与仅当时的函数值为0，且，那么下列情形不可能出现的是（ ）.a0是的极大值，也是的极大值b0是的极小值，也是的极小值c0是的极大值，但不是的极值d0是的极小值，但不是的极值题型三 已知函数的极值,求参数的值或取值范围例3已知函数图象上的点处的切线方程为若函数在时有极值，求的表达式.思路导析:求函数的解析式,即求参数的值.利用极值的性质和切线的意义建立方程组,解方程组,便可求解.解：，因为函数在处的切线斜率为-3，所以，即(1).得.(2) 函数在时有极值，所以(3)，联立方程(1),(2),(3),解得,所以 规律总结: 上述问题中,为了建立方程,充分利用了函数在处有极值的必要条件.在此需要注意一点,一般情况下,对求得的值或范围,需要依据极值点的定义进行检验,以确定取舍.变式练习3设函数,若的极值点，求实数.四、自主小测1. 函数有（ ）.a. 极小值1，极大值1b. 极小值2，极大值3c.极小值2，极大值2d. 极小值1，极大值32. 已知函数,那么( ). a.没有极值 b.有极小值 c. 有极大值 d.有极大值和极小值3. 下列说法正确的是( ). a. 函数在闭区间上的极大值一定比极小值大; b. 函数在闭区间上的最大值一定是极大值;c. 对于,若,则无极值;d.函数在区间上一定存在最值.4. 若函数y=x3+ax2+bx+27在x=1时有极大值，在x=3时有极小值，则a= ,b= .5. 函数f(x)=x的极大值是 ，极小值是 .6. 设,令,求在内的极值.参考答案1. 答案:d.解析：，令得 ,当时，；当时，；当，,时，当，故选d.2. 答案:c.解析: ,当时, 当时,所以为极大值点.3.答案:c.解析: 由知,当时,判别式小于零,所以无极值.4. 答案:3,9.解析