苏教版选修21 2.3.2　双曲线的几何性质 学案1.doc

2.3.2双曲线的几何性质学习目标重点、难点1能记住双曲线的简单几何性质2会分析双曲线的渐近线及有关的应用3能解决简单的直线和双曲线的位置关系问题.重点：1双曲线的简单几何性质2直线与双曲线的位置关系难点：1渐近线及其应用2直线与双曲线的位置关系.1双曲线的几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质焦点_焦距|f1f2|_范围_对称性_顶点_轴长实轴长_，虚轴长_离心率e渐近线_预习交流1双曲线1的焦点坐标为_，顶点坐标为_，实轴长为_，虚轴长为_，离心率为_2等轴双曲线_和_相等的双曲线为等轴双曲线，显然，它的渐近线方程为_，离心率为_，方程可表示为_预习交流2焦点为(，0)，(，0)的等轴双曲线的标准方程为_在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点一、利用双曲线的标准方程考查简单几何性质设双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，离心率为，则双曲线的渐近线方程为_思路分析：根据已知条件求出a，b，再由焦点位置求出渐近线方程(1)双曲线y22x22，则它的焦点坐标为_(2)双曲线y21(a0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_(1)在研究双曲线性质时，一定要弄清a，b所对应的值及c2a2b2的关系，若给出方程，但不是标准方程时，要先化成标准方程(2)双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，双曲线1的渐近线方程为yx.应仔细区分两双曲线的渐近线的异同点二、由双曲线的几何性质求标准方程求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为；(2)渐近线方程为yx，且经过点a(2，3)思路分析：(1)中给出了焦点所在的坐标轴，只需求出系数a，b的值，便可得到相应的标准方程；(2)中双曲线的焦点位置不明确，应首先讨论焦点所在的坐标轴，再根据已知条件求相应的标准方程(1)已知双曲线的一个焦点坐标为(，0)，渐近线方程为2x3y0，则双曲线的标准方程为_(2)双曲线1(a0，b0)的离心率为，且它的虚轴长为椭圆1的短轴长，则此双曲线方程为_由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法，其步骤为：当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx2ny21(mn0)，从而直接求得三、与双曲线离心率有关的问题(1)设双曲线的一个焦点为f，虚轴的一个端点为b，如果直线fb与该双曲线的一条渐近线垂直，那么双曲线的离心率是_思路分析：设出双曲线方程，用a，b，c表示直线fb和渐近线的斜率，由斜率之积为1建立a，b，c的关系式，结合c2a2b2和e得到关于e的方程，求解方程可得离心率(2)已知点f1，f2分别是双曲线1的左、右焦点，过f1且垂直于x轴的直线与双曲线交于a，b两点，若abf2为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是_思路分析：画出图形，可得abf2为等腰三角形，再考虑锐角的条件求出a，c的不等式(1)已知点(2,3)在双曲线c：1(a0，b0)上，c的焦距为4，则它的离心率为_(2)双曲线的渐近线方程为yx，则双曲线的离心率等于_求双曲线离心率的常见方法：一是依据条件求出a，c，再计算e；二是依据条件提供的信息建立关于参数a，b，c的等式，进而转化为关于离心率e的方程，再解出e的值四、直线与双曲线的位置关系设双曲线c：y21(a0)与直线l：xy1相交于两个不同的点a，b.(1)求双曲线c的离心率e的取值范围；(2)设直线l与y轴的交点为p，且，求a的值思路分析：(1)利用0可得a的范围，再写出离心率关于a的表达式，可求出离心率的范围；(2)由根与系数的关系及向量坐标关系，可得到关于a的方程，解出a即可已知双曲线c：1(a0，b0)的离心率为，且过点p(，1)(1)求双曲线c的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线c恒有两个不同的交点a和b，且2(o为坐标原点)，求k的取值范围双曲线的综合问题最终仍体现在直线与双曲线轨迹、向量的应用及参数范围的探求上，直线与双曲线方程联立后，要注意二次项系数为零的情况另外，设而不求、根与系数的关系、消参也是常用的方法在解题时，应有意识地运用这些方法，达到熟练掌握的程度1中心在原点，对称轴为坐标轴且经过点p(1,3)，离心率为的双曲线标准方程为_2设双曲线1(a0)的渐近线方程为3x2y0，则a的值为_3f1和f2是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，若f1，f2，p(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为_4双曲线1的焦点到渐近线的距离为_5已知双曲线1(a0，b0)与直线y2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为_用精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来，并进行识记知识精华技能要领答案：课前预习导学1f1(c,0)，f2(c,0)f1(0，c)，f2(0，c)2cxa或xaya或ya关于x轴，y轴，(0,0)对称a1(a,0)，a2(a,0)a1(0，a)，a2(0，a)2a2byxyx预习交流1：提示：(5,0)和(5,0)(3,0)和(3,0)682实轴长虚轴长yxx2y2(0)预习交流2：提示：x2y21课堂合作探究活动与探究1：yx解析：实轴长为4，离心率为，a2，c，b1.又双曲线的焦点在x轴上，双曲线方程为y21.渐近线方程为yx.迁移与应用：(1)(0，)和(0，)解析：方程化为标准方程为x21，a22，b21，c23.又由方程知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，)和(0，)(2)yx解析：由已知双曲线的焦点在x轴上，且b21，则c2a2b2a21.由离心率为2，得4.a2，解得a(负值舍去)渐近线为yxx.活动与探究2：解：(1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c13，又，a5，b12，故其标准方程为1.(2)方法一：双曲线的渐近线方程为yx，若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则.a(2，3)在双曲线上，1.由联立，无解若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则.a(2，3)在双曲线上，1.由联立，解得a28，b232.所求双曲线的标准方程为1.方法二：由双曲线的渐近线方程为yx，可设双曲线方程为y2(0)，a(2，3)在双曲线上，(3)2，即8.所求双曲线的标准方程为1.迁移与应用：(1)1解析：由题意知双曲线的焦点在x轴上，设方程为1(ab0)，渐近线方程为2x3y0，即yx，.又一个焦点为(，0)，c.又c2a2b2，由得a29，b24，c213.双曲线方程为1.(2)1解析：椭圆方程为1，此椭圆的短轴长为2.由题意得2b2，b.双曲线的离心率为，.又c2a2b2.由得a23，b26，c29.双曲线方程为1.活动与探究3：(1)解析：设双曲线方程为1(a0，b0)，不妨设一个焦点为f(c,0)，虚轴端点为b(0，b)，则kfb.又渐近线的斜率为，所以由直线垂直得1，即b2ac，又c2a2b2，故c2a2ac，两边同除以a2，得方程e2e10，解得e(负值舍去)(2)(1,1)解析：由双曲线性质得af2=bf2，abf2为锐角三角形时，f1bf245.把x=c代入双曲线得，a点坐标为.而f1f2=2c，且af1f2为直角三角形，2c，即b22ac，由b2=c2a2，得c22aca20，e22e10.1e1+.又e1，1e1+.迁移与应用：(1)2解析：与a2+b2=4联立，求得a=1，所以e=2.(2)或解析：若双曲线焦点在x轴上，则，从而；若焦点在y轴上，则，从而.活动与探究4：解：(1)将yx1代入双曲线y21中得(1a2)x22a2x2a20，解得0a且a1.又双曲线的离心率e，e且e.(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，p(0,1)，(x1，y11)(x2，y21)由此得x1x2，由于x1，x2都是方程的根，且1a20，由根与系数的关系，得x2，x.消去x2，得，由a0，得a.迁移与应用：解：(1)由已知e，双曲线过点p(，1)，1，解得a23，b21.故所求双曲线方程为y21.(2)将ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.由直线l与双曲线c交于不同的两点得即k2且k21.设a(xa，ya)，b(xb，yb)，则xaxb，xaxb.由2得，xaxbyayb2，而xaxbyaybxaxb(kxa)(kxb)(k21)xaxbk(xaxb)2(k21)k222，于是，0，解得k23，由得k21，故k的取值范围为.当堂检测11解析：由离心率为，双曲线为等轴双曲线，可设方程为x2y2(0)，代入点(1,3)，得8.双曲线方程为1.