苏教版选修21 2.4.2抛物线的几何性质.docx

2.4.2抛物线的几何性质教学目标1知识与技能(1)探究抛物线的简单几何性质，初步学习利用方程研究曲线性质的方法(2) 掌握抛物线的简单几何性质，理解抛物线方程与抛物线曲线间互逆推导的逻辑关系及利用数形结合解决实际问题2过程与方法(1)通过抛物线的方程研究抛物线的简单几何性质，使学生经历知识产生与形成的过程，培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力(2)通过掌握抛物线的简单几何性质及应用过程，培养学生对研究方法的思想渗透及运用数形结合思想解决问题的能力3情感、态度与价值观通过数与形的辩证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，通过对抛物线对称美的感受，激发学生对美好事物的追求教学重点：掌握抛物线的几何性质，使学生能根据给出的条件求出抛物线的标准方程和一些实际应用教学难点：抛物线各个知识点的灵活应用抛物线的几何性质问题导思太阳能是最清洁的能源太阳能灶是日常生活中应用太阳能的典型例子太阳能灶接受面是抛物线一部分绕其对称轴旋转一周形成的曲面它的原理是太阳光线(平行光束)射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳能灶把光能转化为热能的理论依据1抛物线有几个焦点？【答案】一个2抛物线的顶点与椭圆有什么不同？【答案】椭圆有四个顶点，抛物线只有一个顶点3抛物线有对称中心吗？【答案】没有4抛物线有对称轴吗？若有对称轴，有几条？类型y22px(p0)y2-2px(p0)x22py(p0)x22py(p0)焦点f(，0)f(，0)f(0，)f(0，)性质准线xxyy范围x0，yrx0，yrxr，y0xr，y0对称轴x轴y轴顶点o(0,0)离心率e1开口方向向右向左向上向下【答案】有；1条例题精析例1 求顶点在原点，焦点为f（5,0）的抛物线的方程.解：顶点在原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线方程可设为y2=2px(p0).因为焦点为f（5,0），所以p=10因此所抛物线的方程为y2=20x.变式训练1、已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴重合于椭圆1短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为5，求抛物线的方程解椭圆1的焦点在y轴上，椭圆1短轴所在的直线为x轴抛物线的对称轴为x轴设抛物线的方程为y2mx(m0)|5，m20.所求抛物线的方程为y220x或y220x.例2汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线，灯口直径为197mm，反光曲面的顶点到灯口的距离是69mm.由抛物线的性质可知，当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反射后的光线是平行光线.为了获得平行光线，应怎样安装灯泡？(精确到1mm)解：如图，在车灯的一个轴截面上建立直角坐标系xoy，设抛物线方程为y2=2px（p0），灯应安装在其焦点f处.在x轴上取一点c，使oc=69，过c作x轴的垂涎，交抛物线于a,b两点，ab就是灯口的直径，即ab=197，所以a点坐标为（69， ）.将a点坐标代入方程y2=2px，解得p70.3.它的焦点坐标约为f（35,0）.因此，灯泡应该安装在距顶点约35mm处.变式训练某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长解如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x22py(p0)由题意知，点p(10，4)在抛物线上，1002p(4)，2p25，即抛物线方程为x225y.每4米需用一根支柱支撑，支柱横坐标分别为6，2,2,6.由图知，ab是最长的支柱之一，设点b的坐标为(2，yb)，代入抛物线方程x225y，得yb，ab43.84，即最长支柱的长为3.84米课堂检测1设抛物线的顶点在原点，准线方程为x2，则抛物线的方程是_【解析】2，p4，抛物线标准方程为y28x.【答案】y28x2经过抛物线y22px(p0)的所有焦点弦中，弦长的最小值为_【解析】通径长为2p.【答案】2p3过抛物线y24x的焦点作直线与抛物线相交于p(x1，y1)，q(x2，y2)两点，若x1x28，则pq的值为_【解析】pqx1x2210.【答案】104抛物线y24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是_【解析】由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为xy0或xy0，则焦点到渐近线的距离d1或d2.【答案】5已知等边三角形aob的顶点a，b在抛物线y26x上，o是坐标原点，则aob的边长为_【解析】设aob边长为a，则a(a，)，6a.a12.【答案】126过抛物线yax2(a0)的焦点f作一条直线交抛物线于p、q两点，若线段pf与fq的长分别为m、n，则_.【解析】由焦点弦性质知，抛物线的标准方程为x2y(a0)，2p，p，4a，即4a.【答案】4a7已知弦ab过拋物线y22px(p0)的焦点，则以ab为直径的圆与拋物线的准线的位置关系是_【解析】设a(x1，y1)，b(x2，y2)，ab中点为m(x0，y0)，如图，则abafbfx1x2p.设a，b，m到准线l：x距离分别为d1，d2，d，则有d1x1，d2x2，d，以ab为直径的圆与拋物线的准线相切【答案】相切8如图244所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽_米图244【解析】设水面与拱桥的一个交点为a，如图所示，建立平面直角坐标系，则a的坐标为(2，2)设抛物线方程为x22py(p0)，则222p(2)，得p1.设水位下降1米后水面与拱桥的交点坐标为(x0，3)，则x6，解得x0，所以水面宽为2米【答案】29设抛物线顶点在原点，焦点在y轴负半轴上，m为抛物线上任一点，若点m到直线l：3x4y140的距离的最小值为1，求此抛物线的标准方程解设与l平行的切线方程为3x4ym0，由得2x23pxpm0.0即mp.又d1，p8或p(舍)，抛物线的标准方程为x216y.10过点(0,4)，斜率为1的直线与拋物线y22px(p0)交于两点a，b，如果oaob(o为原点)求拋物线的标准方程及焦点坐标解直线方程为yx4.由消去y得x22(p4)x160.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x22(p4)，x1x216，4(p4)2640.所以y1y2(x14)(x24)8p.由已知oaob得x1x2y1y20，从而168p0，解得p2.所以，拋物线的标准方程为y24x，焦点坐标为(1,0)图24511在平面直角坐标系xoy中，直线l与抛物线y24x相交于不同的a、b两点(1)如果直线l过抛物线的焦点，求的值；(2)如果4，证明：直线l必过一定点，并求出该定点解(1)设l：myx1与y24x联立，得y24my40，y1y24m，y1y24，x1x2y1y2(m21)y1y2m(y1y2)13.(2)证明：设l：myxn与y24x联立，得y24my4n0，y1y24m，y1y24n.由4(m21)y1y2mn(y1y2)n2n24n，解得n2，l：myx2过定点(2,0)课堂小结1由抛物线的几何性质求抛物