苏教版选修21 2.4.2　抛物线的几何性质 学案1.doc

2.4.2抛物线的几何性质学习目标重点、难点1能记住抛物线的性质，会运用性质解决与抛物线有关的综合问题2能解决直线与抛物线位置关系的判断会用方程、数形结合的思想解决直线与抛物线相关的求值、证明问题.重点：1抛物线的性质及应用2直线与抛物线的位置关系的判定方法3直线与抛物线的综合问题难点：直线与抛物线的综合问题.1抛物线的几何性质类型y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形性质焦点_准线_范围_对称轴_顶点_离心率_开口方向向右向左向上向下预习交流1(1)怎么用抛物线方程研究抛物线的几何性质？(2)抛物线的开口大小与参数p有什么关系？(3)抛物线x24y的焦点为_，准线为_，范围_，对称轴为_，开口方向为_2抛物线的通径过焦点与抛物线的对称轴垂直的弦叫做抛物线的_，抛物线y22px(p0)的通径长为_，通径两端点的坐标分别为_预习交流2顶点在原点，焦点在x轴上且通径长为6的抛物线方程为_3直线与抛物线的位置关系设直线l：ykxm，抛物线：y22px(p0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程ax2bxc0的形式(1)若a0，直线与抛物线有_公共点(2)若a0，当0时，直线与抛物线相交，有_公共点；当0时，直线与抛物线相切，有_公共点；当0时，直线与抛物线相离，_公共点4弦长问题设a(x1，y1)，b(x2，y2)是抛物线y22px(p0)上的任意两点，直线ab的斜率为k，则弦长ab.预习交流3给出下列直线：y2x1，y2x1，x0，y3x1，其中与抛物线yx2只有一个公共点的是_(填序号)在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点一、求抛物线的标准方程及其几何性质抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x24y236短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程和焦点坐标思路分析：将椭圆方程化为标准方程后，确定短轴的位置，从而确定抛物线的对称轴求抛物线方程时，要注意分类讨论(1)若对称轴在y轴上的抛物线的准线与圆x2y21相切，则此抛物线的标准方程为_(2)抛物线y28x上一点p到顶点的距离等于它到准线的距离，p点坐标是_对于抛物线标准方程的四种形式及其对应的性质的比较、辨析、应用要做到准确熟练，特别是开口方向、焦点坐标、准线方程等二、抛物线几何性质的应用将两个顶点在抛物线y22px(p0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则n的值为_思路分析：利用抛物线和正三角形的对称性结合平面几何知识求解(1)点p为抛物线y22px上任一点，f为焦点，则以pf为直径的圆与y轴的位置关系是_(2)已知点p为抛物线y22x上的一点，点m(2,0)，则pm的最小值为_抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时，具有广泛的应用，在解题过程中不要忽视这些隐含的条件比如抛物线的范围、对称性等三、抛物线在实际生活中的应用如图，某校园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直安装一个喷水管oa，其高度为1.25 m，水从喷头a喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下若最高点距水面2.25 m，且a距抛物线的对称轴1 m，若不计其他因素，水池半径至少为多少米时，才能使喷出的水不致落到池外？思路分析：先建立适当的坐标系，然后求出抛物线方程，从而转化为数学问题求解某河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽8米，当水面上涨1米时，水面宽为_米涉及抛物线型的实际生活问题，通常用抛物线的标准方程解决，建立直角坐标系后，要注意点的坐标有正负之分，与实际问题中的数据并不完全相同，解决此类问题要注意实际问题中的量与抛物线相关量之间的坐标转化四、直线与抛物线的位置关系已知抛物线c：y22px(p0)过点a(1，2)(1)求抛物线c的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于oa(o为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线c有公共点，且直线oa与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由思路分析：(1)将点a代入抛物线方程即可(2)先假设存在直线l，设出方程将直线与抛物线联立，消元，化为一元二次方程，再结合线线距离解决(1)在直角坐标系xoy中，直线l过抛物线y24x的焦点f，且与该抛物线相交于a，b两点，其中点a在x轴上方若直线l的倾斜角为60，则oaf的面积为_(2)过抛物线x22py(p0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于a，b两点，a，b在x轴上的正射影分别为d，c.若梯形abcd的面积为12，求p的值解决过焦点的直线与抛物线相交有关的问题时，一是注意直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题二是注意焦点弦，焦半径公式的应用解题时注意整体代入的思想，可以使运算、化简简便三是注意有时将交点坐标解出或设出处理也很方便1抛物线yx2的对称轴为_轴2过抛物线y22px(p0)的焦点作直线交抛物线于p(x1，y1)，q(x2，y2)两点，若x1x23p，则pq_.3直线y3与抛物线y22x交点的个数为_4已知点(x，y)在抛物线y24x上，则zx2y23的最小值为_5已知抛物线y22px(x0)与圆x2y24相交于a，b两点，且ab2，则p_.用精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来，并进行识记知识精华技能要领答案：课前预习导学1ffff(0，)xxyyx0，yrx0，yry0，xry0，xrx轴y轴(0,0)e1预习交流1：(1)提示：以抛物线y22px(p0)为例，由于p0，所以x0，即抛物线在y轴右侧，同时x增大时，|y|也无限增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延展以y代y方程不变，故抛物线关于x轴对称(2)提示：参数p的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，由方程y22px知，对于同一个x，p越大，|y|的值也越大，或者说抛物线开口也越大所以p的绝对值越大，抛物线的开口越大(3)提示：(0,1)y1y0且xry轴向上2通径2p和预习交流2：提示：y26x3(1)1个(2)2个1个没有预习交流3：提示：课堂合作探究活动与探究1：解：椭圆的方程可化为1，其短轴在x轴上，抛物线的对称轴为x轴，当焦点在x轴的正半轴上时，设方程为y22px(p0)，由题意可得3，p6.抛物线的标准方程为y212x，准线为x3，焦点坐标为(3,0)当焦点在x轴的负半轴上时，设方程为y22px(p0)，由已知3，p6.抛物线的标准方程为y212x，准线为x3，焦点坐标为(3,0)迁移与应用：(1)x24y解析：抛物线的对称轴在y轴上，设抛物线方程为x22py(p0)或x22py(p0)准线方程为y或y.准线和圆相切，1，p2，抛物线方程为x24y或x24y.(2)(1，2)解析：由抛物线定义得p到准线的距离等于p到焦点的距离，p在顶点o与焦点f对应线段的垂直平分线上又f坐标为(2,0)，p的横坐标为1，代入抛物线求得p为(1，2)活动与探究2：2解析：抛物线与等边三角形都是轴对称图形，由题意知，x轴为它们的一条公共对称轴，所以过焦点f且倾斜角分别为30，150的两条直线与抛物线的交点分别为正三角形的另两个顶点如图，故在焦点两侧能形成两个正三角形迁移与应用：(1)相切解析：设p(x0，y0)，则pf=x0+，f.记pf的中点为m，则m的横坐标为.以pf为直径的圆与y轴相切(2)解析：设p的坐标为(x，y)，则y2=2x，.x0，当x=1时，pm取最小值.活动与探究3：解：建立如图所示的坐标系，设抛物线方程为x2=2py(p0)点a(1，1)在抛物线上，(1)2=2p(1)2p=1.x2=y.设点b(x0，2.25)，则x02=2.25.x0=1.5.水池半径为1+1.5=2.5(m)答：水池半径至少为2.5 m，才能使水不落到池外迁移与应用：解析：建立如图的直角坐标系，则水面未上涨时，b点坐标为(4，4)设抛物线方程为x22py(p0)，代入b点，求得p2，抛物线方程为x24y.当y3时，x212，x2，即水面宽为4米活动与探究4：解：(1)将(1，2)代入y22px，得(2)22p1，所以p2.故所求的抛物线c的方程为y24x，其准线方程为x1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y2xt.由，得y22y2t0.因为直线l与抛物线c有公共点，所以48t0，解得t.另一方面，由直线oa与l的距离d可得，解得t1.因为1，1，所以符合题意的直线l存在，其方程为2xy10.迁移与应用：(1)解析：由已知得抛物线的焦点坐标为(1,0)，直线l的方程为ytan 60(x1)，即yx，联立得由得xy1，将代入并整理得y2y40，解得y12或y2.又点a在x轴上方，a(3,2)soafof|y1|12.(2)解：抛物线焦点为，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，直线ab：yx，即yx.联立得消去y得x22pxp20.x1(1)p，x2(1)p.adbcy1y2x1x22pp3p.cd|x1x2|2p.由s梯形abcd(adbc)cd3p2p12，解得p24，p2.p0，p2.当堂检测1y解析：抛物线yx2化为标准方程为x28y.焦点在y轴上，抛物线的对