江苏省2012届高考数学二轮复习教学案：第6讲　导数及其应用.doc

此文档收集于网络，如有侵权，请联系网站删除导数及其应用1. 了解导数的实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)，掌握函数在一点处的导数定义和导数几何意义，理解导函数的概念2. 熟记导数的基本公式，掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数. 3. 理解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值时的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)，能用导数解决一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值等1. 已知函数f(x)x3ax23x9在R上存在极值，则实数a的取值范围是_2.已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为_万件3.直线yxb是曲线ylnx(x0)的一条切线，则实数b_.4.若曲线f(x)ax2lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_. 【例1】 已知曲线f(x)x33x.(1) 求曲线在点P(1，2)处的切线方程；(2) 求过点Q(2，6)的曲线yf(x)的切线方程【例2】已知函数f(x)(xk)ex.(1) 求f(x)的单调区间；(2) 求f(x)在区间0,1上的最小值【例3】(2009山东)两县城A和B相距20 km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ，当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.(1) 将y表示成x的函数；(2) 讨论(1)中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离，若不存在，说明理由【例4】(2011苏北四市三模)已知函数f(x)ax2lnx，f1(x)x2xlnx，f2(x)x22ax，aR.(1) 求证：函数f(x)在点(e，f(e)处的切线恒过定点，并求出定点坐标；(2) 若f(x)f2(x)在区间(1，)上恒成立，求a的取值范围；(3) 当a时，求证：在区间(1，)上，满足f1(x)g(x)f2(x)恒成立的函数g(x)有无穷多个1. (2011湖南)曲线y在点M处的切线的斜率为_2.(2009江苏)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：yx310x3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为_. 3.(2010辽宁)已知点P在曲线y上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是_4.(2011福建)若a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值等于_5.(2011江西)设f(x)x3x22ax.(1) 若f(x)在上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；(2) 当0a2时，f(x)在1,4上的最小值为，求f(x)在该区间上的最大值6.(2010辽宁)已知函数f(x)(a1)lnxax21.(1) 讨论函数f(x)的单调性；(2) 设a1)的单调递增区间；(3) 如果存在a3,9，使函数h(x)f(x)f(x)(x3，b)在x3处取得最大值，试求b的最大值解：(1) 设切点为T(x0，x03x02)，由f(x)3x22x及题意得3x022x01(2分)解得x01或x0，所以T(1,0)或T，所以切线方程为xy10或27x27y50，(4分)(2) 因为g(x)x2xaalnx(x1)，所以由g(x)2x10得2x2xa0(6分)令(x)2x2xa(x1)，因为(x)在(1，)递增，所以(x)(1)3a.当3a0，即a3时，g(x)的增区间为(1，)；(8分)当3a3时，因为(1)3a0，所以(x)的一个零点小于1，另一个零点大于1，由(x)0得x11，从而(x)0(x1)的解集为即g(x)的增区间为.(10分)(3) h(x)x34x2(2a)xa，h(x)3x28x(2a)因为存在a(3,9，令h(x)0，得x1，x2，所以要使h(x)(x3，b)在x3处取得最大值，必有解得a5，即a5,9(13分)所以存在a5,9使h(x)(x3，b)在x3处取得最大值的充要条件为h(3)h(b)即存在a5,9使(b3)a(b34b22b3)0成立因为b30所以9(b3)(b34b22b3)0，即(b3)(b2b10)0，解得b，所以b的最大值为(16分)第6讲导数及其应用1. 函数f(x)x315x233x6的单调减区间为_【答案】(1,11)解析： f(x)3x230x333(x11)(x1)，由(x11)(x1)0得单调减区间为(1,11)亦可填写闭区间或半开半闭区间2. 已知函数f(x)ax3bx2x3，其中a，bR，a0.(1) 当a，b满足什么条件时，f(x)取得极值？(2) 已知a0，且f(x)在区间(0,1上单调递增，试用a表示出b的取值范围解： (1)由已知得f(x)ax22bx1，令f(x)0，得ax22bx10，f(x)要取得极值，方程ax22bx10必须有两个不同解，所以4b24a0，即b2a, 此时方程ax22bx10的根为x1，x2，所以f(x)a(xx1)(xx2)当a0时，x(，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)在x1，x2处分别取得极大值和极小值当a0时，x(，x2)x2(x2，x1)x1(x1，)f(x)00f (x)极小值极大值所以f(x)在x1，x2处分别取得极大值和极小值综上，当a，b满足b2a时，f(x)取得极值(2) 要使f(x)在区间(0,1上单调递增，需使f(x)ax22bx10在(0,1上恒成立即b，x(0,1恒成立， 所以bmax.设g(x)，g(x)，令g(x)0得x或x(舍去)，当a1时，01，当x时，g(x)0，g(x)单调增函数；当x时，g(x)0，g(x)单调递减，所以当x时，g(x)取得极大值，极大值为g.所以b.当0a1时，1，此时g(x)0在区间(0,1上恒成立，所以g(x)在区间(0,1上单调递增，当x1时，g(x)最大，最大值为g(1)，所以b.综上，当a1时，b；当0a1时，b.点评：本题为三次函数，利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值，函数在区间上为单调函数，则导函数在该区间上的符号确定，从而转为不等式恒成立，再转为函数研究最值运用函数与方程的思想，化归思想和分类讨论的思想解答问题基础训练1. (，3)(3，)解析：f(x)3x22ax3，4a2360，解得a3或a3.2. 9解析：yx2810，解得0x9；令导数yx2810，解得x9，所以函数yx381x234在区间(0,9)上是增函数，在区间(9，)上是减函数，所以在x9处取极大值，也是最大值3. ln21解析：y，令得x2，故切点为(2，ln2)，代入直线方程得，bln21.4. a|a0解析：由题意知该函数的定义域为(0，)，由f(x)2ax.因为存在垂直于y轴的切线，故此时斜率为0，问题转化为在x0范围内，导函数f(x)2ax存在零点等价于方程2ax0在(0，)内有解，显然可得a(，0)例题选讲例1解：(1) 设切线的斜率为k，因为f(x)3x23，点P(1，2)在曲线上， k330，所以所求的切线的方程为y2.(2) f(x)3x23，设切点Q(x0，y0)，则：3x3，即：3x3，解得x00或3，由kf(x0)得k3或24，得y3x或y24x54.变式训练已知函数f(x)x32x23x(xR)的图象为曲线C.(1) 求过曲线C上任意一点的切线斜率的取值范围；(2) 若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围解： (1) f(x)x24x3，则f(x)(x2)211，即过曲线C上任意一点的切线斜率的取值范围是1，)(2) 由(1)可知解得1k0或k1，由1x24x30或x24x31，得：x(，2(1,3)2，)，即所求取值范围例2解：(1)f(x)(xk1)ex，令f(x)0xk1；所以f(x)在(，k1)上递减，在(k1，)上递增(2) 当k10，即k1时，函数f(x)在区间0,1上递增，所以f(x)minf(0)k；当0k11即1k2时，由(1)知，函数f(x)在区间0，k1上递减，(k1,1上递增，所以f(x)minf(k1)ek1；当k11，即k2时，函数f(x)在区间0,1上递减，所以f(x)minf(1)(1k)e.变式训练已知函数f(x)x3x23xa.(1) 求f(x)的单调减区间；(2) 若f(x)在区间3,4上的最小值为，求实数a的值解：(1) f(x)x22x3，令f(x)0，则x22x30.解得x1或x3. 函数f(x)的单调减区间为(，1)(3，)(2) 列表如下：x3(3，1)1(1,3)3(3,4)4f(x)00f(x) f(x)在(3，1)和(3,4)上是减函数，在(1,3)上是增函数又 f(1)a，f(4)a， f(1)f(4) f(1)是f(x)在3,4上的最小值 a，解得a4.例3解： (1)如右图，由题意知：ACBC，BC2400x2，y(0x20)，当垃圾处理厂建在弧AB的中点时，垃圾处理厂到A、B的距离都相等，且为10km，所以有0.065，解得，k9， y(0x20)(2) y，令y0，得x4640x21 280 0000，解得x2160，即x4，又因为0x20，所以函数y在x上是减函数，在x(4，20)上是增函数， 当x4时，y取得最小值，所以在弧AB上存在一点，且此点到城市A的距离为4 km，使建在此处的垃圾处理厂对城市A、B的总影响度最小例4(1) 证明：因为f(x)2ax，所以f(x)在点(e，f(e)处的切线的斜率为k2ae，所以f(x)在点(e，f(e)处的切线方程为y(xe)ae21，整理得y，所以切线恒过定点.(2) 解：令p(x)f(x)f2(x)x22axlnx0，对x(1，)恒成立，因为p(x)(2a1)x2a(*)，令p(x)0，得极值点x11，x2. 当a1时，有x2x11，即a1时，在(x2，)上有p(x)0，此时p(x)在区间(x2，)上是增函数，并且在该区间上有p(x)(p(x2)，)，不合题意； 当a1时，有x2x11，同理可知，p(x)在区间(1，)上，有p(x)(p(1)，)，也不合题意； 当a时，有2a10，此时在区间(1，)上恒有p(x)0，从而p(x)在区间(1，)上是减函数；要使p(x)0在此区间上恒成立，只须满足p(1)a0a，所以a.综上可知a的范围是.(3) 证明：当a时，f1(x)x2xlnx，f2(x)x2x.记yf2(x)f1(x)x2lnx，x(1，)因为y0，所以yf2(x)f1(x)在(1，)上为增函数，所以f2(x)f1(x)f2(1)f1(1).设R(x)f1(x)(01)，则f1(x)R(x)f2(x)，所以在区间(1，)上，满足f1(x)g(x)f2(x)恒成立的函数g(x)有无穷多个高考回顾1. 解析：y的导函数为y，x，y.2. (2,15)解析：由C：yx310x3得，y3x2102，x24，切点在第二象限，x2，y15.3. 解析：y， ex2， 1y0，即1tan0， .4. 9解析：f(x)12x22ax2b，f(1)0，ab6，a0，b0,6ab2，ab9，当且仅当ab时取等号5. 解：(1) f(x)在上存在单调递增区间，即存在某个子区间(m，n)使得f(x)0.由f(x)x2x2a(x)22a，f(x)在区间上单调递减，则只需f0即可由f2a0解得a，所以当a时，f(x)在上存在单调递增区间(2) 令f(x)0，得两根x1，x2.所以f(x)在(，x1)，(x2，)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增当0a2时，有x11x24，所以f(x)在1,4上的最大值为f(x2)又f(4)f(1)6a0，即f(4)f(1)，所以f(x)在1,4上的最小值为f(4)8a，得a1，x22，从而f(x)在1,4上的最大值为f(2).6. 解：(1) f(x)的定义域为(0，)f(x)2ax.当a0时，f(