苏教版选修21 2.3.2双曲线的几何性质.docx

2.3.2双曲线的几何性质教学目标1知识与技能(1)使学生能运用双曲线的标准方程讨论双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质(2)掌握双曲线标准方程中a，b，c的几何意义，理解双曲线的渐近线的概念及证明(3)能运用双曲线的几何性质解决双曲线的一些基本问题2过程与方法(1)通过与椭圆的性质的类比，获得双曲线的性质，培养学生的观察能力、想象能力、数形结合能力，分析、归纳能力和逻辑推理能力，以及类比的学习方法(2)通过对双曲线的性质的求解和应用，加深双曲线方程的求解及性质的理解，体会数形结合思想的应用3情感、态度与价值观培养学生对待知识的科学态度和探索精神，而且能够运用运动的、变化的观点分析理解事物教学重点：从知识上来讲，要掌握如何利用双曲线标准方程的结构特征研究双曲线的几何性质；从学生的体验来说，需要关注学生在探究双曲线性质的过程中思维的过程展现，如类比思维、数形结合等教学难点：双曲线渐近线方程和离心率的求解及应用通过动画展示，让学生形象地体会双曲线渐近线的真正内涵，渐近线方程与双曲线方程的内在联系、渐近线斜率与离心率的关系双曲线的几何性质问题导思已知双曲线方程1(a0，b0)1双曲线的对称轴和对称中心各是什么？【答案】坐标轴、坐标原点2双曲线与坐标轴有交点吗？【答案】与x轴有两个交点(a,0)，(a,0)，与y轴没有交点3双曲线方程中x，y的取值范围是什么？【答案】|x|a，yr.1双曲线的几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)范围xa或xa，ya或ya对称性对称轴：x轴，y轴，对称中心：原点o顶点a1(a,0)，a2(a,0)a1(0，a)，a2(0，a)离心率e渐近线yxyx2.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，等轴双曲线的离心率e.典例精析例1. 求双曲线的实轴长和虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程解：由题意知a2=4， b2=3，所以c2= a2+b2=7解得a=2，b=， c= .因此双曲线的实轴长2a=4，虚轴长2b=2 ，焦点为f1(-，0) 和f2(，0)，顶点坐标为（-2，0），（2，0）离心率渐近线方程例2已知双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为16，离心率为，求双曲线方程.解：根据题意得，2c=16，解得a=6， c=6，则因为双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，所以所求双曲线方程为变式训练1、求双曲线4x2y24的实轴长、虚轴长、焦点、顶点坐标、离心率和渐近线方程解原方程可化为x21，所以，a1，b2，c，因此，双曲线的实轴长和虚轴长分别为2a2,2b4，两个焦点分别为f1(，0)，f2(，0)，双曲线的两个顶点是a1(1,0)，a2(1,0)，离心率e，渐近线方程为y2x.2、求以椭圆1的两个顶点为焦点，两个焦点为顶点的双曲线方程，并求此双曲线的实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程解椭圆1，c1.对双曲线，b23，双曲线方程：1.实轴长2a2，虚轴长2b6，离心率e，渐近线yx.3、求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在x轴上，离心率为，且过点(5,3)；(2)焦距是10，实轴长是虚轴长的2倍；(3)过点(2，2)且与y21有公共渐近线解(1)设双曲线的标准方程为1(a0，b0)e，ca，b2c2a2a2.把点(5,3)代入双曲线方程，得a216.所求双曲线的标准方程为1.(2)由题意得2c10,2a4b，即c5，a2b.利用c2a2b2，解得a220，b25.由于双曲线的焦点所在的轴不确定，故双曲线的标准方程为1或1.(3)法一当焦点在x轴上时，由于，故可设方程为1，代入点(2，2)，得b22(舍去)当焦点在y轴上时，可知，故可设方程为1，代入点(2，2)，得a22.所求双曲线方程为1.法二因为所求双曲线与已知双曲线y21有公共的渐近线，故可设双曲线方程为(0)，代入点(2，2)，得2.所求双曲线的方程为y22，即1.课堂检测一、填空题1双曲线1的两条渐近线的方程为_【解析】由双曲线方程可知a4，b3，所以两条渐近线方程为yx.【答案】yx2若双曲线x21的离心率为2，则m的值为_【解析】显然m0，e2，m3.【答案】33双曲线y21的顶点到其渐近线的距离等于_【解析】双曲线的渐近线为直线yx，即x2y0，顶点为(2,0)，所求距离为d.【答案】4设双曲线1(a0)的渐近线方程为3x2y0，则a的值为_【解析】双曲线1(a0)的渐近线方程为0，整理得3xay0，故a2.【答案】25双曲线tx2y210的一条渐近线与直线2xy10垂直，则双曲线的离心率为_【解析】渐近线方程为yx，2xy10的斜率为k2，t，双曲线方程为y21，e.【答案】6 ykx2与双曲线1右支交于不同的两点，则实数k的取值范围是_【解析】消去y得：(14k2)x216kx250，k0，b0)的左焦点，点e是该双曲线的右顶点，过点f且垂直于x轴的直线与双曲线交于a，b两点，若abe是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是_图231【解析】abe是等腰三角形，aebe，只需aeb为锐角，aef45，affeac，e2e20，1e1，1e0，b0)，离心率e，顶点到渐近线的距离为.(1)求双曲线c的方程；(2)p是双曲线c上一点，a、b两点在双曲线c的两条渐近线上，且分别位于第一、第二象限若，2，求aob面积的取值范围解(1)由题意，知双曲线c的顶点(0，a)到渐近线axby0的距离为，即.由解得双曲线c的方程为x21.(2)由(1)知双曲线c的两条渐近线方程为y2x.设a(m,2m)，b(n,2n)，m0，n0.由，得p点的坐标为(，)将p点坐标代入x21，化简，得mn.设aob2，tan()2，tan ，sin ，sin 2.又oam，obn，saoboaobsin 22mn()1.记s()()1，2由基本不等式，得s()()1212.当且仅当，即1时，取等号又s()，s(2)，当1时，aob的面积取得最小值2；当时，aob的面积取得最大值.aob面积的取值范围是2，.课堂小结1由双曲线的标准方程求双曲线的几何性质，首先应将方程化为标准形式，确定焦点所在坐标轴，再求其几何性质，求解时应注意与椭圆的几何性质区分开，不可混淆2渐近线是双曲线特有的几何性质，由双曲线方程要熟