苏教版选修44 4．1.1　直角坐标系 学案.doc

41.1直角坐标系对应学生用书p1 1直角坐标系坐标系图示对应关系共同特性数轴直线上任一点p由惟一实数确定任意一点都存在一个坐标与之对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置平面直角坐标系平面上任一点p由惟一的有序实数对(x，y)确定空间直角坐标系空间任意一点p由惟一的三元有序实数组(x，y， )确定2解析法解决几何问题的“三部曲”第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算解决代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成几何结论对应学生用书p1建立适当坐标系写点的坐标例1直三棱柱abca1b1c1中(如图)，acb90，bac30，bc1，aa1，m是cc1的中点试建立适当坐标系写出各顶点及m点的坐标思路点拨空间直角坐标系的建立关键是结合图形的结构特征确定两两互相垂直的三条直线，从而确定坐标系，再写出各点的坐标精解详析如图以c1为原点，c1b1，c1a1，c1c分别为x轴，y轴， 轴建立空间直角坐标系则c1(0,0,0)，c(0,0，)，a1(0，0)，a(0，)，b1(1,0,0)，b(1,0，)，m.根据图形的结构特征，合理地建立坐标系不仅使图形中点的坐标易确定，同时，对于研究图形的几何性质也会简化一般情况下，建立平面直角坐标系的原则有垂直关系的先利用垂直关系确定x、y轴，无垂直关系有定长线段的，则以定长线段的垂直平分线为一轴，这样建立坐标系，使图形中的点尽可能多的在轴(或面)上，从而使坐标简化1在abc中，adbc，d为垂足，且bd2dc，bcad2，若m为bc的中点，建立适当的平面直角坐标系表示各顶点及m，d.解：建立如图所示的平面直角坐标系，则各顶点及m，d的坐标分别为a(，2)，b(1,0)，c(1,0)，m(0，0)，d(，0)2如图所示，在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，e是棱dd1的中点试建立恰当坐标系写出b点，e点，d点坐标解：建立如图所示的空间直角坐标系依题意，得b(1,0,0)，d(0,1,0)，e.解析法的应用例2已知m为等腰abc底边bc上的任意一点，求证：ab2am2bmmc.思路点拨取bc中点为原点，中垂线为y轴，建立坐标系后，确定点的坐标，利用距离公式可证明精解详析证明：取bc的中点o为坐标原点，oa所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设a，b的坐标分别为(0，b)，(a,0)，则c点的坐标为(a,0)，从而ab2a2b2.令m的坐标为(x,0)，则am2bmmcx2b2(ax)(ax)x2b2a2x2a2b2，ab2am2bmmc.利用解析法可解决平面几何中的证明问题、轨迹方程的求法问题等，其关键是建立恰当坐标系，运用距离公式或建立方程得以解决问题3如图，圆o1和圆o2的半径都等于1，o1o24，过动点p分别作圆o1，圆o2的切线pm，pn(m，n为切点)，使pmpn，试建立平面直角坐标系，并求动点p的轨迹方程解：以o1o2的中点o为原点，o1o2所在的直线为x轴，建立直角坐标系，如图所示，则o1(2,0)，o2(2,0)设p(x，y)，则由已知pmpn，得pm22pn2.因为o1mpm，o2npn，o1mo2n1，所以po12(po1)，即(x2)2y212(x2)2y21整理得，所求轨迹方程为x2y212x30.4已知等腰三角形abc腰ac上的中线长为，求abc面积的最大值解：以bc所在边为x轴，线段bc中垂线为y轴建立平面直角坐标系如图所示设b(a,0)，c(a,0)，a(0，b)，则ac的中点为d，于是由bd，得3，即9a2b212，从而sabc2abab2，当且仅当3ab时等号成立，所以(sabc)max2.对称问题例3求点m(1,0)关于直线x2y10的对称点m的坐标思路点拨设出对称点m(x0，y0)，利用m与m的中点在x2y10及mm与已知直线垂直建立方程组可求精解详析设m(x0，y0)，则解得m.1点关于点的对称：求点p关于点m(a，b)的对称点q的问题，主要依据m是线段pq的中点，即xpxq2a，ypyq2b.2直线关于点的对称：求直线l关于点m(m，n)的对称直线l的问题，主要依据l上的任一点t(x，y)关于m(m，n)的对称点t(2mx,2ny)必在l上3点关于直线的对称：求已知点a(m，n)关于已知直线：l：y xb的对称点a(x0，y0)的坐标的一般方法是依据l是线段aa的垂直平分线，列出关于x0、y0的方程组，由“垂直”得一方程，由“平分”得一方程，即4直线关于直线的对称：求直线l关于直线g的对称直线l，主要依据l上任一点m关于直线g的对称点必在l上5求直线x2y10关于直线x1对称的直线方程解：设点(x，y)为所求直线上任意一点因为点(x，y)关于直线x1的对称点为(2x，y)所以(2x)2y10，即x2y30为所求6光线自点m(2,3)射到n(1,0)后被x轴反射，求反射光线所在的直线方程解：点m关于x轴的对称点m(2，3)，则反射光线即在直线nm上，反射光线所在直线的方程为：，即y3x3.对应学生用书p3 1.在如图所示的正方体中，设棱长为1，求：(1)a1c1与b1d1的交点e的坐标；(2)bd1与ob1的交点f的坐标解：因为正方体的棱长为1，且e，f分别是正方形a1b1c1d1中心和正方体的中心，所以(1)点e的坐标为.(2)点f的坐标为.2从点(2,3)射出的光线沿与直线x2y0平行的直线射到y轴上，求经y轴反射的光线所在的直线方程解：由题意得，射出的光线方程为y3(x2)，即x2y40，与y轴交点为(0,2)，又(2,3)关于y轴对称点为(2,3)，反射光线所在直线过(0,2)，(2,3)故方程为y2x，即x2y40.3在平面xoy内求一点p，使它到点a(4,5,6)，b(7，3,11)的距离相等，且到点c(1,2,2)，d(4，6,3)的距离也相等解：设所求p点坐标为(x，y,0)，由题意得papb，且pcpd，有，整理得11x2y510，整理得3x4y260，联立解得故p点坐标为.4已知圆的半径为6，圆内一定点p到圆心的距离为4，a，b是圆上的两个动点，且满足apb90，求矩形apbq(顺时针)的顶点q的轨迹方程解：如图，以圆心o为原点，op所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则圆的方程为x2y236，p(4,0)设q(x，y)，pq与ab相交于点p1，则p1.由pqab2，得 25.如图，以棱长为a的正方体的三条棱所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，点p在正方体的对角线ab上，点q在棱cd上(1)当点p在对角线ab的中点时，点q在棱cd上运动时，求pq的最小值；(2)当点p为对角线ab上运动，点q在棱cd上运动，求pq的最小值解：(1)b(0,0，a)，a(a，a,0)，当p为ab的中点时，p.又q在cd上运动，设q(0，a，t)，其中t0，a，则pq ，故当t时，pq取最小值a.(2)由题图可知，当p在ab上运动时，p到坐标平面xo ，yo 的距离相等，所以可设p(t，t，at)，t0，a又q在cd上运动，所以可设q(0，a， 0)， 00，a所以pq .当且仅当 0t时，pq取最小值a.6已知正三角形abc的边长为a，在平面上求一点p，使pa2pb2pc2最小，并求出此最小值解：以bc所在直线为x轴，bc的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图，则a，b，c.设p(x，y)，则pa2pb2pc2x222y22y23x23y2ay3x232a2a2，当且仅当x0，ya时，等号成立所求的最小值为a2，此时p点的坐标为p，即为正三角形abc的中心7已知直线l：2x3y10，点a(1，2)求：(1)点a关于直线l的对称点a的坐标；(2)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程解：设a(x，y)，再由已知解得a.(2)在直线m上取一点，如m(2,0)，则m(2,0)关于直线l的对称点m必在直线m上设对称点m(a，b)，则得m.设直线m与直线l的交点为n，则由得n(4,3)又m经过点n(4,3)，由两点式得直线m的方程为9x46y1020.8在平面直角坐标系xoy中，点b与点a(1,1)关于原点o对称，p是动点，且直线ap与bp的斜率之积等于.(1)求动点p的轨迹方程；(2)设直线ap与bp分别与直线x3交于点m，n，问：是否存在点p使得pab与pmn的面积相等？若存在，求出点p 的坐标；若不存在，说明理由解：(1)由点b与点a(1,1)关于原点对称，得点b的坐标为(1，1)设p(x，y)，则 ap， bp，于是