苏教版选修44 4.3 平面坐标系中几种常见变换 学案.doc

43平面坐标系中几种常见变换对应学生用书p16 1平面直角坐标系中的平移变换(1)平移的定义：在平面内，将圆形f上所有点按照同一方向，移动同样长度，称为图形f的平移，若以向量a表示移动的方向和长度，也称图形f按向量a平移(2)平移公式设图形f上任一点p(x，y)，按向量a(h， )平移后对应点p(x，y)，则2平面直角坐标系中的伸缩变换(1)一般地，由( 0)所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为 向着y轴的伸缩变换(当 1时，表示伸长；当0 0)；( 10， 20)对应学生用书p16平移变换例1已知抛物线yx24x.(1)求将这条抛物线的顶点平移到点(3，2)时的抛物线方程；(2)将此抛物线按怎样的向量a平移，能使平移后的方程是yx2?思路点拔利用平移公式求解精解详析(1)将抛物线yx24x配方，得y(x2)24，故抛物线顶点的坐标为p(2，4)，将点(2，4)平移到(3，2)时，其平移向量a(1,2)，于是平移公式为即因为点(x，y)在抛物线yx24x上，所以y2(x1)24(x1)，即yx26x7.所以平移后的方程为yx26x7.(2)法一：设平移向量a(h， )，则平移公式为将其代入yx24x，得y (xh)24(xh)化简整理，得yx2(2h4)xh24h .令解得此时yx2.所以当图像按向量a(2,4)平移时，可使函数的解析式化为yx2.法二：将抛物线yx24x，即y4(x2)2平移到yx2，只需要作变换所以平移对应的向量坐标为(2,4)求平移后曲线的方程的解题步骤(1)设平移前曲线上一点p的坐标为(x，y)，平移后的曲线上对应点p的坐标为(x，y)；(2)写出变换公式并转化为(3)利用上述公式将原方程中的x，y代换；(4)按习惯，将所得方程中的x，y分别替换为x，y，即得所求曲线的方程1若一直线l经(2，1)平移后的直线方程为xy10，求此直线l的方程解：设l上任意一点m(x，y)平移后对应m(x，y)，则又(x，y)满足xy10，x2(y1)10即：xy40.l的方程为xy40.2已知椭圆1按向量a(h， )平移后的方程为1，求a.解：设平移前椭圆上任一点m(x，y)平移后对应点m(x，y)，则代入1得1.对比1知a(1，2).平面直角坐标系下的伸缩变换例2求圆x2y21经过伸缩变换后的曲线方程思路点拨将伸缩变换中的x，y分别用x，y表示，代入已知的曲线方程，即可得到所求曲线的方程，再由方程判断曲线的类型精解详析代入圆的方程x2y21，得(x)2(y)21，即1.经过伸缩变换后，圆x2y21变成了椭圆1.利用伸缩变换公式( 10， 20)可由变换前(后)的曲线方程求出变换后(前)的曲线方程；也可以由变换前后的曲线方程，求出相应的伸缩变换3在同一直角坐标系中，将直线2xy3变成直线2x6y9，求满足图形变换的伸缩变换解：设伸缩变换为将其代入2x6y9，得2x6y9.与2xy3进行比较，得故伸缩变换为4伸缩变换将曲线c变为椭圆x21，求曲线c的方程解：将代入x21，得x21，即x2y21.故曲线c的方程为x2y21.对应学生用书p171求函数ylog2(x1)按a(3,1)平移后的函数表达式解：设m(x，y)为ylog2(x1)上一点，其平移后对应点为m(x，y)，则代入ylog2(x1)，y1log2(x4)，即平移后的函数为ylog2(x4)1.2在平面直角坐标系中，求方程2x3y1与x2y21所对应的图形经过伸缩变换后的图形解：由得代入2x3y1，得xy1.经过伸缩变换后，直线还是直线代入x2y21，得1.经过伸缩变换后，等轴双曲线变为非等轴双曲线3.若ysin 2x按a(h， )平移后为ysin，求a.解：设平移前后曲线上对应点分别为m(x，y)，m(x，y)，则xxh，yy .xxh，yy .代入ysin 2x得y sin 2(xh)，ysin(2x2h) .与ysin(2x)对比知h， 0.故a.4求双曲线9x216y236x96y2520的中心坐标、顶点坐标、焦点坐标与对称轴方程、准线方程和渐近线方程解：将双曲线方程配方，得1.令方程可化为1.双曲线1的中心坐标为(0,0)，顶点坐标为(4,0)，(4,0)，焦点坐标为(5,0)，(5,0)，对称轴方程为x0，y0，渐近线方程为3x4y0.根据平移公式可得原双曲线的中心坐标为(2,3)，顶点坐标为(2,3)，(6,3)，焦点坐标为(3,3)，(7,3)，对称轴方程为x2，y3，渐近线方程为3(x2)4(y3)0，即3x4y180和3x4y60.5求正弦曲线ysin x经过伸缩变换后的方程解：代入ysin x得y3sin2x.即ysin x经过伸缩变换后变为y3sin 2x.6求满足下面图形变换的伸缩变换：由曲线4x29y236变成曲线x2y21.解：设伸缩变换为将其代入x2y21，有2x22y21.又4x29y236可化为x2y21.与2x22y21比较，得2，2，.即将椭圆4x29y236上的所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的，即可得到圆x2y21.7通过平面直角坐标系中的平移变换与伸缩变换，可以把椭圆1变为中心在原点的单位圆，求上述变换过程解：先通过平移变换把椭圆1变为椭圆1.再通过伸缩变换把椭圆1变为单位圆x2y21.即通过变换把椭圆1变为单位圆x2y21.8(1)圆x2y2a2经过什么样的伸缩变换，可以使方程变为1(0ba)?(2)分析圆x2y2a2的一条弦所在直线和经过该弦中点的直径所在直线经过上述伸缩变换后的位置关系解：(1)椭圆1可以化为x2a2，设即所以圆x2y2a2经过向着x轴方向上的伸缩变换，伸缩系数 ，可以使方程变为1.(2)若圆x2y2a2的一条弦所在直线的斜率存在且不为0，设其方程为y xm，根据垂径定理，经过该弦中点的直径所在直线的方程为yx.由y xm，得yxm.所以直线y xm经过变换，方程可变为yxm.由yx，得yx.所以直线yx经过变换，方程可变为yx.此时，两条直线的斜率乘积是定值.若圆x2y2a2