苏教版选修44 4.4.3 参数方程的应用 学案.doc

44.3参数方程的应用对应学生用书p221中心在原点，焦点在x轴上的椭圆1(ab0)的一个参数方程是(为参数)2圆心为(a，b)、半径为r的圆的参数方程为(为参数)3过定点m(x0，y0)倾斜角为的直线的参数方程为(t为参数)4利用曲线的参数方程可解决变量的范围或最值问题；利用参数思想可解决求曲线、轨迹方程的问题对应学生用书p23利用参数方程研究最值或范围问题例1已知直线l的参数方程为(t为参数)，p是椭圆y21上任意一点，求点p到直线l的距离的最大值思路点拨化直线参数方程为普通方程，设出椭圆的参数方程后建立距离d的函数关系，利用三角知识求最值精解详析直线l的普通方程为x2y0.因为p为椭圆y21上任一点，所以可设p(2cos ，sin )，其中r.因此点p到直线l的距离是d，所以当 ， 时，dmax.由于椭圆或圆上点的坐标都能描述为参数的三角函数，故涉及椭圆、圆有关的最值问题，可以利用参数方程设出曲线上点的坐标，进而转化为三角函数求最值问题，利用三角函数的有界性求解1(新课标全国卷)已知曲线c：1，直线l：(t为参数)(1)写出曲线c的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线c上任意一点p作与l夹角为30的直线，交l于点a，求|pa|的最大值与最小值解：(1)曲线c的参数方程为(为参数)直线l的普通方程为2xy60.(2)曲线c上任意一点p(2cos ，3sin )到l的距离为d|4cos 3sin 6|.则|pa|5sin()6|，其中为锐角，且tan .当sin()1时，|pa|取得最大值，最大值为.当sin()1时，|pa|取得最小值，最小值为.2已知直线l：(t为参数，为倾斜角，且)与曲线1交于a，b两点(1)写出直线l的普通方程及直线l通过的定点p的坐标；(2)求papb的最大值解：(1)(t为参数，为倾斜角且)，tan ，直线l的普通方程为xtan y2tan 0.直线l通过的定点p的坐标为(2,0)(2)把代入椭圆的方程1，得3(2tcos )24(tsin )2480，即(3sin2)t212cos t360.设a(2t1cos ，t1sin )，b(2t2 cos ，t2sin )，则pa|t1|，pb|t2|papb|t1t2|.0，且，0sin21，papb的最大值为12.参数法求轨迹方程例2如图，已知圆的方程为x2y2，椭圆的方程为1，过原点的射线交圆于a点，交椭圆于b点，过a、b分别作x轴和y轴的平行线，求所作两直线交点p的轨迹方程思路点拨根据a在圆上，b在椭圆上，设出a，b的坐标，得到p的坐标(用参数表示)，消去参数得p的轨迹方程精解详析设a，b(5cos ，4sin )，p(x，y)则由o、a、b三点共线，知 oa ob，从而得tan tan .由得tan2.由得tan2.将两边平方得tan2tan2.把代入化简整理得所求轨迹方程为：8x29x2y2400y2200.在求曲线的轨迹方程时，常根据需要引入一个中间变量即参数，将x，y表示成关于该参数的函数，这种方法是参数法特别是当动点的轨迹由圆锥曲线上的点来决定时，则可以利用椭圆、圆的参数方程表示出这一点的坐标，从而建立动点与该点的联系，求得动点的参数方程，最后消去参数即得动点的轨迹方程3求由方程x2y24tx2ty5t240(t为参数)所表示的一组圆的圆心轨迹解：将方程变形为(x2t)2(yt)24，这组圆的圆心坐标为(2t，t)令x2y0.故轨迹为直线x2y0.4(新课标全国卷)已知动点p，q都在曲线c：(t为参数)上，对应参数分别为t与t2(02)，m为pq的中点(1)求m的轨迹的参数方程(2)将m到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断m的轨迹是否过坐标原点解：(1)依题意有p(2cos ，2sin )，q(2cos 2，2sin 2)，因此m(cos cos 2，sin sin 2)故m的轨迹的参数方程为(为参数，02)(2)m点到坐标原点的距离d(02)当时，d0，故m的轨迹过坐标原点.参数方程在实际问题中的应用例3在一次军事演习中，一轰炸机以150 m/s的速度作水平直线飞行，在离地面飞行高度为490 m时向目标投弹(不计空气阻力，重力加速度g9.8 m/s2，炸弹的初速度等于飞机的速度)，求炸弹离开飞机后飞行轨迹的参数方程思路点拨炸弹离开飞机后作平抛运动，可以选择时间作为参变数，将炸弹的水平方向和竖直方向的运动表示出来精解详析如图，建立平面直角坐标系，设a为投弹点，b为轰炸目标，由于已知炸弹运动的水平速度和垂直速度，所以可以以时间t为参数，建立参数方程设曲线上任意一点的坐标为(x，y)，其对应的时刻为t，则有又由y0，得t10，所以参数方程为(t为参数，0t10)1某些实际问题中，动点的坐标x，y之间的关系不易直接得到，但可发现x，y的变化受另一变量(如时间、速度、角度等)的制约，这时可选择这一变量为参数，求轨迹的参数方程，消去参数即可得普通方程2对于实际问题中的有关计算，我们可以利用坐标法，建立曲线的参数(普通)方程，利用曲线的参数(普通)方程和几何性质进行推理、运算解答中常采用“建模、运算、回答”三步走5.某隧道横断面由抛物线拱顶与矩形三边组成，尺寸如图某卡车在空车时能过此隧道，现载一集装箱，箱宽3米，车与箱共高4.5米，此车能否通过此隧道，说明理由解：如图建立平面直角坐标系，设抛物线的参数方程为(t为参数)由于点(3，3)在抛物线上，代入参数方程可解得t1，p，所以抛物线参数方程为(t为参数)又箱宽3米，故当x1.5时，y0.75，即b(1.5，0.75)，那么b点到底的距离为50.754.25米，而车与箱的高为4.5米，故不能通过6已知弹道曲线的参数方程为(t为参数)(1)求炮弹从发射到落地所需的时间；(2)求炮弹在运动中达到的最大高度解：(1)令y0，即2tsingt20，t10，t20.204，即从发射到落地需0.204.(2)y2tsin gt2x2x，是开口向下的抛物线，ymax0.051，即最大高度为0.051.对应学生用书p251已知点p(x，y)在椭圆1上，试求 2xy的最大值解：设点p(4cos ，2sin )，则 2xy8cos 6sin 10sin()10，所以 max10.2直线与抛物线y24x交于两个不同的点p，q.已知a(2,4)，求：(1)apaq的值；(2)pq的长解：已知直线的斜率为1，故直线的倾斜角为135，故(t为参数)，代入y24x，得t212t160.故有t1t212，t1t216.(1)apaq|t1|t2|t1t2|12.(2)pq|t1t2|4.3已知a，b分别是椭圆1的右顶点和上顶点，动点c在该椭圆上运动，求abc的重心的轨迹方程解：由于动点c在椭圆上运动，可设c的坐标为(6cos ，3sin )，由于点c不与a，b重合，故.设abc的重心g的坐标为(x，y)依题意，知a(6,0)，b(0,3)，由三角形的重心坐标公式，得即(为参数)其中，这就是重心g的参数方程，消去参数，得(y1)21，点(4,1)及(2,2)除外，所以abc的重心的轨迹方程为(y1)21，点(4,1)及(2,2)除外4当x2y24时，求ux22xyy2的最值解：设(02)，于是ux22xyy24cos28cos sin 4sin24cos 24sin 28sin.所以，当，x，y1时，或，x，y1时，umax8；当，x1，y时，或，x1，y时，umin8.5经过点m(，0)作直线l，交曲线c：(为参数)于a，b两点，若ma，ab，mb成等比数列，求直线l的方程解：根据题意，设直线l的参数方程为(t为参数)曲线c：化成普通方程得x2y24，将代入x2y24得(tcos )2t2sin24，化简整理得t22tcos 60，设a(t1cos ，t1sin )，b(t2cos ，t2sin )，则t1t22cos ，t1t26.由题意得ab2mamb，而ab2(t1t2)2(t1t2)24t1t240cos224，mamb|t1t2|6，40cos2246，解得cos ，sin ， tan ，所求直线l的方程为yx或yx，即xy0或xy0. 6.已知椭圆y21和点p，过点p作椭圆的弦ab，使点p是此弦的一个三等分点，求弦所在直线的方程解：设直线ab的方程为(t为参数)，代入方程y21，化简得(1sin2)t2tcos 0.(*)由t的几何意义知，方程(*)的两根t1，t2满足因为p是ab的一个三等分点，所以t12t2.由和，解得t2，由和，得t1t22t.所以，所以7(1sin2)8cos2，即7(sin2cos2sin2)8cos2.因为cos 0，所以tan2，所以 tan .所以弦ab的方程为y. 7已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上且长轴长为4，短轴长为2，直线l的参数方程为(t为参数)，当m为何值时，直线l被椭圆截得的弦长为？解：由题知椭圆的标准方程为x21.由直线l的参数方程(t为参数)，得令tt，则得直线的参数方程的标准形式(t为参数，其绝对值的几何意义是直线上的点到点(0，m)的距离)，将其代入椭圆方程并整理，得8t24mt5m2200.设方程的两根分别为t1，t2，则根据根与系数的关系，有t1t2，t1t2.弦长为|t1t2| ，m2，解得m.8已知曲线c1：(t为参数)，c2：(为参数)(1)化c1，c2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若c1上的点p对应的参数t，q为c2上的动点，求pq的中点m到