苏教版选修45 运用算术几何平均不等式求最值 课时作业.docx

运用算术-几何平均不等式求最值一、单选题1为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求acb=60，bc的长度大于1米，且ac比ab长0.5米，为了稳固广告牌，要求ac越短越好，则ac最短为（ ）a. (1+32)米 b. 2米 c. (1+3)米 d. (2+3)米2已知a,b为正实数，且a+b=2，则1a+1b的最小值为a. 2 b. 4 c. 22 d. 423设，则的最小值为（ ）a b c d4已知a0,b0,，则的取值范围是（ ）a.( 2,+) b.2,+) c.(4,+) d.4,+)5设，若，则的最大值为（ ）a2 b3 c4 d6已知正实数a，b满足，则的最小值为 （ ）a. b. 4 c. d. 7当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）a. b. c. d. 8在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，且cosbb=-3coscc，则角a的最大值为（ ）a. 6 b. 4 c. 3 d. 29若a0，b0，且ab4，则下列不等式恒成立的是（ ）a. b. c. da2b2810已知，且，则的最小值为（ ）a b c d学 二、填空题11已知，则x + y的最小值为 12已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，,12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则13设函数 则的最大值为 _14已知a,b是正数，且，则ab的最小值为 .15若对，有恒成立，则的最大值为 16设实数满足，则的最小值是 17已知正数满足，则的取值范围是_三、解答题18已知直线的方程为，其中. (1)求证 直线恒过定点；(2)当变化时，求点到直线的距离的最大值；(3)若直线分别与轴、轴的负半轴交于两点，求面积的最小值及此时直线的方程.19经过长期观测得到 在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量（千辆/ ）与汽车的平均速度之间的函数关系式为（i）若要求在该段时间内车流量超过2千辆/ ，则汽车在平均速度应在什么范围内？（ii）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？20若a、br，求证 (a+b)(a3+b3)(a2+b2)2.试卷第1页，总2页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。参考答案1d【解析】由题意设bc=x(x1)米，ac=t(t0)米，依题设ab=ac-0.5=t-0.5米，在abc中，由余弦定理得 ab2=ac2+bc2-2acbccos600，即(t-0.5)2=t2+x2-tx，化简并整理得 t=x2-0.25x-1(x1)，即t=x-1+0.75x-1+2，因x1，故t=x-1+0.75x-1+22+3（当且仅当x=1+32时取等号），此时t取最小值2+3，应选答案d。2a【解析】1a+1b=12(a+b)(1a+1b)=12(2+ba+ab)12(2+2baab)=2，当且仅当ba=ab且a+b=2，即a=b=1时等号成立。选a。点睛 利用基本不等式求最值的类型及方法（1）若已经满足基本不等式的条件，则直接应用基本不等式求解（2）若不满足基本不等式的条件，则需要通过恒等变形，构造成满足不等式条件的形式，常用的方法有 “1”的代换，对不等式进行分拆、组合、添加系数等3a【解析】试题分析 由于，所以lga0,lgb0,lgc0,由换底公式得,当且仅当即时“=”成立，所以的最小值为3；故选a考点 基本不等式4d【解析】试题分析 因为a0,b0,，所以，当且仅当时取等号.考点 本小题主要考查基本不等式的应用.点评 应用基本不等式时，“一正二定三相等”三个条件缺一不可，而且“1”的整体代换经常用到.5b【解析】试题分析 由得，,又，即，当且仅当，即时取等号，所以. 故.考点 基本不等式.6d【解析】由,知，而，令，则易知在单调递减，故故选d点睛 在不能应用重要不等式求某个式子的最值时，要注意函数思想的使用，将问题转化为求函数最大值最小值问题.7d【解析】当 时, ,所以 ，当且仅当 时等号成立，因为 恒成立，所以，所以 ，选d.点睛 本题考查函数恒成立问题，考查等价转换思想与基本不等式的应用，属于中档题. 8a【解析】由正弦定理得cosbsinb=-3coscsinc,所以tanc=-3tanb,因此b，c中有一钝角, 角a必为锐角,因为tana=-tan(b+c)=-tanb+tanc1-tanbtanc=2tanb1+3tan2b0 ,所以tanb0,tana2tanb23tanb=3300，b0，且ab4，所以，因为，所以，所以，所以当且仅当时取等号.考点 基本不等式的应用.10b【解析】略11【解析】试题分析 ，由，可得，当且仅当时等号成立，故，故答案为.考点 对数的性质运算；均值不等式的应用.12【解析】试题分析 本题首先要弄清中位数的概念，所谓中位数就是一组数据从小到大排列中间的那个数字.但是有的时候一组数据是偶数的话就是中间两个数字相加除以2.由于本题中有10个数，故有，可计算出它们的平均数为，它们的和为100，因此其方差为，可见要使方差最小，只要最小即可，由基本不等式得（当且仅当时等号成立），故此时.考点 中位数，方差，基本不等式.13【解析】试题分析 时，所以最大值为考点 不等式性质149【解析】试题分析 ，.考点 重要不等式及不等式的解法.15【解析】试题分析 恒成立，当且仅当时取等号考点 基本不等式16【解析】试题分析 令，则，所以则考点 基本不等式求最值17【解析】试题分析 由，,又，得，所以，故.考点 不等式性质，基本不等式的应用.18（1）见解析;（2）5;（3）见解析【解析】试题分析 (1)分离系数m，求解方程组可得直线恒过定点；(2)结合(1)的结论可得点到直线的距离的最大值是5；(3)由题意得到面积函数 ，注意等号成立的条件.试题解析 （1）证明 直线方程可化为该方程对任意实数恒成立，所以解得，所以直线恒过定点（2）点与定点间的距离，就是所求点到直线的距离的最大值，即（3）由于直线过定点，分别与轴， 轴的负半轴交于两点，设其方程为，则所以 当且仅当时取等号，面积的最小值为4此时直线的方程为19（i）如果要求在该时段内车流量超过2千辆/ ，则汽车的平均速度应该大于且小于（ii）当时，车流量最大，最大车流量约为（千辆/ ）【解析】试题分析 （i）直接列出关于汽车的平均速度的不等式求解即可；（ii），根据基本不等式求解即可.试题解析 （i）由条件得，整理得到，即，解得（ii）由题知， .当且仅当即时等号成成立所以（千辆/ ）答 （i）如果要求在该时段内车流量超过2千辆/ ，则汽车的平均速度应该大于且小于（ii）当时，车流量最大，最大车流量约为（千辆/ ）20证明过程见试题解析.【解析】试题分析 左式乘开得a4+ab(a2+b2)+b4，由基本不等式可得a4+ab(a2+b2)+b