北京大学数学物理方法(下)课件_16 球函数.pdf

16球函数 考虑三维 轌轡轰转轡轣轥 方程的定解问题 2u 輽 輰 u x2 y2 z2 R2輽 f輨x y z輩 輨輱輩 在球坐标系下 輰 r R輬 輰 輬 輰 輲 輱 r2 r r2 u r 輫 輱 r2轳轩轮 轳轩轮 u 輫 輱 r2轳轩轮2 2u 2 輽 輰 u r R輽 f輨 輩u r 0有界 u 0有界u 有界 u 0輽 u 2 u 0 輽 u 2 我们先考虑 f 輽 f輨 輩 与 无关的情况輮 这时 u 輽 u輨r 輩 也与 无关輮 定解问题简化为 輱 r2 r r2 u r 輫 輱 r2轳轩轮 轳轩轮 u 輽 輰 u r R輽 f輨 輩u r 0有界 u 0有界u 有界 分离变量輬 令 u輨r 輩 輽 R輨r輩輂輨 輩 輂輨 輩 輱 r2 轤 轤r r2 轤R輨r輩 轤r 輫 R輨r輩 r2 輱 轳轩轮 轤 轤 轳轩轮 轤輂輨 輩 轤 輽 輰 r2 R輂輬 并移项 輱 R輨r輩 轤 轤r r2 轤R輨r輩 轤r 輽 輱 輂輨 輩 輱 轳轩轮 轤 轤 轳轩轮 轤輂輨 輩 轤 輽 轤 轤r r2 轤R輨r輩 轤r R輨r輩 輽 輰輨輲輩 輱 轳轩轮 轤 轤 轳轩轮 轤輂輨 輩 轤 輫 輂輨 輩 輽 輰輨輳輩 由 的边界条件輬 得 輂輨輰輩有界輂輨 輩有界輨輴輩 即 輽 輰 不是方程解的奇点輮 方程輨輳輩为 轌轥轧轥轮轤轲轥 方程輮 作变换 x 輽 轣软轳 y輨x輩 輽 輂輨 輩 輱 轌轥轧轥轮轤轲轥 方程改写为 轤 轤x 輨輱 x2輩 轤y 轤x 輫 y 輽 輰輨輵輩 16 1Legendre 方程的解 令 輽 輨 輫 輱輩輬 展开 輨輱 x2輩 轤2y 轤x2 輲x 轤y 轤x 輫 輨 輫 輱輩y 輽 輰輨輶輩 由 輽 輨 輫 輱輩 輽 輨 輱輩輨 輩 所以輬 可设 轒轥 1 2 x 輽 輱 是方程的两个奇点輬 且为正则奇点輮 在二阶线性常微分方程的幂级数解法一章輬 我们在常点 x 輽 輰 的邻域求得方程的两个线性无关的幂级数解輮 y1輨x輩 輽 X n 0 輲2n 輨輲n輩輡 輀輨n 2輩輀輨n 輫 1 2 輩 輀輨 2輩輀輨 1 2 輩 x2n輨輷輩 y2輨x輩 輽 X n 0 輲2n 輨輲n 輫 輱輩輡 輀輨n 1 2 輩輀輨n 輫 輱 輫 2輩 輀輨 1 2 輩輀輨輱 輫 2輩 x2n 1輨輸輩 我们也可以在正则奇点的邻域求正则解輬 这对 x 輽 輱 的边界条件的讨论有帮助輮 在 x 輽 輱 的邻域輬 正则解为 y輨x輩 輽 輨x 輱輩 X n 0 cn輨x 輱輩n 代入方程 轛輨z 輱輩 輫 輲轝輨z 輱輩 X n 0 cn輨n 輫 輩輨n 輫 輱輩輨x 輱輩n 2 輲轛輨z 輱輩 輫 輱轝 X n 0 cn輨n 輫 輩輨x 輱輩n 1 輫 輨 輫 輱輩 X n 0 cn輨x 輱輩n 輽 輰 得 輲 X n 0 cn輨n 輫 輩2輨x 輱輩n 輫 X n 0 cn轛 輨 輫 輱輩 輨n 輫 輩輨n 輫 輫 輱輩轝輨x 輱輩n 1輽 輰 先求指标方程輬 2輽 輰 得 1輽 2輽 輰輮 所以第一解为 轔轡轹转软轲 级数輬 递推关系 cn輽 n輨n 輱輩 輨 輫 輱輩 輲n2 cn 1 輽輨 n 輫 輱輩輨 輫 n輩 輲n2 cn 1 輲 所以輬 取 c0輽 輱 P 輨x輩 輽 X n 0 輨 n 輫 輱輩2n 輨n輡輩2 x 輱 輲 n 輽 X n 0 輱 輨n輡輩2 輀輨 輫 n 輫 輱輩 輀輨 n 輫 輱輩 x 輱 輲 n 輨輹輩 称为 次第一类 轌轥轧轥轮轤轲轥 函数輮 第二解一定含对数项輬 取为 Q 輨x輩 輽 gP 輨x輩转轮輨x 輱輩 輫 輽 輱 輲P 輨x輩 转轮 x 輫 輱 x 輱 輲 輲 輨 輫 輱輩 輫 X n 0 輱 輨n輡輩2 輀輨 輫 n 輫 輱輩 輀輨 n 輫 輱輩 輱 輫 輱 輲 輫 輫 輱 n x 輱 輲 n 輨輱輰輩 称为 次第二类 轌轥轧轥轮轤轲轥 函数輮 z 輽 輱 是 Q 的枝点輬 6輽 n 时輬 z 輽 也是 Q 的枝点輮 规定 轡轲轧輨z 輱輩 輽 輰轛轒轥z 輱 轉轭z 輽 輰轝 则 Q 輨 z輩 輽 轥 iQ 輨z輩轛轉轭z 輰轝 通常规定对于实数 x輬 当 輱 x l 2 的项輬 求导结果为零 轤l 轤xl 輨x2 輱輩l輽 轤l 轤xl l X r 0 輨 輱輩r l輡 r輡輨l r輩輡x 2 l r 輽 l 2 X r 0 輨 輱輩r l輡 r輡輨l r輩輡 輨輲l 輲r輩輡 輨l 輲r輩輡 xl 2r 所以 Pl輨x輩 輽 l 2 X r 0 輨 輱輩r 輨輲l 輲r輩輡 輲lr輡輨l r輩輡輨l 輲r輩輡x l 2r 輨輲輱輩 很容易求出 P2l輨輰輩 輽 輨 輱輩l 輨輲l輩輡 輲2ll輡l輡 輨輲輲輩 P2l 1輨輰輩 輽 輰輨輲輳輩 輵 16 4Legendre 多项式的正交完备性 正交性 轌轥轧轥轮轤轲轥 多项式是作为本征值问题的本征函数出现的輬 因此可以从本征值问题出发輬 证明 轌轥轧轥轮轤轲轥 多项 式的正交性 Z 1 1 Pl輨x輩Pk輨x輩轤x 輽 輰k 6輽 l輨輲輴輩 下面给出另一个证明輬 同时还可求出 kPl輨x輩k2輮 设 k l Z 1 1 Pl輨x輩Pk輨x輩轤x 輽 Z 1 1 輱 輲ll輡 轤l 轤xl 輨x2 輱輩lPk輨x輩轤x 輽 輱 輲ll輡Pk輨x輩 轤l 1 轤xl 1 輨x2 輱輩l 1 1 輱 輲ll輡 Z 1 1 P0 k輨x輩 轤l 1 轤xl 1 輨x2 輱輩l轤x 輽 輱 輲ll輡 Z 1 1 P0 k輨x輩 轤l 1 轤xl 1 輨x2 輱輩l轤x 輽 Z 1 1 Pl輨x輩Pk輨x輩轤x 輽 輨 輱輩l 輱 輲ll輡 Z 1 1 P l k 輨x輩輨x2 輱輩l轤x 若 k l輬 k 次多项式求 l 次导数等于零輬 所以 Z 1 1 Pl輨x輩Pk輨x輩轤x 輽 輰 这就证明了正交性輮 若 k 輽 l 时輬 则 P l l 輽 常数輮 由 Pl輨x輩 的多项式表达式 Pl輨x輩 輽 輨輲l輩輡 輲l輨l輡輩2 xl輫 所以 P l l 輨x輩 輽 輨輲l輩輡 輲ll輡 于是 kPl輨x輩k2輽 輨 輱輩l 輨輲l輩輡 輲ll輡 Z 1 1 輨x2 輱輩l轤x 积分可用 轂 函数表示或分部积分积出輮 最后得 kPl輨x輩k2輽 輲 輲l 輫 輱 輨輲輵輩 所以 Z 1 1 Pl輨x輩Pk輨x輩轤x 輽 輲 輲l 輫 輱 kl 輨輲輶輩 輶 完备性 作为本征函数的轌轥轧轥轮轤轲轥多项式輬 具有完备性輺 任意一个在区间 轛 輱 輱轝 中分段连续的函数 f輨x輩輬 除去有 限个不连续点輬 可以展开为级数 f輨x輩 輽 X l 0 clPl輨x輩 当然輬 展开系数由 轌轥轧轥轮轤轲轥 多项式的正交性得到 clkPl輨x輩k2輽 Z 1 1 f輨x輩Pl輨x輩轤x cl輽 輲l 輫 輱 輲 Z 1 1 f輨x輩Pl輨x輩轤x Example 16 1将函数 f輨x輩 輽 x3按 Legendre 多项式展开 Solutionx3为輳次多项式輬 而 P3輨x輩 輽 輱 輲輨輵x 3 輳x輩 所以 x3輽 輲 輵P3輨x輩 輫 輳 輵x 3 5x 为輱次多项式輬 而 P1輨x輩 輽 x 所以 x3輽 輲 輵P3輨x輩 輫 輳 輵P1輨x輩 若为 xk輬 k 较大时輬 可以算出普遍表达式輮 Example 16 2将 xk按 Legendre 多项式展开 Solution设 xk輽 P l 0clPl輨x輩輬 则 cl輽 輲l 輫 輱 輲 Z 1 1 xkPl輨x輩轤x 从被积函数的奇偶性可以判断 cl輽 輰 当 k l 輽 奇数 当 k l 为偶数时輬 将 Pl輨x輩 用它的微分表示代入輬 分部积分輬 就有 cl輽 輲l 輫 輱 輲 輱 輲ll輡 Z 1 1 xk 轤l 轤xl 輨x2 輱輩l轤x 輽 輨 輱輩1 輲l 輫 輱 輲 輱 輲ll輡 Z 1 1 轤xk 轤x 轤l 1 轤xl 1 輨x2 輱輩l轤x 輽 輽 輨 輱輩l 輲l 輫 輱 輲 輱 輲ll輡 Z 1 1 轤lxk 轤xl 輨x2 輱輩l轤x 輷 这时有两种可能輬 当 k l 时輬 函数 xk微商 l 次一定为 輰輬 即 cl輽 輰 当 k 輽 轭轡轸輨r r0輩 r輫 r2r 輱 r 輱 輲r 轣软轳 輫 r 2 輽 輱 r X l 0 Pl輨轣软轳 輩 r l 16 6Legendre 多项式的递推关系 从 轌轥轧轥轮轤轲轥 多项式的生成函数出发輬 很容易导出相邻各次 轌轥轧轥轮轤轲轥 多项式之间的关系轼递推关系輮 生成函数两端对 t 求导数 輱 輲 輲x 輫 輲t 輨輱 輲xt 輫 t2輩3 2 輽 X l 0 lPl輨x輩tl 1 乘以 輱 輲xt 輫 t2 x t 輱 輲xt 輫 t2輽 輨輱 輲xt 輫 t2輩 X l 0 lPl輨x輩tl 1 即 輨x t輩 X l 0 Pl輨x輩tl輽 輨輱 輲xt 輫 t2輩 X l 0 lPl輨x輩tl 1 比较 tl项的系数 xPl輨x輩 Pl 1輽 輨l 輫 輱輩Pl 1輨x輩 輲xlPl輨x輩 輫 輨l 輱輩Pl 1輨x輩 整理得 輨輲l 輫 輱輩xPl輨x輩 輽 輨l 輫 輱輩Pl 1輨x輩 輫 lPl 1輨x輩輨輲輹輩 将生成函数对 x 求导 輱 輲 輲t 輨輱 輲xt 輫 t2輩3 2 輽 X l 0 P0 l輨x輩t l 乘以 輱 輲xt 輫 t2 t X l 0 Pl輨x輩tl輽 輨輱 輲xt 輫 t2輩 X l 0 P0 l輨x輩t l 比较 tl 1系数 Pl輨x輩 輽 P0 l 1輨x輩 輲xP 0 l輨x輩 輫 P 0 l 1輨x輩 把前个递推关系对 x 求导 輨輲l 輫 輱輩Pl輨x輩 輫 輨輲l 輫 輱輩xP0 l輨x輩 輽 輨l 輫 輱輩P 0 l 1輨x輩 輫 lP 0 l 1輨x輩 消去 P0 l 1輨x輩 P0 l 1輨x輩 輽 xP 0 l輨x輩 輫 輨l 輫 輱輩Pl輨x輩 輨輳輰輩 輱輰 消去 P0 l 1輨x輩輬 则得 P0 l 1輨x輩 輽 xP 0 l輨x輩 lPl輨x輩 輨輳輱輩 递推关系的一个用途是计算积分輮 Example 16 5计算 Z 1 1 xPk輨x輩Pl輨x輩轤x Solution利用递推关系 Z 1 1 xPk輨x輩Pl輨x輩轤x 輽 Z 1 1 k 輫 輱 輲k 輫 輱Pk 1輨x輩 輫 k 輲k 輫 輱Pk 1輨x輩 Pl輨x輩轤x 輽 k 輫 輱 輲k 輫 輱 輲 輲l 輫 輱 k 1 l 輫 k 輲k 輫 輱 輲 輲l 輫 輱 k 1 l 輽 輲 輲l 輫 輱 l 輲l 輱 k 1 l 輫 l 輫 輱 輲l 輫 輳 k 1 l 16 7Legendre 多项式应用举例 Example 16 6均匀电场中的导体球 a z 设在电场强度为 E0的均匀电场中放进一个接地导体球 球的半径为 a 求球外任意一点的电势 Solution取电场方向为 z 轴方向輬 则原有的均匀电场的电势为 u1輨r輩 輽 E0z 輫 u0 采用球坐标系輬 则为 u1輨r 輩 輽 E0r轣软轳 輫 u0 放进导体球輬 由于静电感应輬 在导体球的球面上会形成一定的感生电荷分布輬 设感生电荷产生的电势为 u2輬 由 对称性 u2輨r輩 輽 u2輨r 輩 因为感生电荷局限在球面上輬 故 u2輨r 輩 r 輽 輰 总电势 u輨r輩 为原有均匀电场的电势 u1和感生的电势 u2的叠加 u輨r 輩 輽 u1輨r 輩 輫 u2輨r 輩 輱輱 而接地的导体球应为零电势 u輨r 輩 r a輽 輰 下面来求 u輮 先求 u2輮 导体球外輬 无源的静电场满足 轌轡轰转轡轣轥 方程 2u 輽 輰 同样輬 导体球不存在时輬 原有电场也有 2u1輽 輰 故 u2满足 轌轡轰转轡轣轥 方程輬 在球坐标系中輬 因为 u2与 无关 輱 r2 r r2 u r 輫 輱 r2轳轩轮 轳轩轮 u 輽 輰 边界条件则为 u2 r a輽 u1 r a輽 E0a轣软轳 u0 u2 r 輰 和 u2 0有界u2 有界 求解定解问题輮 分离变量 u2輨r 輩 輽 R輨r輩輂輨 輩 可以得到 轤 轤r r2 轤R輨r輩 轤r R輨r輩 輽 輰 輱 轳轩轮 轤 轤 轳轩轮 轤輂輨 輩 轤 輫 輂輨 輩 輽 輰 由 的边界条件輬 得 輂輨輰輩有界輂輨 輩有界 轌轥轧轥轮轤轲轥 本征值问题的解为 本征值 l輽 l輨l 輫 輱輩 本征函数輂l輨 輩 輽 Pl輨x輩 輽 Pl輨轣软轳 輩 代入径向方程 轤 轤r r2 轤Rl輨r輩 轤r l輨l 輫 輱輩Rl輨r輩 輽 輰 仍为前章讨论过的特殊的二次线性微分方程轼轅轵转轥轲 方程輬 其解为 Rl輨r輩 輽 r 代入方程 輨 輫 輱輩 l輨l 輫 輱輩 輽 輰 1輽 l 2輽 l 輱 于是 Rl輨r輩 輽 Alrl輫 Blr l 1 特解为 u2 l輨r 輩 輽 輨Alrl輫 Blr l 1輩Pl輨轣软轳 輩 輱輲 一般解 u2輨r 輩 輽 X l 0 輨Alrl輫 Blr l 1輩Pl輨轣软轳 輩 考虑径向边界条件 u2 r 輰 所以輬 Al輽 輰輮 而 u2 r a輽 X l 0 Bla l 1Pl輨轣软轳 輩 輽 E0a轣软轳 u0輽 E0aP1輨轣软轳 輩 u0P0輨轣软轳 輩 所以 B0 a 輽 u0B0輽 u0a B1 a2 輽 E0aB1輽 E0a3 Bl輽 輰l 輲 u2輨r 輩 輽 u0a r 輫 E0a3 r2 轣软轳 u輨r 輩 輽 u0 E0r轣软轳 u0a r 輫 E0a3 r2 轣软轳 輽 u0 輱 a r E0 輱 a3 r3 r轣软轳 Example 16 7 輨均匀带电细圆环的静电势輩设有一均匀带电细圆环 半径为 a 总电荷量为 Q 求它在空间 任意一点的静电势 解法一除了圆环上各点外輬 静电势处处满足 轌轡轰转轡轣轥 方程輮 仍取球坐标系輬 坐标原点在环心輬 而圆环则处在赤道面上輮 这时輬 空间任意一点 輨r 輩 的静电势应与 无 关 u 輽 u輨r 輩 可以写出 u 所满足的定解问题 輱 r2 r r2 u r 輫 輱 r2轳轩轮 轳轩轮 u 輽 輱 0 輨r 輩 輨輳輲轡輩 u 0有界 u 有界 輨輳輲轢輩 u r 0有界 u r 輰 輨輳輲轣輩 其中电荷密度分布函数为 輨r 輩 輽 C 輨r a輩 輲 輨輳輳轡輩 由圆环上的总电荷 ZZZ C 輨r a輩 輲 r2轳轩轮 轤r轤 轤 輽 Q 就可以定出常数 C輬 C 輽 Q 輲 a2 輨輳輳轢輩 輱輳 下面就来求解定解问题輨輳輲輩輮 由 函数的性质可以知道輬 当 r 6輽 a时輬 方程輨輳輲轡輩 退化为 轌轡轰转轡轣轥 方程輮 这 样輬 再结合輨輳輲轢輩和輨輳輲轣輩輬 就可以得到 u輨r 輩 輽 P l 0Alr lPl輨轣软轳 輩 r a 輨輳輴輩 把球面 r 輽 a 看成是界面輬 在界面上存在电荷分布輮 所以 u輨r 輩 在球面 r 輽 a 上一定是连续的輬 u輨r 輩 r a 0 r a 0 輽 輰 輨輳輵輩 而 u輨r 輩 r 在球面 r 輽 a 上一定是不连续的輬 它在球面 r 輽 a 两侧的跃变可以由方程輨輳輲轡輩对 r 积分得到輺 u r r a 0 r a 0 輽 Q 輲 a2 0 輲 輨輳輶輩 由輨輳輵輩式可得 Alal輽 Bla l 1 将輨輳輶輩式中的 函数也按 轌轥轮轧轥轮轤轲轥 多项式展开輬 輲 輽 X l 0 輲l 輫 輱 輲 Pl輨輰輩Pl輨轣软轳 輩 又可得 Allal 1輫 Bl輨l 輫 輱輩a l輽 輨輲l 輫 輱輩Q 輴 0 Pl輨輰輩 解之即得 Al輽 Q 輴 0 a l 1Pl輨輰輩 Bl輽 Q 輴 0 alPl輨輰輩 因为P2l 1輨輰輩 輽 輰 所以 u輨r 輩 輽 Q 輴 0 輱 a P l 0 r a 2l P2l輨輰輩P2l輨轣软轳 輩 r a 輨輳輷輩 解式中只含有偶次 轌轥轧轥轮轤轲轥 多项式輬 反映了静电势 r輨r 輩 对于赤道面的輨镜像輩 反射不变性輬 即 u輨r 輩 輽 u輨r 輩 解法二本题还有一种非标准的解法輬 即在 r 6輽 a的条件下先写出定解问题輨輳輲輩的一般解輨輳輴輩輮 然后设法找 到 u輨r 輩 在某些特殊位置的数值輬 来定出叠加系数輮 由于圆环上各点到轴线上 輨r 輩 輽 輨r 輰輩 或 輨r 輩 点的距 离相等輬 故可直接叠加出轴线上任意一点的静电势輬 u輨r 輩 0 輽 Q 輴 0 輱 a2 輫 r2 輽 Q 輴 0 輱 a2 輫 r2 輲ra轣软轳 0 0 2 輽 Q 輴 0 輱 a P l 0 r a 2l P2l輨輰輩 r a 輨輳輸輩 輱輴 另一方面 由輨輳輴輩式又可以得到 u輨r 輩 0 輽 P l 0輨 輩 lAlrl r a 其中的正号和负号分别对应于 輽 輰 和 輮 与前式相比较輬 就可以求得 A2l輽 Q 輴 0 a 2l 1P2l輨輰輩 A2l 1輽 輰 B2l輽 Q 輴 0 a2lP2l輨輰輩 B2l 1輽 輰 16 8连带 Legendre 函数 连带 Legendre 方程 球坐标系下 轌轡轰转轡轣轥 方程輬 在一般情况下輬 u 輽 u輨r 輩 輱 r2 r r2 u r 輫 輱 r2轳轩轮 轳轩轮 u 輫 輱 r2轳轩轮2 2u 2 輽 輰 u r R輽 f輨 輩u r 0有界 u 0有界u 有界 u 0輽 u 2 u 0 輽 u 2 分离变量 u輨r 輩 輽 R輨r輩輂輨 輩輈輨 輩 輂輨 輩輈輨 輩 輱 r2 轤 轤r r2 轤R輨r輩 轤r 輫R輨r輩輈輨 輩 輱 r2轳轩轮 轤 轤 轳轩轮 轤輂輨 輩 轤 輫R輨r輩輂輨 輩 輱 r2轳轩轮2 轤2輈輨 輩 轤 2 輽 輰 r2 輨R輂輈輩 輱 R輨r輩 轤 轤r r2 轤R輨r輩 轤r 輽 輱 輂輨 輩 輱 轳轩轮 轤 轤 轳轩轮 轤輂輨 輩 轤 輱 輈輨 輩 輱 轳轩轮2 轤2輈輨 輩 轤 2 輽 将 輂輬 輈 满足的方程再乘以 轳轩轮2 轳轩轮 輂輨 輩 轤 轤 轳轩轮 轤輂輨 輩 轤 輫 轳轩轮2 輽 輱 輈輨 輩 轤2輈輨 輩 轤 2 輽 得 輱 轳轩轮 轤 轤 轳轩轮 轤輂輨 輩 轤 輫 轳轩轮2 輂輨 輩 輽 輰輨輳輹輩 轤2輈輨 輩 轤 2 輫 輈輨 輩 輽 輰輨輴輰輩 輨輳輹輩 称为连带 轌轥轧轥轮轤轲轥 方程輮 輱輵 连带 Legendre 函数 边界条件分离变量后为 輂輨輰輩有界輂輨 輩有界 輈輨輰輩 輽 輈輨輲 輩輈0輨輰輩 輽 輈0輨輲 輩 解 輈 本征值问题輬 得 m輽 m2m 輽 輰 輱 輲 輳 輈0輽 輱輈m1輽 轣软轳m 輈m2輽 轳轩轮m 代入 輂 方程后輬 輂 的本征值问题为 輱 轳轩轮 轤 轤 轳轩轮 轤輂輨 輩 轤 輫 m2 轳轩轮2 輂輨 輩 輽 輰 輂輨輰輩有界輂輨 輩有界 或令 x 輽 轣软轳 y輨x輩 輽 輂輨 輩 輽 輨 輫 輱輩 轤 轤x 輨輱 x2輩轤y輨x輩 轤x 輫 輨 輫 輱輩 m2 輱 x2 y輨x輩 輽 輰 y輨 輱輩有界 先求方程的通解輮 x 輽 輱仍为方程的正则奇点輮 正则奇点处的指标方程輬 因为a0輽 輱輬 b0輽 m2 輴輬 为 輨 輱輩 輫 m2 輴 輽 輰 所以輬 指标为 1輽 m 輲輬 2輽 m 輲輬 第一解为 y1輨x輩 輽 輨x 輱輩m 2 X cn輨x 輱輩n 輽 輨x 輫 輱輩m 2 X c0n輨x 輫 輱輩n 所以我们假设 y輨x輩 輽 輨輱 x2輩m 2vm輨x輩 代入方程輬 就可以得到 vm輨x輩 所满足的方程 輨輱 x2輩v00 m 輲輨m 輫 輱輩xv 0 m輫 轛 輨 輫 輱輩 m輨m 輫 輱輩轝vm輽 輰 下面輬 我们证明輬 上面的方程可以通过 轌轥轧轥轮轤轲轥 方程求 m 次导数得到輮 先将上面方程求一次导数 輨輱 x2輩v000 m 輲xv 00 m 輲輨m 輫 輱輩xv 00 m 輲輨m 輫 輱輩v0 m輫 轛 輨 輫 輱輩 m輨m 輫 輱輩轝v 0 m輽 輰 整理后得 輨輱 x2輩輨v0 m輩 00 輲輨m 輫 輲輩x輨v0 m輩 0 輫轛 輨 輫 輱輩轝 輨m 輫 輱輩輨m 輫 輲輩轝輨v0 m輩 輽 輰 輱輶 这表明輬 v0 m輨x輩 满足同样的方程輬 只要把 m 换成 m 輫 輱輮 v0 m輨x輩 vm 1輨x輩 所以只要知道了 m 輽 輰 时方程的解 v0輬 对解求一次导輬 就得到了 m 輽 輱 时方程的解 v1輬 再求一次导輬 就得到 了 m 輽 輲 时方程的解 v2輬 依此类推輮 而 m 輽 輰 时方程就是 轌轥轧轥轮轤轲轥 方程 輨輱 x2輩w00 輲xw0輫 輨 輫 輱輩w 輽 輰 其解为 轌轥轧轥轮轤轲轥 函数 P 輨x輩 和 Q 輨x輩輮 所以輬 vm的通解为 vm輨x輩 輽 AP m 輨x輩 輫 BQ m 輨x輩 而连带 轌轥轧轥轮轤轲轥 方程的通解则为 y輨x輩 輽 A輨輱 x2輩m 2P m 輨x輩 輫 B輨輱 x2輩m 2Q m 輨x輩 再考虑边界条件輬 y輨輱輩 有界輬 Q 在 x 輽 輱 对数发散輬 Q m 则以 輨x 輱輩 m的方式发散輬 所以 輨輱 x2輩m 2Q m 輨x輩 在 x 輽 輱 发散輬 B 輽 輰輮 进一步輬 y輨 輱輩 有界輬 只要 6輽 輰輬 P 为一无穷级数輬 则 P 在 x 輽 輱 点也是对数发散輬 P 輨x輩 輽 P 輨 x輩 輫 Q 輨 x輩 6輽 輰 实际上輬 6輽 輰 时 Q 輨x輩 輽 輲轳轩轮 轛轣软轳 P 輨x輩 P 輨 x輩轝 同样的道理輬 则 輨輱 x2輩m 2P m 輨x輩 在 x 輽 輱 发散輮 除非 輽 l輬 Pl截断成 轌轥轧轥轮轤轲轥 多项式輮 且 l m 时輬 P m l 不为零輡 得 l輽 l輨l 輫 輱輩l 輽 m m 輫 輱 m 輫 輲 ym l 輨x輩 輽 輨 輱輩m輨輱 x2輩m 2P m l 輨x輩 Pm l 輨x輩 Pm l 輨x輩 称为m 阶 l 次连带 轌轥轧轥轮轤轲轥 函数 Pm l 輨x輩 輽 輨 輱輩m 輲ll輡 輨輱 x2輩m 2 轤l m 轤xl m 輨x2 輱輩l 作为本征函数輬 连带轌轥轧轥轮轤轲轥函数有正交关系 Z 1 1 Pm l 輨x輩Pm k 輨x輩轤x 輽 輰k 6輽 l輨輴輱輩 Proof设 k l Z 1 1 Pm l 輨x輩Pm k 輨x輩轤x 輽 Z 1 1 輨輱 x2輩mP m l P m k 輨x輩轤x 分部积分 m 次后得 Z 1 1 Pm l 輨x輩Pm k 輨x輩轤x 輽輨 輱輩m Z 1 1 Pl輨x輩 轤m 轤xm h 輨輱 x2輩mP m k 輨x輩 i 轤x 輱輷 而 Pl輨x輩 輽 輨輲l輩輡 輲ll輡l輡x l 輫 轤m 轤xm h 輨輱 x2輩mP m k 輨x輩 i 輽 轤m 轤xm 輨 輱輩mx2m 轤m 轤xm 輨輲k輩輡 輲kk輡k輡x k 輫 輽輨 輱輩m 輨輲k輩輡 輲kk輡k輡 k輡 輨k m輩輡 輨k 輫 m輩輡 k輡 xk輫 为一 k 次多项式輮 将其用 轌轥轧轥轮轤轲轥 多项式展开 轤m 轤xm h 輨輱 x2輩mP m k 輨x輩 i 輽 輨 輱輩m 輨k 輫 m輩輡 輨k m輩輡Pk輨x輩 輫 k 1 X n 0 cnPn 当 k l 时輬 Pl輨x輩 与 Pk正交輬 且显然 Pl輨x輩 与 Pn輨n k輩 正交輬 所以积分等于零輬 这就证明了正交性輮 当 k 輽 l 时积分为 kPm l k2輽 輨l 輫 m輩輡 輨l m輩輡kPlk 2 輽 輨l 輫 m輩輡 輨l m輩輡 輲 輲l 輫 輱 所以 Z 1 1 Pm l 輨x輩Pm k 輨x輩轤x 輽 輨l 輫 m輩輡 輨l m輩輡 輲 輲l 輫 輱 lk 輨輴輲輩 16 9球面调和函数 球坐标系下 轌轡轰转轡轣轥 方程的分离变量的特解 u輨r 輩 輽 R輨r輩輂輨 輩輈輨 輩 輈輬 輂 为相应本征值问题的本征函数輮 輈0輽 輱輈m1輽 轣软轳m 輈m2輽 轳轩轮m m 輽 輰 輱 輲 輳 輂m l 輨 輩 輽 Pm l 輨轣软轳 輩l 輽 m m 輫 輱 m 輫 輲 我们把 輈輬 輂 的乘积称为球面调和函数輬 简称球谐函数輮 记为 S輨 輩輮 这样輬 球坐标系下 轌轡轰转轡轣轥 方程的分离 变量的特解 u輨r 輩 輽 R輨r輩S輨 輩 而 Slm1輨 輩 輽 Pm l 輨轣软轳 輩轣软轳m m 輽 輰 輱 輲 l Slm2輨 輩 輽 Pm l 輨轣软轳 輩轳轩轮m m 輽 輱 輲 l l 輽 輰 輱 輲 輳 常采用另一种形式的球谐函数輮 本征函数 輈 取复数的形式 輈m輽 轥im m 輽 輰 輱 輲 輱輸 球面调和函数则为 Slm輨 輩 輽 P m l 輨轣软轳 輩轥im l 輽 輰 輱 輲 輬 m 輽 輰 輱 輲 l 其正交关系和模方为 Z 0 Z 2 0 Slm輨 輩S kn轳轩轮 轤 轤 輽 輨l 輫 m 輩輡 輨l m 輩輡 輲 輲l 輫 輱 lk輲 mn 輽 輨l 輫 m 輩輡 輨l m 輩輡 輴 輲l 輫 輱 lk mn 輨輴輳輩 归一化的球面调和函数 Y m l 輨 輩 輽 s 輨l m 輩輡 輨l 輫 m 輩輡 輲l 輫 輱 輴 P m l 輨轣软轳 輩轥im 輨輴輴輩 其正交关系很简单 Z 0 Z 2 0 Y m l 輨 輩Y n k 轳轩轮 轤 轤 輽 lk mn輨輴輵輩 归一化即指其模方为輱輮 Note不同的文献 Y m l 或 Ylm 的定义可能不同 例如 Y m l 定义中的绝对值符号可能去掉 这是因为 P m l 輨x輩 輨 輱輩 m 輲ll輡 輨輱 x2輩 m 2 轤l m 轤xl m 輨x2 輱輩l 輽 輨 輱輩m 輨l m輩輡 輨l 輫 m輩輡P m l 輨x輩 这样就会相差一个因子 輨 輱輩m 在我们的教科书中 Y m l 輨x輩 輽 Y m l 輨x輩 而常用的约定是 Y m l 輨x輩 輽 輨 輱輩mY m l 輨x輩 球面调和函数的引入使问题求解变得简单輮 Example 16 8一半径为a的均匀导体球 表面温度为 u r a輽 P1 1輨轣软轳 輩轣软轳 试求出球内的稳定温度分布 Solution化为球坐标系下的定解问题 輱 r2 r r2 u r 輫 輱 r2轳轩轮 轳轩轮 u 輫 輱 r2轳轩轮2 2u 2 輽 輰 u r a輽 f輨 輩 輽 P1 1輨轣软轳 輩轣软轳 u r 0有界 u 0有界u 有界 u 0輽 u 2 u 0 輽 u 2 輱輹 分离变量 u輨r 輩 輽 R輨r輩S輨 輩 得 轤 轤r r2 轤R輨r輩 轤r R 輽 輰 和 輱 轳轩轮 轳轩轮 S輨 輩 輫 輱 轳轩轮2 2S輨 輩 2 輫 S輨 輩 輽 輰 加上边界条件 S 0有界S 有界 S 0輽 S 2 S 0 輽 S 2 构成一个偏微分方程的本征值问题輮 其解为 輨写出即可輩 l輽 l輨l 輫 輱輩 Slm輨 輩 輽 Y m l 輨 輩m 輽 輰 輱 輲 l 代入径向方程 轤 轤r r2 轤Rl輨r輩 轤r l輨l 輫 輱輩Rl輽 輰 其通解 Rl輨r輩 輽 Almrl輫 Blmr l 1 由边界条件u r 0有界輬 Blm輽 輰輮 所以輬 特解为 ulm輨r 輩 輽 AlmrlY m l 輨 輩 一般解 u輨r 輩 輽 X l 0 l X m l AlmrlY m l 輨 輩 定系数 u輨r 輩 r a輽 X l 0 l X m l AlmalY m l 輨 輩 由球谐函数正交归一性 Almal輽 Z 0 Z 2 0 f輨 輩Y m l 輨 輩轳轩轮 轤 轤 Alm輽 a l Z 0 Z 2 0 f輨 輩Y m l 輨 輩轳轩轮 轤 轤 或直接将 f輨 輩 用球谐函数展开輮 因为 Y 1 1 輨 輩 輽 r 輳 輸 P1 1輨轣软轳 輩轥 i 輲輰 则 P1 1輨轣软轳 輩轣软轳 輽 P 1 1輨轣软轳 輩 轥i 輫 轥 i 輲 輽 r 輲 輳 Y 1 1輨 輩 輫 Y 1 1 輨 輩 于是輬 A11輽 A1 1輽 輱 a r 輲 輳 A其它輽 輰 u輨r 輩 輽 r a r 輲 輳 Y 1 1輨 輩 輫 Y 1 1 輨 輩 輽 r aP 1 1輨轣软轳 輩轣软轳 輽 r a 轳轩轮 轣软轳 16 10连带 Legendre 函数的加法公式 加法公式 如图輬 若改变球坐标极轴方向 z P輨 輩 P0輨 0 0輩 z0 0 O 有如下加法公式輺 Pl輨轣软轳 輩 輽 l X m l 輨l m輩輡 輨l 輫 m輩輡P m l 輨轣软轳 輩Pm l 輨轣软轳 0輩轥im 0 輽 l X m l 輨 輱輩mPm l 輨轣软轳 輩P m l 輨轣软轳 0輩轥im 0 輽 Pl輨轣软轳 輩Pl輨轣软轳 0輩 輫 輲 l X m 1 輨l m輩輡 輨l 輫 m輩輡P m l 輨轣软轳 輩Pm l 輨轣软轳 0輩 轣软轳m輨 0輩輨輴輶輩 其中 是 OP 輨方向为 輩 与 z0轴 OP0輨方向为 0 0輩 间的夹角輮 轣软轳 輽 轣软轳 轣软轳 0輫 轳轩轮 轳轩轮 0轣软轳輨 0輩輨輴輷輩 輲輱 Proof这个加法公式的证法很多輮 下面从微分方程的解的关系着手輬 予以证明輮 在球坐标系中用分离变量法解 轌轡轰转轡轣轥 方程輺 2V 輽 輰 可得 V 輨r 輩 輽 R輨r輩S輨 輩輮 假设 V 輨輰輩 有界輬 则可取 Vlm輨r 輩 輽 rlYlm輨 輩 现在改变球坐标的极轴輬 从 z 轴换到 z0轴輮 显然輬 在这样的变换下 轌轡轰转轡轣轥 方程的形式不变輬 而其解在新坐 标系 輨r 輩 下有輺 Ulm輨r 輩 輽 rlYlm輨 輩 仍满足 2U 輽 輰 由解的完备性輬 Ulm輨r 輩 一定可以表示成 Vlm輨r 輩 的线性组合輬 所以 rlYlm輨 輩 輽 X k 0 k X n k rkAknYkn輨 輩 比较 rl的幂次輬 有 Akn輽 An kl 所以 Ylm輨 輩 輽 l X n l AnYln輨 輩輨輴輸輩 其中 An輽 An輨 0 0輩 仅依赖于 z0轴对 z 轴的方向輮 反过来輬 Vlm輨r 輩 也一定可以表示成 Ulm輨r 輩 的 线性组合輬 所以又可以得到 Ylm輨 輩 輽 l X n l BnYln輨 輩輨輴輹輩 在輨輴輸輩中考虑 m 輽 輰 的情形輬 Yl0輨 輩 輽 l X m l AmYlm輨 輩輨輵輰輩 由球谐函数的正交归一关系輬 得 Am輽 Z 0 Z 2 0 Yl0輨 輩Y lm輨 輩轤 其中 輽 轳轩轮 轤 轤 是立体角元輮 将輨輴輹輩代入輬 注意立体角的大小不因极轴的变换而改变 轤 輽 轳轩轮 轤 轤 輽 轤輊 輽 轳轩轮 轤 轤 得 Am輽 Z 0 Z 2 0 Yl0輨 輩 l X n l B nY ln輨 輩轤輊 輽 B 0 輲輲 B0可以从輨輴輹輩算出如下輺 当 輽 輰 时輬 輽 0輬 輽 0輬 而 Yln輨輰 輩 輽 s 輨l n輩輡 輨l 輫 n輩輡 輲l 輫 輱 輴 Pn l 輨輱輩轥in 輽 s 輨l n輩輡 輨l 輫 n輩輡 輲l 輫 輱 輴 n輰轥in 輽 r 輲l 輫 輱 輴 n輰 故 B0輽 r 輴 輲l 輫 輱Ylm輨 0 0輩 即 Am輽 r 輴 輲l 輫 輱Y lm輨 0 0輩 得 Yl0輨 輩 輽 r 輴 輲l 輫 輱 l X m l Ylm輨 輩Y lm輨 0 0輩 輨輵輱輩 将 Ylm的表达式代入輬 就证明了加法公式輮 带电圆环问题解法三重新再讨论带电圆环问题輮 在环上取弧元 a轤 0輬 它到空间任意一点 輨r 輩 的静电势 就是 轤u 輽 輱 輴 0 Q轤 0 輲 輱 pr2 輫 a2 輲ra轣软轳 其中 轣软轳 輽 轣软轳 轣软轳 0輫 轳轩轮 轳轩轮 0轣软轳輨 0輩 0 2 輽 轳轩轮 轣软轳輨 0輩 由此就直接叠加出整个带电圆环在 輨r 輩 的静电势 u輨r 輩 輽 Q 輸 2 0 Z 2 0 轤 0 pr2 輫 a2 輲ra轣软轳 可以利用加法公式计算出这个积分輮 当 r a 时也可以得到 u輨r 輩 輽 Q 輴 r 0 X l 0 a r 2l P2l輨轣软轳 輩P2l輨輰輩 结果完全相同輮 16 11超几何函数 超几何级数 超几何级数是一个级数 P cn輬 满足 cn 1 cn 輽 n 的有理函数 将有理函数的分子多项式和分母多项式因式分解后輬 总可以写成 cn 1 cn 輽 輨n 輫 a1輩輨n 輫 a2輩 輨n 輫 ap輩x 輨n 輫 b1輩輨n 輫 b2輩 輨n 輫 bq輩輨n 輫 輱輩 輨輵輲輩 这里出现 x 因子是因为多项式不一定是首一的輮 n 輫 輱 因子可能来源于因式分解輬 也可能不是輮 如果不是輬 则 只需在分子上加一补偿因子 n 輫 輱輮 由以上递推关系輬 X n 0 cn輽 c0 X n 0 輨a1輩n 輨ap輩n 輨b1輩n 輨bq輩n xn n輡 c0 pFq a1 ap b1 bq 輻x 輨輵輳輩 许多初等函数都可以表示成超几何级数輬 如 轥x輽0F0 輻x 輨輵輴轡輩 轳轩轮x 輽 x0F1 輳 輲 輻 x2 輴 輨輵輴轢輩 轣软轳x 輽0F1 輱 輲 輻 x2 輴 輨輵輴轣輩 转软轧輨輱 輫 x輩 輽 x2F1 輱 輱 輲 輻 x 輨輵輴轤輩 輨輱 x輩 a輽1F0 a 輻x 輨輵輴轥輩 輲輴 超几何函数 超几何函数 F輨 輻 輻z輩 輽2F1 輻z X n 0 輨 輩n輨 輩n 輨 輩nn輡 zn 輽 X n 0 輱 n輡 輀輨 輫 n輩 輀輨 輩