大学经典课件之高等数学——7-7空间曲线及其方程.pdf

第七章第七章 第七节第七节 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间曲线及其方程空间曲线及其方程 二 空间曲线的参数方程 一 空间曲线的一般方程 三 空间曲线在坐标面 上的投影 二 空间曲线的参数方程 一 空间曲线的一般方程 三 空间曲线在坐标面 上的投影 0 0 zyxG zyxF 空间曲线的一般方程 曲线上的点都满 足方程 满足方程的点都 在曲线上 不在曲线上的 点不能同时满足两个方程 空间曲线的一般方程 曲线上的点都满 足方程 满足方程的点都 在曲线上 不在曲线上的 点不能同时满足两个方程 x o z y 1 S 2 S C 空间曲线C可看作空间两曲面的交线 空间曲线C可看作空间两曲面的交线 特点 特点 一 空间曲线的一般方程一 空间曲线的一般方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1 例1 方程组 表示怎样的曲线 方程组 表示怎样的曲线 6332 1 22 zyx yx 解解1 22 yx表示圆柱面 表示圆柱面 6332 zyx表示平面 表示平面 6332 1 22 zyx yx 交线为椭圆 交线为椭圆 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2 例2 方程组 表示怎样的曲线 方程组 表示怎样的曲线 4 2 2 22 222 a y a x yxaz 解解 222 yxaz 上半球面 上半球面 4 2 2 22 a y a x 圆柱面 交线如图 圆柱面 交线如图 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 tzz tyy txx 当给定当给定 1 tt 时 就得到曲线上的一个点时 就得到曲线上的一个点 111 zyx 随着参数的变化可得到曲线上的 全部点 随着参数的变化可得到曲线上的 全部点 空间曲线的参数方程 含一个参数 空间曲线的参数方程 含一个参数 二 空间曲线的参数方程二 空间曲线的参数方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3 例3 空间曲线空间曲线空间曲线空间曲线 圆柱螺线圆柱螺线 P 同时又在平行于同时又在平行于z轴的方向 以速度 轴的方向 以速度v等速地上升 其轨迹就是圆柱螺线 圆柱面 等速地上升 其轨迹就是圆柱螺线 圆柱面 222 ayx y z 0 x a x y z acos t vt M x y z asin t t M 螺线从点螺线从点P Q 当 当 t 从从 0 2 bPQ 2叫螺距叫螺距 N Q 移动及转动都是等速 进行 所以 移动及转动都是等速 进行 所以z与时间与时间t t成 正比 点 成 正比 点P在圆柱面上以角速度 等速地绕 在圆柱面上以角速度 等速地绕z轴旋转 轴旋转 v b 其中 其中 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的参数方程还可以写为 bz ay ax sin cos v bt 螺旋线的重要螺旋线的重要性质性质 00 00 bbbz 上升的高度与转过的角度成正比 即 上升的高度 上升的高度与转过的角度成正比 即 上升的高度 bh2螺距螺距 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 0 zyxG zyxF 消去变量 消去变量 z 后得 后得 0 yxH 曲线关于 的曲线关于 的投影柱面投影柱面 xoy 设空间曲线的一般方程 以此空间曲线为准线 垂直于所投影的坐标面 投影柱面的 设空间曲线的一般方程 以此空间曲线为准线 垂直于所投影的坐标面 投影柱面的特征特征 三 空间曲线在坐标面上的投影三 空间曲线在坐标面上的投影 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似地 可定义空间曲线在其他坐标面上的投影类似地 可定义空间曲线在其他坐标面上的投影 0 0 x zyR 0 0 y zxT 面上的面上的投影曲线投影曲线 yoz 面上的面上的投影曲线投影曲线 xoz 0 0 z yxH 空间曲线在 面上的空间曲线在 面上的投影曲线投影曲线xoy 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 投影曲线的研究过程 投影曲线的研究过程 空间曲线投影曲线投影柱面空间曲线投影曲线投影柱面 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4 例4 求曲线 在坐标面上的投影 求曲线 在坐标面上的投影 2 1 1 222 z zyx 解解 1 消去变量 消去变量 z 后得后得 4 3 22 yx 在 面上的投影为在 面上的投影为 xoy 0 4 3 22 z yx 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 所以在 面上的投影为线段 所以在 面上的投影为线段 xoz 2 3 0 2 1 x y z 3 同理在 面上的投影也为线段 同理在 面上的投影也为线段 yoz 2 3 0 2 1 y x z 2 因为曲线在平面 上 因为曲线在平面 上 2 1 z 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5 求抛物面求抛物面xzy 22 与平面 与平面 02 zyx的截线 在三个坐标面上的投影曲线方程 的截线 在三个坐标面上的投影曲线方程 截线方程为截线方程为 02 22 zyx xzy 解解 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 消去消去y得投影得投影 0 0425 22 y xxzzx 3 消去消去x得投影得投影 0 02 22 x zyzy 1 消去 消去 z得投影得投影 0 045 22 z xxyyx 平面的投影在的交线及求曲面 平面的投影在的交线及求曲面 2 2222 xoyLyxzyxz 22 22 2 yxz yxz 1 1 1 22 z yx 解解 y x z o 得得交线交线L 例6 例6 空间曲线在坐标面上的投影 由 空间曲线在坐标面上的投影 由 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 z 0 2 1 1 1 22 z yx y x z o 解解 1 22 yx L 所求投影曲线为 所求投影曲线为 1 22 yx 0 1 22 z yx 得得交线交线L 投影柱面投影柱面 22 22 2 yxz yxz 由由 平面的投影在的交线及求曲面 平面的投影在的交线及求曲面 2 2222 xoyLyxzyxz 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6 例6 空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影 zxzy zxzy 1283 442 22 22 将其换成将其换成 L x z y 0 投影柱面的交线投影柱面的交线 例7 例7 空间曲线作为投影柱面的交线空间曲线作为投影柱面的交线 1 1 消去消去zy2 4x y2 4x 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 将其换成将其换成 L x z y 0 投影柱面的交线投影柱面的交线 消去消去z 消去消去x y2 z 2 2 4 y2 z 2 2 4 y2 4x y2 4x 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 zxzy zxzy 1283 442 22 22 例7 例7 空间曲线作为投影柱面的交线空间曲线作为投影柱面的交线 1 1 将其换成将其换成 L L x z y 0 L 转动坐标系 有下页图 投影柱面的交线投影柱面的交线 转动坐标系 有下页图 消去消去z 消去消去x y2 z 2 2 4 y2 4x y2 z 2 2 4 y2 4x 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 zxzy zxzy 1283 442 22 22 例7 例7 空间曲线作为投影柱面的交线空间曲线作为投影柱面的交线 1 1 L L x z y 0 y2 z 2 2 4 y2 4x 消去消去z y 2 z 2 2 4 消去消去x y2 4x 例7 例7 空间曲线作为投影柱面的交线空间曲线作为投影柱面的交线 2 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 20 z 四 柱面坐标系和球坐标系四 柱面坐标系和球坐标系 的柱面坐标 就叫点个数 则这样的三的极坐标为面上的投影 在为空间内一点 并设点设 的柱面坐标 就叫点个数 则这样的三的极坐标为面上的投影 在为空间内一点 并设点设 Mz Pxoy MzyxM 规定 规定 x y z o zyxM P 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 柱坐标系1 柱坐标系 0 x z y M z z N cos x x y z sin y x y z z 柱面坐标柱面坐标 z z 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 20 z z 动点动点M z 柱面柱面S 常数 常数 平面平面 z 常数 常数 x 0 y z M S S z 柱面坐标的坐标面柱面坐标的坐标面 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 动点动点M r z 半平面半平面P 柱面柱面S 常数常数 常数 常数 平面平面 z 常数 常数 z x 0 y z M S S P P 柱面坐标的坐标面柱面坐标的坐标面 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 球坐标系2 球坐标系 的球面坐标 就叫做点 个数面上的投影 这样的三在点 为的角 这里段逆时针方向转到有向线 轴按轴来看自为从正轴正向所夹的角 与为有向线段间的距离 与点点 为原来确定 其中 三个有次序的数 可用为空间内一点 则点设 的球面坐标 就叫做点 个数面上的投影 这样的三在点 为的角 这里段逆时针方向转到有向线 轴按轴来看自为从正轴正向所夹的角 与为有向线段间的距离 与点点 为原来确定 其中 三个有次序的数 可用为空间内一点 则点设 M rxoyM NON xz zOMMO rr MzyxM 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 x z y x y z M r r N y x z cos sinr sin sinr cosr 球面坐标球面坐标 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 r 20 0 S r M y z x 0 r 常数常数 常数常数 球面球面S 动点动点M r 球面坐标的坐标面球面坐标的坐标面 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 C C r 常数常数 常数常数 S S 球面球面S 半平面半平面P 动点动点M r M y z x 0 P P 常数常数 锥面锥面C 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 球面坐标的坐标面球面坐标的坐标面 曲面的参数方程 曲面的参数方程 cos sinsin cossin z ay ax tszz tsyy tsxx 曲面的参数方程通常是含两个参数的方程 形如 例如 球面 的参数方程为 曲面的参数方程通常是含两个参数的方程 形如 例如 球面 的参数方程为 2222 azyx 20 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间曲线空间曲线 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 t tzz tyy txx 绕绕 z 轴旋转 所得旋转曲面的方程为 轴旋转 所得旋转曲面的方程为 20 sin cos 22 22 t tzz tytxy tytxx 例9 例9 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 tz ty x 2 1 求直线求直线 绕绕 z 轴旋转 所得旋转曲面的方程为 轴旋转 所得旋转曲面的方程为 tz ty tx 2 sin