线性代数 第四章 第四节PPT幻灯片课件.ppt

方程组有解的条件与解法 主要内容 齐次线性方程组 非齐次线性方程组 第四节线性方程组的解的结构 在上一章中 我们已经介绍了用矩阵的初等 变换解线性方程组的方法 并建立了两个重要定 理 即 一 方程组有解的条件与解法 1 n个未知量的齐次线性方程组Ax 0有 非零解的充要条件是系数矩阵的秩 R A n 2 n个未知量的非齐次线性方程组Ax b 有解的充要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩 阵B的秩 且当R A R B n时方程组有唯 一解 当R A R B r n时方程组有无穷多 解 下面我们用向量组线性相关的理论来讨论线 性方程组的解 二 齐次线性方程组 1 基础解系 1 解向量 设有齐次线性方程组 记 则 1 式可写成向量方程 Ax 0 2 若x1 11 x2 21 xn n1为 1 的解 则 称为方程组 1 的解向量 它也就是向量方程 2 的解 2 解向量的性质 性质1若x 1 x 2为 2 的解 则 x 1 2也是 2 的解 证只要验证x 1 2满足方程 2 A 1 2 A 1 A 2 0 0 0 性质2若x 1为 2 的解 k为实数 则 x k 1也是 2 的解 证A k 1 k A 1 k0 0 把方程Ax 0的全体解所组成的集合记作S 如果能求得解集S的一个最大无关组S0 1 2 t 那么方程Ax 0的任一解都可由最大无关 组S0线性表示 另一方面 由上述性质1 2可 知 最大无关组S0的任何线性组合 x k1 1 k2 2 kt t 都是方程Ax 0的解 因此上式便是方程Ax 0的通解 齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该 齐次线性方程组的基础解系 由上面的讨论可 知 要求齐次线性方程组的通解 只需求出它 的基础解系 上一章我们用初等变换的方法求线性方程 组的通解 下面我们用同一方法来求齐次线性 方程组的基础解系 2 基础解系的求法 设系数矩阵A的秩为r 并不妨设A的前r个 列向量线性无关 于是A的行最简形矩阵为 与B对应 即有方程组 把xr 1 xn作为自由未知量 并令它们依次 等于c1 cn r 可得方程组 1 的通解 把上式记作 x c1 1 c2 2 cn r n r 可知解集S中的任一向量x能由 1 2 n r线 性表示 又因为矩阵 1 2 n r 中有n r 阶子式 En r 0故R 1 2 n r n r 所以 1 2 n r线性无关 根据最大无关组 的等价定义 即知 1 2 n r是解集S的最 大无关组 即 1 2 n r是方程组 1 的基 础解系 在上面的讨论中 我们先求出齐次线性方程 组的通解 再从通解求得基础解系 其实我们也 可先求基础解系 再写出通解 这只需在得到方 程组 以后 令自由未知量xr 1 xr 2 xn取下列n r组数 由 3 即依次可得 从而求得 3 也就是 1 的n r个解 依据以上的讨论 还可推得 定理7设m n矩阵A的秩R A r 则 RS n r n元齐次线性方程组Ax 0的解集S的秩 当R A n时 方程组 1 只有零解 因为没 有基础解系 此时解空间S只含一个零向量 为0 维向量空间 而当R A r n时 方程组 1 必 有含n r个向量的基础解系 因此 由最大无 关组的性质可知 方程组 1 的任何n r个线 性无关的解都可构成它的基础解系 并由此可知 齐次线性方程组的基础解系并不是唯一的 它的 通解的形式也不是唯一的 例12求齐次线性方程组 的基础解系与通解 例13设Am nBn l O 证明 R A R B n 例14设n元齐次线性方程组Ax 0与 Bx 0同解 证明R A R B 例15证明R ATA R A 三 非齐次线性方程组 1 非齐次线性方程组解的性质 设有非齐次线性方程组 它也可写成向量方程 Ax b 5 向量方程 5 的解也就是方程组 4 的解向量 它具 有 性质3设x 1及x 2都是 5 的解 则 x 1 2为对应的齐次线性方程组 Ax 0 6 的解 性质4设x 是方程 5 的解 x 是 方程组 6 的解 则x 仍是方程 5 的解 2 非齐次线性方程组解的结构 由上述讨论知 非齐次线性方程组的解等于 它所对应的齐次线性方程组的通解加上它的一个 特解 例16设有非齐次线性方程组 求该方程组的通解 方程组Ax b的解 R A 1 且 求方程组的通解 例已知 1 2 3是三元非齐次线性 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮