小学三年级奥数14讲.doc

目 录第1讲 配对求和2 第2讲 找简单的数列规律4第3讲 数图形6 第4讲 分类枚举9第5讲 最短路线12 第6讲 上楼梯与植树15第7讲 简单的倍数问题18第8讲 年龄问题20 第9讲 鸡兔同笼问题22 第10讲 盈亏问题 24 第11讲 还原问题 27第12讲 周长的计算 29第13讲 等量代换 34第14讲 一题多解 37 第1讲 配对求和高斯是德国著名的数学家、物理学家和天文学家，从小就聪明过人。他8岁时，老师给他和班上的同学出了一道题：1 + 2 + 3 + 4 + + 99 + 100 = ？8岁的小高斯很快报出了得数：5050。这个答案完全正确！最让老师吃惊的是，小高斯是计算速度如此快小高斯用什么办法算得这么的呢？原来，他用了一种巧妙的方法配对求和。这种方法正是我们要向读者小朋友介绍的。例题与方法1. 计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+102. 计算：11+12+13+14+15+16+17+18+193. 计算：101+102+103+104+105+106+107+108+109+1104. 有一垛电线杆叠堆在一起，一共有20层。第1层有12根，第2层有13根下面每层比上层多一根（如下图）。这一垛电线杆共有多少根？ 练习与思考1. 计算：1+2+3+4+18+192. 计算：1+2+3+4+29+303. 计算：2+4+6+8+98+1004. 计算：40+41+42+615. 计算：13+14+15+276. 有20个数，第1个数是9，以后每个数都比前一个数大3。这20个数连加，和是多少？7. 有一串数，第1个数是5，以后每个数比前一个数大5，最后一个数是90。这串数连加，和是多少？8. 一堆圆木共15层，第1层有8根，下面每层比上层多1根。这堆圆共多少根？9. 省工人体育馆的12区共有20排座位，呈梯形。第1排有10个座位，第2排有11个座位，第3排有12个座位，这个体育馆的12区共有多少个座位？10. 有一个挂钟，一个点钟敲2下，三点钟敲3下十二点敲12下，每逢分种指向6时敲1下。问这个挂种一昼夜共敲多少下？第2讲 找简单数列的规律在日常生活中，我们经常会碰到一定排列的数，比如：一列自然数：1，2，3，4，5，6，7，8，年份：1980，1981，1982，1983，1984，1985，1986，某工厂全年产量（按月份排）：400，450，500，450，50 0，550，像上面的这些例子，都是按某种法则排列的一列数，这样的一列数就叫做数列。数列里的每一个数都叫做这个数列的项。其中第1个数叫做数列的第1项，第2个数叫做数列的第2项，第n个数列叫做数列的 第n个数叫做数列的第n项。比如在年份数列中，第4项是1983，第7项就是1986。研究数列的目的是为了发现数列中的数排列的规律并依据这个规律来解决问题。例题与方法例1 找出下面数列的规律，并根据规律在括号里填出适当的数。（1） 3，6，9，12，（ ），18，21（2） 28，26，24，22，（ ），18，16（3） 60，63，68，75，（ ），（ ）（4） 180，155，131，108，（ ），（ ）（5） 196，148，108，76，52，（ ）（6） 6，1，8，3，10，5，12，7，（ ），（ ）（7） 0，1，1，2，3，5，8，（ ） ，（ ）（8） 10，98，15，94，20，90，（），（）例2在下面数列中填出合适的数。（1）1，3，9，27，（ ），243（2）1，2，6，24，120，（ ），5040（3）1，1，3，7，13，（ ），31（4）0，3，8，15，24，（ ），48，63 例3 在下面数列的每一项由3个数组成的数组成的数表示，它们依次是：（1，5，9），（2，10，18），（3，15，27），。问第50个数组内三个数的和是多少？例4 先找规律，再填数。19+2=11129+3=1111239+4=111112349+5=（ ）123459+6=（ ）1234569+7=（ ）12345679+8=（ ）第3讲 数图形晚饭过后，妈妈给小明出了一道“试眼力”的题目：数数窗户上一共有几个正方形。小明看，立刻回答：“窗户上有6个正方形。”妈妈笑了，爷爷在一旁也笑了，小明给弄了个“丈二和尚摸不着头脑”。小朋友，你知道小明的爷爷妈妈为什么笑吗？小明数昨难道不对吗？如果不对，那么窗户上窨有几个正方形呢？下面我们就一起来研究数图形的问题。例题与方法例1 下图中有多少条线段？ABCDEODCBA例2 下面图形中有几个角？ABEDC例3 下图中共有多少个三角形？例4 右图中有多少个正方形？ABABCDABCABDDBC例5 数一数图中共有多少个三角形？练习与思考1下图中各有多少条线段？ABCDEF（1）ABCDEFFGHI（2）ABCEFD（3）2下图中有多少个角？EFDABCO 3下图中各有多少个三角形？ (1) (2) （3） （4）4下图中各有多少个长方形？ (1) (2) (3)5下图中有多少个正方形？第4讲 分类枚举小芳为了给灾区儿童捐款，把储蓄罐里的钱全拿了出来。她想数数有多少钱。小朋友，你知道小芳是怎么数的吗？小芳是个聪明的孩子，她把钱按1分、2分、5分、1角、2角、5角、1元等分类去数。所以很快就好了。 小芳数钱，用的就是分类枚举的方法。这是一种很重要的思考方法，在很多问题的思考过程中都发挥了很大的作用。下面就让我们一起来看看它的本领吧！例题与方法例1右图中有多少个三角形？例2右图中有多少个正方形？ 例3在算盘上，用两粒珠子可以表示几个不同的三位数？分别是哪几个数？例4用数字1，2，3可以组成多少个不同的三位数？分别是哪几个数？例5 往返于南京和上海之间的泸宁高速列车沿途要停靠常州、无锡、苏州三站。问：铁路部门要为这趟车准备多少种车票？例6小明有面值为3角、5角的邮票各两枚。他用灾些邮票能付多少种不同的邮资（寄信时，所需邮票的钱数）？练习与思考1 下图中有多少个三角形？（1） （2）2 右图中有多少个长方形？ 3 用0，1，2，3可组成多少个不同的三位数？4 从北京到南京的特快列车，中途要停靠9个站。在几种不同标价的车票？5 用3张10元和2张50元一共可以组成多少咱币值（组成的钱数）？6 中、日、韩进行四国足球赛。每两队踢一场。按积分排名次，一共踢多少场？7 丽丽有红、蓝、黑帽子各一顶，红蓝、黑围巾各一条。冬天，丽丽每天戴一顶帽子、围一条围巾，有几种不同的搭配方式？第5讲 最短路线在日常生活中、工作中，经常会遇到有关行程路线的问题。比如：邮递员送信，要穿遍所有的街道，为了少走冤枉路，需要选择一条最短的路线；旅行者希望寻求最佳旅行路线，以求能够最近和路而达到目的地，等等。这样的问题，就是所谓“最短路线问题”。例题与方法例1.假如直线AB是一条公路，公路两侧有甲、乙两个村子（图1）。现在要在公路上修建一个公共汽车站，让这两个村子的人到汽车站的路线之和最短。问“车站应该建在什么地方？ 1 2 4 2 1 3例2.一个邮递员投送信件的街道如图3所示，图上数字表示各段街道的千米数。他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局。问下次什么样的路线最合理？全程要走多少千米？例3.图5中的线段表示的是小明从家到学校所能经过的所有街道。小明上学走路的方向都是向东或向南，因为他不想偏离学校的方向而走冤枉路。那么小明从家到学校可以有我少条不同的路线？ 小明家 北 学校例4.如图8，从甲地到乙地最近的道路有几条？ 甲 乙例5.某城市的街道非常整齐，如图10所示。从本南角A处到东北角B处要求走最近的路，并且不能通过十字路口C（正在修路），共有多少种不同的走法？ B A练习与思考A B 1 图14是一个街道平面图。王宏要从A处到B处，在不走回头路，不走重复路的条件下，可以有多少种不同的路线？请你用交叉点上标数的方法计算一下。2 从学校到少年宫有4条东西向的马路和3条南北向的马路相通。如图15，李楠从学校出发，步行到少年宫（只放向东或向南行进），最多有多少种不同的行走路线？学校 A B 北 C M D N E 少年宫-FGHP Q3 如图16，从P到Q共有多少咱不同的最短路线？4 如图17所示，某城市的街道图，若从AZ走到B（只能由北向南、由西向东），则共有多少种不同的走法？ A B5 如图18所示，从甲地到乙地，最近的道路有几条？ 乙甲B A C6 图19为某城市的街道示意图，C处正在挖下水道，不能通车，众A到B处的最短路线共有多少条？A B7 如图20所示是一个街道的平面图，在不走回头路、不走重复路和条件下，可以有多少种不同的走法？第6讲 上楼梯与植树小明的家住在4楼，每上1层楼要1分钟。他从1楼到4楼要用几分钟？如果你的答案是4分钟就错了，正确答案应该是3分钟，为什么呢？这就是下面要讲的上楼梯与植树问题。例题与方法例1 把1根木头锯断，要2分钟。把这根木头锯成4段，要几分钟？例2 某人到一座高层楼的8楼去办事，不巧停电，电梯停开。他从1楼走到4楼用了48秒。用同样的速度走到8楼，还要多少长时间？例3 时钟4点钟敲4下，用12秒敲完。那么6点钟敲6下，几秒钟敲完？例4 同学们上体育课，有10个男生排成一排，相邻两个男生相隔1米。问这排男生排列的长度有多少米？例5 有一条路长100米。在路的一侧从头到尾每隔10米栽一棵树。共栽多少棵树？例6 一个圆形的花坛，周长是180米。每隔6米种芍药花，每相邻两棵芍药花之间种两棵月季花。可以栽多少棵芍药花？多少棵月季花？练习与思考1 一根木料锯成3段要6分钟。如果每次锯的时间相同，那么锯7段要多少分钟？2 一幢楼房17层高，相邻两层有17级台阶。某人从1层到17层，要走多少级台阶？3 某人到高层建筑的10楼去办事，从1层到5层用了100秒。如果用同样的速度到10层，还需要多少秒？4 甲、乙两人比赛爬楼梯，甲跑到4层楼时，乙跑到3层楼。照这样的速度，甲跑到16层楼时，乙跑到多少层楼？5 一条公路长500米，在路的两边每隔20米栽1棵树，起点和终点是站牌，不用栽树。一共栽多少棵树？6 汽车站每隔10分钟开出一辆汽车，1小时开出多少辆汽车？7 一个圆形池塘，它的周长是150米，每隔3米栽1棵树。一共栽多少棵树？第7讲 简单的倍数问题倍数问题是指已知一个数或几个数和的和（差）及相互之间的倍数关系，求其中一个数或者几个数的问题。它包括求1倍数或几倍数问题、和倍差、差倍问题等。现在我们就来学习这三类比较简单的倍数问题。例题与方法一、求1倍数或几倍数例1 果园有苹果1200棵，梨树的棵树比苹果树的2倍多80棵。梨树有多少棵？例2 果园有梨树2480棵，梨树的棵数比苹果树的2倍多80棵。苹果树有多少棵？二、和倍问题例3学校图书馆有科技书和文艺书共2400本，文艺书的本数是科技书的4倍。两种书各有多少本？三、差倍问题例4某养鸡专业户养的母鸡比公鸡多246只，养的母鸡是公鸡的4倍。养的公鸡和母鸡各多少只？练习与思考1 园林小学二年级有学生200人，三年级的人数比二年级的2掊少18人。两个年级共有学生多少人？2 一个长方形的长是宽的2倍少2分米。已知长是18分米，长方形的周长是多少？3 甲、乙两数的和是306，甲数是乙数的2倍。甲、乙两数各是多少？4 少先队员种杨树和柳树共248棵，其中杨树的棵树是柳树的3倍。种杨树、柳树各多少棵？种杨树比柳树多多少棵？5 长江路小学开展兴趣小组活动，其中合唱队的人数是舞蹈队的4倍，合唱队比舞蹈队多72人。合唱队、舞蹈队各多少人？6 甲厂六月份生产的化肥是乙厂的3倍，比乙厂多生产化肥428吨。甲、乙两厂六月份共生产化肥多少吨？7 今年，爸爸的年龄是小强的6倍，爸爸比小强大25岁。今年爸爸和小强各多少岁？第8讲 年龄问题年龄问题是日常生活中一种常见的问题。例如：已知两个人或若干个人的年龄，求他们年龄之间的某种数量关系等等。要正确分析解答这类问题，首先要明白：两个不同年龄的人，年龄之差始终不变。所以我们要抓住“年龄差不变”这个特点，运用“和差”、“差倍”等知识来分析解答有关年龄问题。例题与方法例1 爸爸、妈妈今年的年龄和是82岁。5年后，爸爸比妈妈大6岁。今年爸爸、妈妈各多少岁？例2 小红今年7岁，妈妈今年35岁。小红几岁时，妈妈的年龄正好是小红的3倍？例3 6年前，母亲的年龄是儿子的5倍。6年后母子年龄和是78岁。问：母亲今年多少岁？例4 小强今年13岁，小军今年9岁。当两人的年龄和是40岁时。两人各是多少岁？例5 甲、乙两人的年龄和正好是100岁。当甲发像乙现在这样大时，乙的年龄正好是甲年龄的一半。甲、乙两人今年各多少岁？练习与思考1 明明今年3岁，妈妈今年27岁。明明几岁时，妈妈的年龄正好是明明的5倍？2 强强今年11岁，军军今年7岁。当两人的年龄的是38岁是，两人各是多少岁？3 婷婷今年12岁，妮妮今年15岁。当两人的年龄和是47岁时，两人各是多少岁？4 父子两人今年的年龄和是40岁。儿子年龄的5倍比父亲的年龄大2岁。父子两人3年后各是多少岁？5 爷爷今年72岁，孙子今年12岁。几年后爷爷的年龄是孙子的5倍？几年前爷爷的年龄是孙子是的13倍？6 小勇5年前的年龄等于小辉7年后的年龄，小勇4年后的年龄与小辉3年前的年龄和是35岁。小勇、小辉今年各多少岁？7 一家三口，母亲比父亲小两岁，父亲比儿子大27岁，5年后全家的年龄的是82岁。现在每个人的年龄分别是多少岁？8 当师傅的年龄与徒弟今年的年龄相等时，徒弟的年龄为10岁。当徒弟的年龄与师傅今年的年龄相等时，师傅已经37岁。今年师傅两人各多少岁？第9讲 鸡兔同笼问题“鸡兔同笼，共有45个头，146只脚。笼中鸡兔各有多少只？”这就是著名的“鸡兔同笼问题”。鸡免同笼问题的特点是：题目中有两个或两个以上未知数，求出各未知数的单量。解题时，首先要根据题目中所给出的两个未知数的关系，用一个未知数代替另一个未知数，从而将两个未知数转换成一个未知数，从而解出答案。例题与方法例1 鸡兔同笼，共有45个头，146只脚，笼中鸡兔各有多少只？例2 一个集邮爱好者买了10分和20分的邮票共100张，总值18元8角。这个集邮爱好者买这两种邮票各多少张？例3 学校买来3个排球和2个足球，共花去111元。每个足球比每个排球贵3元。每个排球的每个足球各多少元？例4 买2支钢笔的价钱等于买8支圆珠笔的价钱。如果买3支钢笔的5支圆珠笔共花了17元，问两种笑每支各多少元？练习与思考1 一个饲养组养鸡、兔 共80只，共有脚220只。那么，饲养组养鸡和兔各多少只？2 鸡兔共100只，鸡的脚比兔的脚一共少70只。问鸡、兔各有多少只？3 用6元钱买2角的邮票和5角的邮票共18张。问这两种邮票各多少张？4 王师傅到家具厂买了桌子和椅子共19件。每张桌子35元，每把椅子20元，共付款440元。买桌子的椅子各多少件？5 100个和尚吃100个馒头。大和尚每人吃4个，小和尚每4人吃一个。问：大和尚与小和尚各有多少人？6 操场上停放39辆车，有三轮车和自行车，两种车轮子的总和为96个。问三轮；车和自行车各多少辆？7 数学竞赛题共20道。每做对一道题得8分，做错一道题倒扣4分。小丽得了100分。问：她做对了几道题？第10讲 盈亏问题“老猴子给小猴子分梨。每只小猴子分6个梨，就多出12个梨；每只小猴子分7个梨，就少11个梨。有几只小猴子和多少个梨？”这道应用题是已知两种分配的方法，一次分配有余，一次分配不足，求参加分配的数量及被分配的总量。这样的应用题，通常叫做盈亏问题（有余时称盈，不足时称亏）。解盈亏问题，常常采用比较的方法。例题与方法例1 老猴子给小猴子分梨。每只小猴子分6个梨，就多出12个梨；每只小猴子分7个梨，就少11个梨。用几只小猴子和多少个梨？例2 丽丽阿姨给幼儿园小朋友分苹果。如果每人分3个，多16个；如果每人分5个，那么就差4个。有多少小朋友？有多少个苹果？例3 北京东路小学学生乘汽车到中山陵去春游。如果每车坐65人，则有15人不乘车。如果每车多坐5人，恰好多余了一辆车。一共有几辆汽车？有多少学生？例4 小明的爷爷买回一筐梨，分给全家人。如果小明和小妹每人分4个梨，其余每人分2个梨，还多出4个梨。如果小明1人分6个梨，其余每人分4个梨，又差12个梨。小明家有多少人？这筐梨子有多少个？练习与思考1 若干个同学去划船。他们租了一些船，如果每船坐4人，则多5人。如果每船坐5人，则船上有4个空位。有多少个同学？多少条船？2 把一袋糖分给小朋友们。如果每人分10粒糖，正好分完。如果每人分16粒糖，就有3个小朋友分不到糖。这袋糖共有多少粒？3 少先队员去植树。如果每人各挖5个树坑，还有3个树坑没人挖。如果其中2人各挖4个树坑，其余的人各挖6个树坑，就恰好挖全部的树坑。少先队员一共挖了多少个树坑？4 奥林匹克学校招收了一批新生。若编成每班55人的班级，还要招收30人。若编成每班50人的班级，还需招收10名新生。这次共招收了多少新生？5 用一根长绳测量进的深度。如果绳子两折时，多5米。如果绳子三折时，差4米。求绳子长度的进深。（提示：绳子两折多5米，表示绳子长度是进深的2倍多10米。）6 用一根绳子绕树三圈，余三米。如果绕树4圈，则差4米。树周长有几米？绳长几米？7 全班同学去划船。如果减少一条船，每条船正好坐9人。如果啬一条船，每条船正好坐6人。全班共有多少人？8 一个学生从家到学校上课。他先用每分钟80米的速度走了3分钟，照这样的速度，则要迟到3分钟。如果改为每分钟走110米，结果提前3分钟到达，这个学生的家离学校有多远？9 把一笔奖金分发给获奖学生。若每人分11元，差8元。若每人分16元，差8元。求学生人数与奖金总数。第11讲 还原问题还原问题是指题目给出的是一个数经过某些变化后的结果，要求原来的数的问题，解答这一类问题时，要根据题意，从所给的结果出发，抓拄逆运算关系，由后向前一步步逆推（倒推法、还原法），做相反的运算，逐步靠拢已知条件，直到问题得到解决。在解答还原问题时，如果列综合算式，要注意括号的正确使用。例题与方法例1 三（1）班小图书箱第1天借出了存书的一半，第2天又借出43本，还剩32本。小图书箱原有图书多少本？例2 某数加上5，乘以5，减去5，除以5，其结果等于5。求这个数。例3 小明在做一道加法式题时，由于粗心，将这个位上的5看作9，把十位上的8看作3，结果所得的和是123。正确的答案应是多少？例4 仓库里有一批大米。第1天售出的重量比总数的一半少12吨。第2天售出的生量比剩下的一半少12吨，结果还剩下19吨。这个仓库原有大米多少吨？练习与思考1 某数加上3，乘以5，再减去8，等于12。求某数。2 一根铁管，第1次截去2米，第2次截去剩下了一半，还剩下5米。这根铁管原来有长是多少米？3 三（1）班学生进行大扫除。一半学生去支援一年级，剩余下的一半去扫清洁区，最后还有10人留下扫教室。三（1）班共有多少人？4 在做一道加法计算题时，把个位上的4看作7，十位上的8看作2，结果和是306。正确的答案应该是多少？5 王叔叔去商店买东西，他先用去所带钱财一半多4凶，又用去所余钱的一半少4元，这时还剩14元。王叔叔带了多少钱？6 操场上放了一些花盆，第1次搬走了全部的一半多8盆，第2次搬走了余下的一半少4盆，将剩下的放成6排，每排恰好放2盆。原来有多少花盆？7 有一捆线，第1次用去全长的一半多3米，第2次用去余下的一半少5米，还剩下17米。这捆线原来有多少米？8 小丽到商店去买文具。买文具盒用去了所带钱的一半，买圆珠笔用了2元钱，买钢笔用了剩余钱的一半，这时还剩下5元钱。小丽一共带了多少钱？第12讲 周长的计算 同学们都知道长方形的周长=（长+宽）2。如果用C表示长方形的周长，a表示长方形的长，b表示长方形的宽，则求长方形周长公式可以写成C=(a+b)2。正方形的周长=边长4。用C表示正方形的周长，用a表示正方形的边长，求正方形的周长公式可以写成C=a4。对于一些基本图形，我们可以直接用公式求出它们的周长。那么，臬运用长方形和正方形的周长计算公式，巧妙地求一些复杂图形的周长呢？这一讲就研究这个问题。例题与方法 例1 用3个周长为13厘米的正方形拼成一个长方形（见图1）。求所拼成的长方形的周长。例2 把一块正方形菜地平均分成9个小正方形地（见图2）。已知中间小正方形地的周长是4米，求大正方形的菜地的周长。 例3 图3是一个楼梯的侧剖面图。已知每步台阶宽3分米，高2分米。问这个楼梯侧面的周长是多少米？例4 在一个长为a、宽为b的长方形中，剪去一个边长为c的正方形，其中c的长度小于b的长度。求剪去后剩下的图形的周长。例5 图6是一幢楼房的平面图。求这座楼房平面的周长。 例6 图8是由11个同样大小的正方形组成的汉字“山”。已知每个正方形的边长为2厘米。这个汉字的周长是多少厘米？练习与思考1 有一块小麦地，形状见图10。请根据所给条件求出这块地的周长。2 图11是一个“十”字形图案。“十”字形图案的横与竖都长4分米。求十“字形图案的周长。3 图12是由三个长方形组成的。求这个组合图形的周长。 12厘米 24厘米 48厘米 160米 20米 60米 100米 120厘米4 图13是宇花小学的平面图。王老师每天早晨绕学校跑3圈，王老师每天跑多少米？5 四个周长为17厘米的长方形拼成一个大正方形，如图14所示。求大长方形的周长。6 图15（a）（b）是两块木模的平面图。（a）的上部是边长为2分米的正方形，下部是长10分米、宽4分米的长方形。（b）凹下的部分是边长为2分米的正方形，外部是长10分米、宽4分米的长方形。 (a) (b)（1） 这两块木模图的周长共是多少分米？（2） 把这两块木模图拼成一个长方形，问拼得的长方形的周长是多少分米？ 45厘米 30厘米 7 图16是一个零件的平面图，图中每一条最短线段均长5厘米，零件长45厘米，高30厘米。这个零件的周长是多少厘米？第13讲 等量代换小朋友们一定都知道曹冲（曹操的小儿子）称大象的故事吧。曹冲用一条船，让大象先上船，看船被河水水面淹没到什么位置，然后刻上记号。把大象赶上岸，再把这条船装上石块，当船被水面淹没到记号的位置时，就可以判断：船上的石块共有多重，大象就有多重。为什么大象的重量可以换成一船石块的重量呢？因为两次船下沉后被水成所淹没的深度一样。只有大象与一船石头一样重（重量相等）时，船才会被淹没得一样深。“曹冲称象”不是瞎称的。而是运用了“等量代换”的思考方法；两个完全相等的量，可以互相代换。解数学题，经常会用到这种思考方法。例题与方法例1 =25=？ =？例2根据下图，求最大的球的克数。 例2 百货商店运来300双球鞋，分别装在2个木箱、6个纸箱里。如果2个纸箱同1个木箱的球鞋一样多，想一想；每个木箱和每个纸箱各装多少双球鞋？例4如右图，阴影部分是正方形，求出最大的长方形的周长。 A B E H C D E G5厘米 7厘米 例5 如右图，仪器架分三层。上层放1个大瓶和1个中瓶，中间放1个中瓶和4个小瓶，下层放6个小瓶。已知每层放的药水量一样多的。已知这个仪器架上存放的药水共36升。大瓶和中瓶中存放的药水共有多少升？ 例6