北师大版选修21 2.5.3直线与平面的夹角 课件（36张）.pptx

5 3直线与平面的夹角 1 掌握直线与平面的夹角的概念 能够用向量法求直线与平面的夹角 2 细心体会求空间中角的转化思想 数形结合思想 熟练掌握平移 射影 投影 等方法 3 灵活运用向量方法与综合方法 从不同的角度解决立体几何中角的问题 1 直线与平面的夹角的概念 1 平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此平面的夹角 如图中的角 2 如果一条直线与一个平面平行或在平面内 我们规定这条直线与平面的夹角为0 3 如果一条直线与一个平面垂直 我们规定这条直线与平面的夹角是 4 直线与平面所成角 的范围是 做一做1 在三棱柱abc a1b1c1中 各棱长相等 侧棱垂直于底面 d是侧面bb1c1c的中心 则ad与平面bb1c1c所成角的大小是 a 30 b 45 c 60 d 90 2 直线与平面夹角的向量求法设平面 的法向量为n 直线l的方向向量为a 直线l与平面 所成的角为 3 夹角的计算常用方法 1 定义法 利用角的定义作出所求的角 构造三角形求解 步骤 一 作 二 证 三 求 2 向量法 根据题目条件建立合适的空间直角坐标系 写出有关点的坐标 把所求的角转化为向量的夹角 避免了作角 使过程变得简单 题型一 题型二 题型三 例1 如图所示 已知正方体abcd a1b1c1d1 求a1b与平面a1b1cd所成角的大小 分析 求a1b与平面a1b1cd所成角的大小 可以先确定斜线a1b在平面a1b1cd内的射影 再确定所求角 最后在三角形中求解 也可以求出平面a1b1cd的法向量 利用向量法求解 题型一 题型二 题型三 解 方法一 如图所示 连接bc1 交b1c于点o 连接a1o bc1 b1c a1b1 bc1 a1b1 b1c b1 bc1 平面a1b1cd a1b在平面a1b1cd内的射影为a1o oa1b就是a1b与平面a1b1cd所成的角 设正方体的棱长为1 题型一 题型二 题型三 方法二 如图所示 以d为坐标原点 直线da dc dd1分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 设正方体的棱长为1 则a1 1 0 1 c 0 1 0 题型一 题型二 题型三 反思几何法是由线面角的定义 找到直线a1b与平面a1b1cd所成的角 通过解三角形得出结果 此方法中 往往在斜线a1b上找一个特殊点 并确定该点在平面上的射影 从而确定斜线的射影 找出所求角 其关键是确定平面的垂线 并且要证明 这种方法的解题步骤可总结为 一作 二证 三求 向量法的关键是求平面的法向量 最后要注意求出的角与所求角的关系 不要弄错 题型一 题型二 题型三 变式训练1 如图所示 已知三棱锥p abc中 pa 平面abc ab ac pa ac ab n为ab上一点 ab 4an m s分别为pb bc的中点 求sn与平面cmn所成角的大小 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 例2 已知三棱柱abc a1b1c1的侧棱与底面边长都相等 a1在底面abc内的射影为 abc的中心 1 求异面直线aa1与bc的夹角 2 求ab1与底面abc所成角的正弦值 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 反思基向量法求空间角的基本思路 将空间角转化为两条直线的方向向量的夹角 或其补角 余角 再构造基向量并借助向量的运算求出角来 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 分析 根据空间几何体的结构建立空间直角坐标系后 根据直线的方向向量的数量积为0证明线线垂直 根据二面角公式得方程 求解线段比例 解决此类探索性问题 都是先假设存在 然后根据已知条件和结论逐步进行计算和推导 若推出矛盾 则不存在 这是解决探索性问题的常用方法 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 反思空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题 它无需进行复杂的作图 论证 推理 只需通过坐标运算进行判断 解题时 把要成立的结论当作条件 据此列方程或方程组 把 是否存在 问题转化为 点的坐标是否有解 是否有规定范围内的解 等 所以使问题的解决更简单 有效 应善于运用这一方法解题 题型一 题型二 题型三 变式训练3 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 e是棱dd1的中点 1 求直线be和平面abb1a1夹角的正弦值 2 在棱c1d1上是否存在一点f 使b1f 平面a1be 证明你的结论 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 12345 12345 2 若直线l的方向向量与平面 的法向量的夹角等于120 则直线l与平面 所成的角等于 a 120 b 60 c 30 d 以上均错解析 l的方向向量与平面 的法向量的夹角为120 它们所在直线的夹角为60 则直线l与平面 所成的角为90 60 30 答案 c 12345 3 已知在长方体abcd a1b1c1d1中 ab bc 4 cc1 2 则直线bc1和平面dbb1d1所成角的正弦值为 答案 c 12345 4 若直线l的方向向量a 2 3 1 平面 的一个法向量n 4 0 1 则直线l与平面 所成角的正弦值等于 12345 5 棱长为1的正方体abcd a