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角角角动动动量量量和和和角角角动动动量量量守守守恒恒恒 第第第五五五章章章 目录 1角角角动量 力矩 质点的角动量定理 2质点组的角动量定理 3刚体力学初步 S1 角动量 力矩 质点的角动量定理 1 1 质质质点点点的的的角角角动动动量量量矢矢矢量量量 定义 定定定义义义质质质点点点相相相对对对于于于某某某一一一指指指定定定点点点的的的位位位置置置矢矢矢量量量与与与质质质点点点的的的动动动量量量矢矢矢 量量量的的的矢矢矢量量量积积积为为为质质质点点点对对对该该该指指指定定定点点点的的的角角角动动动量量量 也也也称称称动动动量量量矩矩矩 J r m v 角动量是状态量 国际单位 SI Kg m2 s 角动量的计算 I 大小J rmvsin 方向 右手法则 S1 角动量 力矩 质点的角动量定理 角动量的计算 II 用行列式计算 J i j k xyz mvxmvymvx 角动量的计算 III 直接求矢量积 J x i y j z k mvx i mvy j mvz k i j k j k i k i j S1 角动量 力矩 质点的角动量定理 1 2 力力力对对对定定定点点点的的的力力力矩矩矩矢矢矢量量量 定义 定定定义义义力力力对对对某某某指指指定定定点点点的的的力力力矩矩矩等等等于于于力力力的的的作作作用用用点点点相相相对对对于于于该该该点点点的的的 位位位矢矢矢与与与力力力的的的矢矢矢量量量积积积 M r F 国际单位 SI N m 力矩的计算 I 分别计算大小与方向 II 行列式 III 直接求矢量积 S1 角动量 力矩 质点的角动量定理 1 3 质质质点点点的的的角角角动动动量量量 动动动量量量矩矩矩 定定定理理理 质点的角动量 动量矩 定理 作作作用用用在在在质质质点点点上上上所所所有有有力力力的的的总总总力力力矩矩矩等等等于于于质质质点点点的的的角角角动动动量量量对对对时时时间间间 的的的一一一次次次导导导数数数 M d J dt 角动量定理只在惯性系中成立 角动量定理与牛顿定律的相似性 在求力矩与角动量时 参考点不能变化 S1 角动量 力矩 质点的角动量定理 1 4 质质质点点点的的的角角角动动动量量量守守守恒恒恒定定定律律律 质点的角动量守恒定律 作作作用用用在在在质质质点点点上上上所所所有有有力力力的的的总总总力力力矩矩矩恒恒恒为为为零零零 质质质点点点的的的角角角动动动量量量守守守 恒恒恒 M 0 J守守守恒恒恒 角动量守恒的普适性 角动量守恒不但指大小不变 而且方向也不能改变 角动量守恒的条件 例例例1 已已已知知知质质质点点点运运运动动动方方方程程程为为为 r t Acos t i Bsin t j A B 为为为常常常数数数 求求求质质质点点点对对对原原原点点点的的的角角角动动动量量量及及及合合合力力力对对对原原原 点点点的的的力力力矩矩矩 解解解 速速速度度度和和和加加加速速速度度度 v t d r dt A sin t i B cos t j a t d v dt A 2cos t i B 2sin t j 角角角动动动量量量 J r m v m Acos t i Bsin t j A sin t i B cos t j mAB k 同同同理理理可可可求求求得得得 M r F m r a 0 例例例2 证证证明明明行行行星星星的的的绕绕绕日日日运运运动动动 1 为为为平平平面面面运运运动动动 2 单单单位位位 时时时间间间内内内相相相对对对于于于太太太阳阳阳扫扫扫过过过的的的面面面积积积为为为常常常数数数 解解解 由由由角角角动动动量量量守守守恒恒恒 得得得 J m r v 不不不变变变矢矢矢量量量 用用用 r 点点点乘乘乘左左左右右右两两两边边边 得得得 r J 0 这这这是是是一一一个个个以以以 J 为为为法法法线线线的的的平平平面面面方方方程程程 即即即行行行星星星必必必然然然在在在过过过 太太太阳阳阳且且且与与与 J 垂垂垂直直直的的的平平平面面面上上上运运运动动动 mrvsin J r v mrvsin dt Jdt mrdssin Jdt 2mdS Jdt dS dt J 2m 于于于是是是证证证明明明了了了 在在在太太太阳阳阳万万万有有有引引引力力力作作作用用用下下下 行行行星星星的的的角角角动动动量量量 守守守恒恒恒 导导导致致致单单单位位位时时时间间间相相相对对对于于于太太太阳阳阳扫扫扫过过过的的的面面面积积积为为为常常常数数数 例例例3 光光光滑滑滑水水水平平平桌桌桌面面面上上上有有有一一一质质质量量量为为为 m 的的的小小小球球球 用用用一一一轻轻轻绳绳绳 通通通过过过桌桌桌面面面上上上的的的小小小孔孔孔拉拉拉住住住 开开开始始始时时时小小小球球球以以以半半半径径径 a 角角角速速速 度度度 作作作匀匀匀速速速圆圆圆周周周运运运动动动 现现现缓缓缓慢慢慢拉拉拉动动动到到到半半半径径径为为为 a 2 求求求 拉拉拉力力力作作作的的的功功功 解解解 整整整个个个过过过程程程 角角角动动动量量量守守守恒恒恒 rmvsin r mv sin 化化化简简简得得得 ma2 a 2 mv 然然然后后后由由由动动动能能能定定定理理理 求求求得得得拉拉拉力力力的的的功功功 W 1 2 mv 2 1 2 mv2 例例例4 光光光滑滑滑水水水平平平桌桌桌面面面上上上有有有一一一轻轻轻弹弹弹簧簧簧 倔倔倔强强强系系系数数数为为为 k 一一一 端端端固固固定定定 另另另一一一端端端系系系一一一质质质量量量为为为 m 的的的小小小球球球 系系系统统统开开开始始始静静静 止止止 现现现给给给小小小球球球一一一垂垂垂直直直于于于弹弹弹簧簧簧的的的水水水平平平初初初速速速 u 若若若发发发现现现弹弹弹 簧簧簧的的的最最最大大大伸伸伸长长长为为为 a 求求求弹弹弹簧簧簧原原原长长长 解解解 机机机械械械能能能守守守恒恒恒 1 2 mu2 1 2 mv2 1 2 ka2 角角角动动动量量量守守守恒恒恒 mlu m l a vsin 在在在弹弹弹簧簧簧最最最大大大伸伸伸长长长时时时 必必必有有有 90 联联联立立立 解解解得得得结结结果果果 略略略 例例例5 长长长为为为 l 质质质量量量为为为 m 的的的单单单摆摆摆 初初初始始始时时时与与与竖竖竖直直直线线线的的的夹夹夹 角角角为为为 现现现给给给它它它一一一垂垂垂直直直于于于单单单摆摆摆所所所在在在的的的竖竖竖直直直平平平面面面的的的初初初速速速 u 要要要使使使单单单摆摆摆刚刚刚好好好能能能摆摆摆动动动到到到的的的最最最高高高点点点为为为摆摆摆水水水平平平位位位置置置 求求求 初初初速速速 u 为为为多多多大大大 解解解 只只只有有有重重重力力力作作作功功功 机机机械械械能能能守守守恒恒恒 1 2 mu2 mgl cos 1 2 mv2 作作作用用用在在在单单单摆摆摆上上上的的的总总总力力力矩矩矩始始始终终终垂垂垂直直直于于于竖竖竖直直直线线线 所所所以以以在在在 竖竖竖直直直方方方向向向上上上没没没有有有力力力矩矩矩 可可可以以以用用用竖竖竖直直直的的的角角角动动动量量量分分分量量量守守守 恒恒恒 lmusin lmv 联联联立立立求求求得得得结结结果果果 例例例6 研研研究究究行行行星星星绕绕绕日日日运运运动动动的的的轨轨轨迹迹迹 x y r vr v rmv J 常数 1 2 m v2 r v2 GmM r E 常数 dr dt dr d d dt vr dr dt v rd dt dr d mr2 J 2E m 2GM r J2 m2r2 r J2 m2M2G2 1 1 2J2E m3M4G4cos 0 S2 质点组的角动量定理 2 1 质质质点点点组组组的的的角角角动动动量量量 定义 质质质点点点组组组总总总角角角动动动量量量为为为其其其中中中每每每个个个质质质点点点的的的角角角动动动量量量的的的矢矢矢量量量和和和 J ri mi vi 2 2 内内内力力力的的的总总总力力力矩矩矩为为为零零零 2 3 质质质点点点组组组的的的角角角动动动量量量定定定理理理 质点组的角动量定理 作作作用用用在在在质质质点点点组组组上上上所所所有有有外外外力力力的的的总总总力力力矩矩矩等等等于于于质质质点点点组组组总总总角角角动动动量量量 的的的变变变化化化率率率 M外 外外力力力 d J总 总总 dt S2 质点组的角动量定理 2 4 质质质点点点组组组的的的角角角动动动量量量守守守恒恒恒定定定律律律 质点组的角动量守恒定律 作作作 用用用 在在在 质质质 点点点 组组组 上上上 的的的 所所所 有有有 外外外 力力力 的的的 总总总 力力力 矩矩矩 始始始 终终终 为为为 零零零 质质质 点点点 组组组 的的的 角角角 动动动 量量量 守守守 恒恒恒 S2 质点组的角动量定理 总结 内力的总冲量为零 内力的总力矩为零 内力的总功一般不为零 软绳 子弹 球系统水平动量守恒 子弹 球系统角动量守恒 杆 子弹 球系统水平动量不守恒 子弹 球 杆系统角动量守恒 S3 刚体力学初步 F 转动 1 定轴转动 刚体运动时 只有一条直线上的点是静止的 所有的点都围绕该直线作圆周运动 且圆心就 在线上 称为定轴转动 2 定点转动 刚体运动时只有一点是静止的 称为定点转动 F 一般运动 刚体的一般运动可以看成平均动和转动的叠加 3 3 刚刚刚体体体动动动力力力学学学 F 平动 使用质心运动定理 F 定轴转动 本节的任务 S3 刚体力学初步 3 4 刚刚刚体体体的的的定定定轴轴轴转转转动动动 设刚体绕 z 作定轴转动 并取原点 O 为参考点 I 轴向力矩 O y z x r F F F r r z 轴 F r d M r F r r F F r F r F r F r F Mz r F Mz r F sin F d 方向 正负代表 S3 刚体力学初步 II 刚体的轴向角动量 Ji ri m vi ri ri m vi ri m vi ri m vi Jz ri m vi 可以改写成 Jz mri vi 方向 正负代表 S3 刚体力学初步 进一步改成用角速度表示 Jz mr2 i 方向 正负代表 定义 Iz mir2 i 称为刚体绕 z 轴的转动惯量 于是有 Jz Iz 方向 正负代表 S3 刚体力学初步 III 刚体定轴转动定理 作 用 在 刚 体 上 的 力 的 轴 向 力 矩 等 于 刚 体 的 轴 向 角 动 量 对 时 间 的 一 次 导 数 Mz dJz dt Mz d Iz dt 一般略去下标 写为 M d I dt 当转动惯量不变时 有 M Id dt S3 刚体力学初步 IV 刚体的角动量守恒 作 用 在 刚 体 上 的 力 在 轴 向 力 矩 恒 为 零 刚 体 的 轴 向 角 动 量 守 恒 Mz 0 Iz 守恒 V 刚体定轴转动的动能 Ek 1 2 I 2 VI 力矩的功 W 2 1 Md S3 刚体力学初步 VII 转动惯量的求法 F 离散系统 I mir2 i F 连续系统 I r2dm I 曲线 r2 dl I 面 r2 dS I 体积 r2 dV S3 刚体力学初步 F 两个有用的定理 1 总 的 转 动 惯 量 等 于 各 部 分 的 转 动 惯 量 之 和 I mir2 i 部分1 mir2 i 部分2 mir2 i I1 I2 2 平行轴定理 刚 体 绕 某 轴 的 转 动 惯 量 等 于 绕 平 行 于 该 轴 且 过 质 心 的 轴 的 转 动 惯 量 加 上 刚 体 的 质 量 与 两 轴 距 离 平 方 的 乘 积 I IC md2 例例例1 求求求均均均匀匀匀细细细杆杆杆 m l 绕绕绕通通通过过过一一一端端端且且且与与与之之之垂垂垂直直直轴轴轴的的的 转转转动动动惯惯惯量量量 dxx 解解解 在在在杆杆杆上上上取取取微微微元元元 x x dx dm m l dx 所所所以以以 I 杆杆杆 r2dm l 0 x2 m l dx 结结结论论论I 1 3 ml2 由平行轴定理 得匀质细杆绕中垂线转动的转动惯量为 I 1 12 ml2 例例例2 求求求均均均匀匀匀圆圆圆环环环 m R 绕绕绕轴轴轴线线线的的的转转转动动动惯惯惯量量量 解解解 如如如图图图 取取取微微微元元元 有有有 I 环环环 r2dm I 环环环 R2dm I R2 环环环 dm 结结结论论论I mR2 例例例3 求求求均均均匀匀匀圆圆圆盘盘盘 m R 绕绕绕轴轴轴线线线的的的转转转动动动惯惯惯量量量 x r 解解解 距距距圆圆圆心心心 r 处处处取取取微微微元元元 dS dm m R2 dS 于于于是是是得得得 I 圆圆圆 r2dm 圆圆圆 r2 m R2 dS R 0 2 0 r2 m R2 rdrd 结论 匀质圆盘绕轴线转动的转动惯量 I 1 2 mR2 适适适当当当选选选取取取微微微元元元形形形状状状 可可可以以以用用用一一一重重重积积积分分分求求求解解解 r 解解解法法法II 如如如图图图 取取取 r r dr 的的的圆圆圆环环环 dS 2 rdr dm m R2 dS 2m R2 rdr 于于于是是是得得得 I 圆圆圆 1 2 r2dm R 0 2m R2 r3dr 例例例4 求求求均均均匀匀匀球球球 m R 绕绕绕通通通过过过直直直径径径的的的转转转动动动惯惯惯量量量 x y z r 解解解 距距距球球球心心心 r 处处处取取取微微微元元元 dV dm m 4 R3 3 dV 于于于是是是得得得 I 球球球 rsin 2dm 球球球 rsin 23m 4 R3 dV R 0 0 2 0 3m 4 R3 r4sin3 drd d 结论 匀质圆盘绕轴线转动的转动惯量 I 2 5 mR2 例例例5 水水水平平平桌桌桌面面面上上上有有有一一一匀匀匀质质质圆圆圆盘盘盘 R m 绕绕绕轴轴轴线线线以以以初初初 速速速 转转转动动动 求求求经经经过过过多多多长长长时时时间间间静静静止止止 解解解 先先先求求求摩摩摩擦擦擦力力力矩矩矩 距距距圆圆圆心心心 r 处处处取取取微微微元元元 dS dM fr r gdm r g m 2 R dS 求求求得得得总总总的的的摩摩摩擦擦擦力力力矩矩矩 M 圆圆圆盘盘盘 dM 圆圆圆盘盘盘 mg r 2 R dS 2 3 mg R 再再再由由由刚刚刚体体体转转转动动动定定定理理理得得得 I d dt 2 3 mg R 积积积分分分 得得得 t 3R 4g 例例例6 如如如图图图 求求求二二二物物物体体体的的的加加加速速速度度度 将将将滑滑滑轮轮轮看看看成成成质质质量量量为为为 m 半半半径径径为为为 R匀匀匀质质质圆圆圆盘盘盘 且且且绳绳绳与与与滑滑滑轮轮轮无无无滑滑滑动动动 m1 m2 m1g T1 a m2g T2 a T1T2 解解解 解解解 m1的的的方方方程程程 竖竖竖直直直向向向上上上为为为 正正正 T1 m1g m1a m2的的的方方方程程程 T2 m2g m2a 滑滑滑轮轮轮方方方程程程 T1R T2R 1 2 mR2 运运运动动动之之之间间间的的的关关关系系系 a R a m1 m2 m1 m2 m 2 g 例例例7 如如如图图图 长长长为为为 l 质质质量量量为为为 m 的的的细细细直直直杆杆杆 悬悬悬于于于水水水平平平光光光滑滑滑 轴轴轴 O 一一一质质质量量量为为为 m 的的的小小小球球球以以以水水水平平平初初初速速速 u 垂垂垂直直直入入入射射射到到到杆杆杆 的的的最最最下下下端端端 设设设碰碰碰撞撞撞为为为完完完全全全弹弹弹性性性 求求求碰碰碰撞撞撞后后后小小小球球球速速速度度度和和和 杆杆杆能能能达达达到到到的的的最最最大大大角角角度度度 u v 解解解 碰碰碰撞撞撞过过过程程程 角角角动动动量量量守守守恒恒恒 lmu lmv 1 3 ml2 动动动能能能不不不变变变 1 2 mu2 1 2 mv2 1 2 1 3 ml2 2 杆杆杆摆摆摆动动动过过过程程程 机机机械械械能能能守守守恒恒恒 1 2 1 3 ml2 2 mg1 2 l 1 cos 例例例8 一一一均均均匀匀匀圆圆圆盘盘盘 R M 可可可绕绕绕竖竖竖直直直轴轴轴线线线无无无摩摩摩擦擦擦地地地转转转 动动动 盘盘盘边边边缘缘缘有有有一一一质质质量量量为为为 m 的的的人人人 系系系统统统开开开始始始静静静止止止 现现现人人人 沿沿沿边边边缘缘缘相相相对对对于于于盘盘盘走走走一一一圈圈圈 求求求盘盘盘转转转过过过的的的角角角度度度 解解解 盘盘盘与与与人人人必必必沿沿沿相相相反反反的的的方方方向向向转转转动动动 且且且角角角动动动量量量守守守恒恒恒 mR2 人 人人 1 2 MR2 盘 盘盘 两两两边边边同同同时时时对对对时时时间间间积积积分分分 mR2 人 人人dt 1 2 MR2 盘 盘盘dt 得得得 mR2 人 人人 1 2 MR2 盘 盘盘 又又又 人 人人 盘盘盘 2 例例例9 光光光滑滑滑水水水平平平面面面上上上有有有一一一长长长 a 质质质量量量为为为 m 的的的均均均匀匀匀细细细杆杆杆 系系系统统统开开开始始始时时时以以以 0绕绕绕通通通过过过杆杆杆的的的一一一端端端的的的竖竖竖直直直轴轴轴无无无摩摩摩擦擦擦转转转 动动动 其其其中中中点点点处处处有有有一一一质质质量量量为为为 m 的的的环环环用用用一一一不不不可可可伸伸伸长长长的的的轻轻轻 绳绳绳系系系于于于离离离转转转轴轴轴 l 2 处处处 由由由于于于某某某种种种原原原因因因 轻轻轻绳绳绳突突突然然然断断断开开开 求求求环环环滑滑滑到到到最最最边边边缘缘缘时时时的的的速速速率率率 解解解 角角角动动动量量量守守守恒恒恒 1 3 ml2 m l 2 2 0 1 3 ml2 lm v 机机机械械械能能能守守守恒恒恒 1 2 1 3 ml2 m l 2 2 2 0 1 2 1 3 ml2 2 1 2 m v2 v2 又又又因因因为为为 v l 求求求得得得 v v2 v2 例例例10 一一一半半半径径径为为为 R 的的的圆圆圆管管管 绕绕绕铅铅铅垂垂垂直直直径径径 AC 轴轴轴以以以角角角速速速度度度 无无无摩摩摩擦擦擦转转转动动动 转转转动动动惯惯惯量量量 I 管管管内内内最最最高高高点点点 A 处处处有有有一一一 m 的的的小小小球球球 由由由于于于某某某微微微小小小干干干扰扰扰 小小小球球球由由由静静静止止止开开开始始始自自自 A点点点下下下 落落落 求求求小小小球球球达达达到到到 B 和和和 C 点点点的的的速速速度度度大大大小小小 A B C C vB1 vB2 解解解 机机机械械械能能能守守守恒恒恒 原原原点点点为为为零零零势势势能能能 1 2 I 2 0 mgR 1 2 I 2 1 2 m v2 B1 v 2 B2 对对对轴轴轴的的的角角角动动动量量量守守守恒恒恒 I 0 I RmvB1 又又又因因因为为为 vB1 R 联联联立