大学物理课件 (2).pdf

例例3 3 计算无限大均匀带电平面的场强分布计算无限大均匀带电平面的场强分布 电荷密度为电荷密度为 E EE E 解解 S o S E dS 2E dS 无限大均匀带电平面两边场强无限大均匀带电平面两边场强 对称分布对称分布 由高斯定理求解由高斯定理求解 2 S E dS 侧底 0 侧 ES 底 2 o S ES o E 2 讨论讨论 均匀电场均匀电场 为负为负 场强方向垂直指向平面场强方向垂直指向平面 例例4 4 计算两无限大均匀带异号电荷平面的场强分布计算两无限大均匀带异号电荷平面的场强分布 解解 E EA A E EB B 平面之间平面之间 0 2 BA EE B BA A 平面之外平面之外 AB o EEE 内 0 AB EEE 外 5 5 6 6 静电场的环路定理静电场的环路定理电势能电势能 一一静电场力所作的功静电场力所作的功 b l d r rb q o 电场力对电场力对q q0 0作的元功为作的元功为 dlEql dEqdW oo cos drdr a q qo o r l d E ra 2 4r q E o dr r qq dl r qq dW o o o o 22 4 cos 4 电场力所做的总功电场力所做的总功 dr r qq o o 2 4 bao o r r o o rr qq dr r qq dWW b a 11 44 2 任意点电荷系的电场力所作的功任意点电荷系的电场力所作的功 b a q qo o r ld E r ra rb q o drdr dlEql dEqdW oo cos 任意点电荷系的电场力所作的功任意点电荷系的电场力所作的功 321 EEEE lll l dEql dEql dEqW 20100 结论结论 给定试验电荷在静电场中移动时给定试验电荷在静电场中移动时 电场力电场力 所作的功只与试验电荷及路径的起点和终点的位所作的功只与试验电荷及路径的起点和终点的位 置有关置有关 而与路径无关而与路径无关 二二 静电场的环路定理静电场的环路定理 A B C D E ABCCDAl l dEql dEql dEqW 000 ADCCDA l dEl dE 又又 ABCADC l dEql dEq 00 A 0 000 ADCABCl l dEql dEql dEqW 则则 0 l ldE 静电场的环路定理静电场的环路定理 静电场中电场强度静电场中电场强度的环流为零的环流为零 E 结论结论 静电场力是保守力静电场力是保守力 静电场是保守场静电场是保守场 三三电势能电势能 P E 静电场力对电荷所作功等于电荷电势能的改变量静电场力对电荷所作功等于电荷电势能的改变量 0PAPBPBPA AB AB EEEEl dEqW 令令B B点的电势能为零点的电势能为零 E EPB PB 0 0 则则A A点的电势能点的电势能 AB PA ldEqE 0 结论结论 试验电荷试验电荷q qo o在空间某处的电势能在空间某处的电势能 在数值在数值 上就等于将上就等于将q qo o从该处移至势能的零点电场力所作从该处移至势能的零点电场力所作 的功的功 5 5 7 7电势电势 一一 电势电势 pp 00 d AB AB EE El qq 0PAPBPBPA AB AB EEEEl dEqW E B AB A VlEV d 0 p q E V B B 点电势点电势B 0 p q E V A A 点电势点电势A 令令0 B V AB A lEV d A A ldEV 结论结论 电场中电场中A A点的电势点的电势 在数值上等于把单位正在数值上等于把单位正 令令0 B V AB A lEV d 则则A A点的电势点的电势 有限带电体以无穷远为电势零点有限带电体以无穷远为电势零点 实际问题中常实际问题中常 选择地球电势为零选择地球电势为零 结论结论 电场中电场中A A点的电势点的电势 在数值上等于把单位正在数值上等于把单位正 电荷从电荷从A A点移到无限远处电场力所作的功点移到无限远处电场力所作的功 二二电势差电势差 AB BAAB ldEVVU 结论结论 静电场中静电场中A BA B两点的电势差两点的电势差 等于将单位等于将单位 正电荷从正电荷从A A点移至点移至B B点电场力所作的功点电场力所作的功 BAAB AB AB VVqqUl dEqW 将电荷将电荷q从从A点移至点移至B点电场力所做功点电场力所做功 AB BAAB l dEVVU 电势差是绝对的电势差是绝对的 与电势零点的选择无关与电势零点的选择无关 注意注意 BAPAPBAB VVqEEW 电势差是绝对的电势差是绝对的 与电势零点的选择无关与电势零点的选择无关 电势大小是相对的电势大小是相对的 与电势零点的选择有关与电势零点的选择有关 静电场力的功静电场力的功 J10602 1eV1 19 单位单位 电势电势 伏特伏特 电势能电势能 焦耳焦耳 电势电势 标量标量 三三 电势叠加原理电势叠加原理 1 1 点电荷电场的电势点电荷电场的电势 r l dEV 2 2 点电荷系电场中某点的电势点电荷系电场中某点的电势 n EEEE 21 r q V 0 4 r q dr r q r o0 2 44 q r p A A ldEV A n ldEEE 21 A n AA l dEl dEl dE 21 电势叠加原理电势叠加原理 i i n i nA r q VVVV 1 0 21 4 1 点电荷系所激发的电场中某点的电势点电荷系所激发的电场中某点的电势 等于各等于各 点电荷点电荷单单独存在时在该点电势的代数和独存在时在该点电势的代数和 3 3 电荷连续分布的带电体电场中某点的电势电荷连续分布的带电体电场中某点的电势 r dq dV 0 4 r dq V 0 4 1 r dq p 四四 电势的计算电势的计算 p 计算电势的两种方法计算电势的两种方法 利用点电荷电势的叠加原理利用点电荷电势的叠加原理 r dq V 0 4 1 利用利用 B AB A Vl dEV B V 为参考点为参考点B B的电势的电势 例例1 1 均匀带电圆环均匀带电圆环 带电量为带电量为q q 半径为半径为R R 求轴线求轴线 上与环心上与环心O O相距为相距为x x处点处点P P的电势的电势 P x r x R O 解解 dl R q dldq 2 Rr qdl r dq dV oo 2 84 利用方法利用方法 求解求解 Rrr oo 84 Rr Rq dl Rr q dVV o L o 22 8 2 8 22 4 4 Rx q r q V o o 讨论讨论 X X X 0X 0 x q V 0 4 R q V 0 4 x R o r r dr r x P 例例2 2 利用上述结果利用上述结果 计算计算 均匀带电均匀带电Q Q圆盘轴线上任一圆盘轴线上任一 点的电势点的电势 取一半径为取一半径为r r 宽为宽为drdr的的 小圆环小圆环 rdrdq 2 2 R Q 解解 22 4Rx q V o 该圆环的电荷为该圆环的电荷为 RR rx rdr rx dq V 022 0 022 0 2 4 1 4 1 R rx rdr 022 0 2 当当x Rx R时时 x R xRx 2 2 22 x Q x R x R V 00 2 0 2 444 2 22 0 xRx 讨论讨论 相当一点电荷相当一点电荷 O R 例例3 3 半径为半径为R R的均匀带电球壳的均匀带电球壳 带电量为带电量为Q Q 试求试求 1 1 球壳外任意点电势球壳外任意点电势 2 2 球壳内任意点电势球壳内任意点电势 3 3 球壳上电势球壳上电势 4 4 球壳外两点间电势差球壳外两点间电势差 解解 利用方法利用方法 2 2 求解求解 均匀带电球壳内外场强均匀带电球壳内外场强 0 内 E 1 1 设设 0V P r e r Q E 2 0 4 外 P r 1 1 设设 0 V 2 0 4r drQ rdEV Pr P 2 2 2 0 4r drQ rdErdEV R PRR P 外内 2 0 4r drQ rdEV RR R 外 3 3 r r r Q 0 4 R Q 0 4 2 0 4r drQ R R Q 0 4 o r A rA B rB 4 4 B A BAAB rdEVVU 外 11 44 0 2 0BA r r rr Q r drQB A 讨论讨论 1 1 球壳外一点的电势球壳外一点的电势 相当于电荷集中于球心的相当于电荷集中于球心的 P P R P R Q 0 4 r Q 0 4 相当于电荷集中于球心的相当于电荷集中于球心的 点电荷的电势点电荷的电势 2 2 球壳内各点电势相等球壳内各点电势相等 都等于球壳表面的电势都等于球壳表面的电势 等势体等势体 o r R V r Q V 0 4 R Q V 0 4 r O r 例例4 4 半径为半径为R R的均匀带电球体的均匀带电球体 带电量为带电量为q q 求电势分求电势分 布布 解解 q R r r 利用方法利用方法 2 2 求解求解 由高斯定理求球体内由高斯定理求球体内 外场强外场强 i S qSdE 1 i o S q 3 4 34 1 4 3 3 2 1 r R q rE o 球内球内 3 1 4R qr E o 球外球外 2 2 4r q E o q R rR r o r C dr r q ldEV 2 2 4 r R R o R B dr r q l dEV 2 2 4 r q o 4 R q o 4 例例5 5 求两均匀带电同心球面的电势差求两均匀带电同心球面的电势差 设内球面半设内球面半 径径R RA A 带电带电 q q 外球面半径外球面半径R RB B 带电带电 q q 解解 o RA RB q q 内球面上电荷内球面上电荷 q q在内外球面上的电势在内外球面上的电势 A A R q V 0 4 B B R q V 0 4 外球面上电荷外球面上电荷 q q在内外球面上的电势在内外球面上的电势 q V q V B A R q V 0 4 B B R q V 0 4 内球面电势内球面电势 11 444 000BABA AAA RR q R q R q VVV 0 44 00 BB BBB R q R q VVV 外球面电势外球面电势 两球面电势差两球面电势差 11 4 0BA BAAB RR q VVU 例例6 6 求无限长均匀带电直线外任一点求无限长均匀带电直线外任一点P P的电势的电势 电荷线密度为电荷线密度为 P r r0 A 解解 r E o 2 因电荷分布在无限远处因电荷分布在无限远处 则不能选无限远处为电势零则不能选无限远处为电势零 点点 可选可选A A点为电势零点点为电势零点 dr r ldEV oo r r o r r P 2 ln ln 2 ln 2 0 rr r r o oo 5 5 8 8 电场强度和电势梯度电场强度和电势梯度 一一等势面等势面 等势面等势面 静电场中静电场中 电势相等的点所组成的曲面电势相等的点所组成的曲面 规定规定 相邻等势面之间相邻等势面之间 电势差相等电势差相等 等势面与电场线的关系等势面与电场线的关系 等势面和电场线密集处场强等势面和电场线密集处场强 量值大量值大 稀疏处场强量值小稀疏处场强量值小 等势面与电场线处处正交等势面与电场线处处正交 电场线指向电势降低的方向电场线指向电势降低的方向 两平行带电平板的电场线和等势面两平行带电平板的电场线和等势面 一对等量异号点电荷的电场线和等势面一对等量异号点电荷的电场线和等势面 二二 电场强度与电势梯度电场强度与电势梯度 VV V l A E B 将单位正电荷由将单位正电荷由A A点移到点移到 B B点点 电场力所做功为电场力所做功为 coslElEVVV BA l EE cos lEV l l EE cosl l V El dl dV l V l 0 lim dl dV El 结论结论 电场中某一点的场强沿任一方向的分量电场中某一点的场强沿任一方向的分量 等于这一点的电势沿该方向的单位长度的电等于这一点的电势沿该方向的单位长度的电 势变化率的负值势变化率的负值 VV V l A E B n e 0 t dl dV 即即E Et t 0 0 dVdV 等势面上各点的电势相等等势面上各点的电势相等 则有则有 等势面上任一点场强的切向分量为零等势面上任一点场强的切向分量为零 低电势低电势高电势高电势 dl dV El n n dl dV E n n e dl dV E 的方向由高电势指向低电势的方向由高电势指向低电势 方向相反 与 n e n dl dV 是电势空间变化率的最大值是电势空间变化率的最大值 负号表示场强负号表示场强 结论结论 电场中任一点电场强度电场中任一点电场强度 等于该点电势沿等势等于该点电势沿等势 面法线方向单位长度的变化率的负值面法线方向单位长度的变化率的负值 场强沿法向的分量场强沿法向的分量 n n zyx e dl dV k z V j y V i x V kEjEiEE k z V j y V i x V VVgrad 电势梯度矢量电势梯度矢量 n n e dl dV E x V Ex y V Ey z V Ez dl dV El VVgradE 即电场强度等于电势梯度的负值即电场强度等于电势梯度的负值 求求的三种方法的三种方法E 利用电场强度叠加原理利用电场强度叠加原理 利用高斯定理利用高斯定理 利用电势与电场强度的微分关系利用电势与电场强度的微分关系