概率论与数理统计课件习题课4-1.pdf

概率论与数理统计 主讲 秦茂玲 手机Email ml qin 一 重点与难点一 重点与难点 二 主要内容二 主要内容 三 典型例题三 典型例题 第四章 随机变量的数字特征 习 题 课 一 重点与难点 1 重点重点 数学期望的性质和计算数学期望的性质和计算 2 难点难点 数字特征的计算数字特征的计算 方差的性质和计算方差的性质和计算 相关系数的性质和计算相关系数的性质和计算 二 主要内容 数学期望数学期望 方方 差差 离 散 型 离 散 型 连 续 型 连 续 型 性性 质质 协 方 差 与 相 关 系 数 协 方 差 与 相 关 系 数 二 维 随 机 变 量 的 数 学 期 望 二 维 随 机 变 量 的 数 学 期 望 定定 义义 计计 算算 性性 质质 随机变量函数的随机变量函数的 数学期望数学期望 定定 义义 协方差协方差 的性质的性质 相关系数相关系数 定理定理 二 略二 略 三 典型例题 解解 2 1 1 1 XDXE kppkXP X k 和和求求 它的分布律为它的分布律为服从几何分布服从几何分布设设 1 1 k k pqkXE 1 pq 其中其中 1 1 k k qkp 2 1 q p 1 p 例例1 1 122 k k pqkXE 1 12 k k qkp 3 1 1 q qp 1 2 p q 22 XEXEXD 22 11 pp q 2 p q 解解 从数字从数字0 1 2 n中任取两个不同的数字中任取两个不同的数字 求这两个数字之差的绝对值的数学期望求这两个数字之差的绝对值的数学期望 的绝对值的绝对值为所选的两个数字之差为所选的两个数字之差设设 X 3 2 1 nX 的所有可能取值为的所有可能取值为则则 2 1 1 n nXP 2 1 1 2 n nXP 一般的一般的 2 1 2 1 1 nk n knkXP n k kXkPXE 1 n k n knk 1 2 1 1 3 2 n 例例2 解解 0 的值的值与与求求已知已知为为 的概率的概率取非负整数值取非负整数值设随机变量设随机变量 BAaXE n AB p nX n n 的分布列的分布列是是因为因为Xpn 0 n nXP 0 n n n B A 1 B Ae B eA 得得 0 n n n B nAXE 1 1 n n n BA aABe B aBeA a 因此因此 例例3 某银行开展定期定额有奖储蓄某银行开展定期定额有奖储蓄 定期一年定期一年 定额定额60元元 按规定按规定10000个户头中个户头中 头等奖一个头等奖一个 奖奖 金金500元元 二等奖二等奖10个个 各奖各奖100元元 三等奖三等奖100个个 各奖各奖10元元 四等奖四等奖1000个个 各奖各奖2元元 某人买了五个某人买了五个 户头户头 他期望得奖多少元他期望得奖多少元 解解 因为任何一个户头获奖都是等可能的因为任何一个户头获奖都是等可能的 的期望的期望金数金数先计算一个户头的得奖先计算一个户头的得奖X 4234 10 8889 10 1 10 1 10 1 10 1 0210100500 p X 分布列为分布列为 例例4 的数学期望为的数学期望为X 2 10 1 10 10 1 100 10 1 500 10 1 234 XE 45 0元元 买五个户头的期望得奖金额为买五个户头的期望得奖金额为 5 5 XEXE 25 245 05元元 0 0 11 1 2 XDXE xxc xf X 和求 其他 的密度函数为设随机变量 解解 是偶函数是偶函数因为因为xf xxxfXEd 所以所以 1 1 2 d 1 xxcx 0 22 XEXEXD 2 XE 例例5 1 1 22 1 1 2 d 1 1 2 1 d 1 1 2 1 xxcxxxc 1 1 22 d 1 xxcx 1 1 12 1 1 12 d 1 1 2 1 1 2 xx c xx c 1d xxxf d 2 XDxxfx 1 2 1 1 2 1 XDXD 于是于是 32 1 XD故故 1 min 1 1 2 XE x xfX 求求 的概率密度的概率密度设随机变量设随机变量 解解 1 min XE xxfxd 1 min 11 d d xx xxfxxfx 1 2 1 1 2 d 1 1 1 d 1 1 x x x x x x 1 2 1 0 2 d 1 1 2 d 1 2 x x x x x 2 1 2ln 1 例例6 解解 cos 0 2 0 2 0 sin 2 1 ZDZEYXZ yxyx yxf YX 和和求求且且 其他其他 函数为函数为 的联合密度的联合密度设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量 yxyxfyxZEdd cos yxyxyxdd sin cos 2 1 2 0 2 0 2 0 d 2 cos 2 cos 2 1 xxx 0 例例7 2 ZEZD yxyxyxdd sin cos 2 1 2 0 2 0 2 2 0 33 d 2 coscos 6 1 xxx 9 2 解解 0 20 10 2 1 7 6 2 数数的协方差矩阵及相关系的协方差矩阵及相关系求求 其他其他 函数为函数为 的联合密度的联合密度设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量 YX yxxyx yxf YX yxyxfxXEdd xyxyxxdd 2 1 7 6 1 0 2 0 2 xxxd 7 6 7 12 1 0 23 7 5 例例8 yxxyxxXEdd 2 1 7 6 1 0 2 0 222 70 39 490 23 7 5 70 39 2 XD故故 xyxyxyYEdd 2 1 7 6 1 0 2 0 2 因为因为 7 8 xyxyxyYEdd 2 1 7 6 1 0 2 0 222 21 34 147 46 7 8 21 34 2 YD故故 xyxyxxyXYEdd 2 1 7 6 1 0 2 0