专题02 突破两类解三角形问题(第二篇)-2019年高考数学压轴题命题区间探究与突破(解析版).doc

一方法综述解三角形问题是高考高频考点，命题主要有两类，一是解三角形的“基本问题”-求角、求边、求面积；二是解三角形中的综合问题-最值与范围问题.对于第一类问题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意三者的关系.对于第二类问题，要注意运用三角形中的不等关系：（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少；（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：，其中由利用的是余弦函数单调性，而仅在一个三角形内有效.本专题举例说明解答两类解三角形问题的方法、技巧.二解题策略类型一 三角形中求边、求角、求面积问题【例1】【2018届河北省衡水金卷一模】已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且acosB+3asinB=b+c，b=1，点D是ABC的重心，且AD=73，则ABC的外接圆的半径为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】AAD2=19AB2+AC2+2ABACcosA=79，化简，得c=AB=2，由余弦定理，得a=b2+c2-2bccosA=3，由正弦定理得，ABC的外接圆半径R=a2sinA=1.故选：A【指点迷津】1.解三角形问题中，边角的求解是所有问题的基本，通常有以下两个解题策略：(1)边角统一化：运用正弦定理和余弦定理化角、化边，通过代数恒等变换求解；(2)几何问题代数化：通过向量法、坐标法将问题代数化，借用函数与方程来求解，对于某些问题来说此法也是极为重要的学科#网2. 解三角形的常用方法：（1）直接法：观察题目中所给的三角形要素，使用正余弦定理求解（2）间接法：可以根据所求变量的个数，利用正余弦定理，面积公式等建立方程，再进行求解【举一反三】【2018届山东省潍坊市高三二模】在中， , , 分别是角， ， 的对边，且，则=（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】故选C.类型二 三角形中的最值、范围问题【例2】【2018届百校联盟TOP20高三四月联考全国一卷】已知四边形ABCD中，AB=BC=CD=33DA=1，设ABD与BCD面积分别为S1,S2，则S12+S22的最大值为_.【答案】78【解析】【例3】【2018年江苏卷】在中，角所对的边分别为，的平分线交于点D，且，则的最小值为_【答案】9【解析】由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.【指点迷津】三角形中的最值、范围的求法（1）目标函数法：根据已知和所求最值、范围，选取恰当的变量，利用正弦定理与余弦定理建立所求的目标函数，然后根据目标函数解析式的结构特征求解最值、范围学科#网（2）数形结合法：借助图形的直观性，利用所学平面图形中的相关结论直接判断最值、范围（3）利用均值不等式求得最值【举一反三】1.【衡水金卷】2018届四省名校第三次大联考】如图，在中，已知，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】2.【衡水金卷信息卷三】已知ABC的三边分别为a，b，c，所对的角分别为A，B，C，且满足1a+b+1b+c=3a+b+c，且ABC的外接圆的面积为3，则fx=cos2x+4a+csinx+1的最大值的取值范围为_【答案】12,24【解析】由ABC的三边分别为a，b，c可得：1a+b+1b+c=3a+b+c，a+b+ca+b+a+b+cb+c=3ca+b+ab+c=1可知：cb+c+aa+b=a+bb+cac=a2+c2-b2cosB=a2+c2-b22ac=12，B=3R2=3，R=3asinA=bsinB=csinC=2Ra=23sinA，c=23sinCa+ c=23sinA+sinC=23sinA+sin23-A=2332sinA+32cosA=6sinA+60A236A+65636sinA+66可知3 a+ c6fx=-2sinx-a+c2+2+2a+c2-1sinx1可知当sinx=1时，fxmax=4a+c124a+c24学科&网则fx=cos2x+4a+csinx+1的最大值的取值范围为12，24三强化训练1.【2018届东莞市高三第二次考试】在ABC中，若1tanB+1tanC=1tanA，则cosA的取值范围为( )A. （0,13 B. 13,1) C. (0,23 D. 23,1)【答案】D2【2018届湖南省衡阳市高三二模】在ABC中，已知a2+b2-c2=4S(S为ABC的面积)，若c=2,则a-22b的取值范围是( )A. 0,2 B. -1,0 C. -1,2 D. -2,2【答案】C【解析】a2+b2-c2=4Sa2+b2-c2=412absinC =2absinCa2+b2-c22ab =sinC，cosC=sinCC=4，asinA=bsinB=csinC=222=2，a=2sinA,b=2sinB，又a-22b=2sinA-222sinB =2sinA-2sinB=2sinA-2sin34-A =sinA-cosA=2sinA-4，0A34-4A-42，-12sinA-42，-1a-22b2，故选C.3【2018届四川省绵阳市高三三诊】四边形中， ， ，设、的面积分别为、，则当取最大值时， _【答案】【解析】设, ,当时,取得最大值,故填.学科!网4【2018届广东省肇庆市高三第三次模拟】已知ABC的角A,B,C对边分别为a,b,c，若a2=b2+c2-bc，且ABC的面积为334，则a的最小值为_.【答案】3【解析】由题得b2+c2-a2=bc,2bccosA=bc,cosA=12,A=3.因为ABC的面积为334，所以12bccosA=343,bc=3.因为a2=b2+c2-bc，所以a22bc-bc=bc=3,a3.故填3.5【2018届辽宁省辽南协作校高三下学期一模】设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,c=2且2sin2Asin2B+sinAsinB=12sin2Asin2B,则a+b的范围是_【答案】(2,4336【2018届四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知锐角的内角的对边分别为,且,则的最大值为_【答案】【解析】 由题意，根据正弦定理化简得， 又由，则， 所以， 整理得，又，所以， 又由余弦定理得，则，当且仅当时等号成立，即，所以的最大值为7【2018届安徽省“皖南八校”高三第三次（4月）联考】四边形ABCD中，A=600,cosB=17,AB=BC=7,当边CD 最短时，四边形ABCD的面积为_【答案】3722【解析】当CD边最短时，就是D=90时，连接AC，应用余弦定理可以求得AC=221，并且可以求得cosCAB=217，从而求得sinCAB=277，从而求得sinCAD=sin(60-CAB)=32217-12277=714，利用平方关系求得cosCAD=32114，从而求得CD=221714=3，AD=22132114=9，所以四边形的面积S=1239+1277437=3732，故答案是3732.学科&网8.【2018届浙江省杭州市高三第二次检测】在ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c若对任意R，不等式BC-BABC恒成立，则cb+bc的最大值为_【答案】29. 【2018届百校联盟高三TOP20四月联考全国一卷】如图，在ABC中，D,F分别为BC,AC的中点，ADBF，若sin2C=716sinBACsinABC，则cosC=_. 【答案】78【解析】分析：由正弦定理可得c2=716ab，结合向量垂直的充要条件和向量的线性运算法则可得2b2-4c2-2bccosA=0，据此结合余弦定理可得cosC=a2+b2-c22ab=78.详解：设BC=a,AC=b,AB=c，由sin2C=716sinBACsinABC可得：c2=716ab，由ADBF可得：ADBF=AB+AC212AC-AB=0，整理可得：14AC2-12AB2-14ABAC=0，即14b2-12c2-14b