人教版选修34 第十一章 2 简谐运动的描述 学案.doc

2简谐运动的描述学习目标1.知道什么是振动的振幅、周期、频率及相位.2.理解周期和频率的关系.3.知道简谐运动的数学表达式，知道其中各物理量的意义一、描述简谐运动的物理量1振幅：振动物体离开平衡位置的最大距离2全振动(如图1所示)类似于oboco的一个完整的振动过程图13周期和频率(1)周期定义：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间单位：国际单位是秒(2)频率定义：单位时间内完成全振动的次数单位：赫兹(hz)(3)t和f的关系：t.4相位描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态二、简谐运动的表达式简谐运动的一般表达式为xasin(t)1x表示振动物体相对于平衡位置的位移；t表示时间2a表示简谐运动的振幅3叫做简谐运动的“圆频率”，它是一个与频率成正比的量，表示简谐运动的快慢，2f.4t代表简谐运动的相位，表示t0时的相位，叫做初相位(或初相)5相位差若两个简谐运动的表达式为x1a1sin(t1)，x2a2sin(t2)，则相位差为(t2)(t1)21.即学即用1判断下列说法的正误(1)在机械振动的过程中，振幅是不断变化的()(2)振幅是振动物体离开平衡位置的最大位移，它是矢量()(3)振动周期指的是振动物体从一侧最大位移处，运动到另一侧最大位移处所用的时间()(4)按x5sin (8t) cm的规律振动的弹簧振子的振动周期为s()2有一个弹簧振子，振幅为0.8cm，周期为0.5s，初始时(t0)具有正的最大位移，则它的振动方程是xm.答案0.008sin (4t)一、描述简谐运动的物理量导学探究如图2所示为理想弹簧振子，o点为它的平衡位置，其中a、a点关于o点对称图2(1)振子从某一时刻经过o点计时，至下一次再经过o点的时间为一个周期吗？(2)先后将振子拉到a点和b点由静止释放，两种情况下振子振动的周期相同吗？振子完成一次全振动通过的位移相同吗？路程相同吗？答案(1)不是经过一个周期振子必须从同一方向经过o点，即经过一个周期，位移、速度第一次与初始时刻相同(2)周期相同振动的周期决定于振动系统本身，与振幅无关；位移相同，均为零；路程不相同，一个周期内振子通过的路程为四个振幅知识深化描述简谐运动的物理量及其关系1振幅和位移的区别(1)振幅等于最大位移的数值(2)对于一个给定的振动，振子的位移是时刻变化的，但振幅是不变的(3)位移是矢量，振幅是标量2路程与振幅的关系(1)振动物体在一个周期内的路程为四个振幅(2)振动物体在半个周期内的路程为两个振幅(3)振动物体在个周期内的路程不一定等于一个振幅3周期和频率由振动系统本身的性质决定，与振幅无关例1如图3所示，弹簧振子在a、b间做简谐运动，o为平衡位置，a、b间距离是20cm，从a到b运动时间是2s，则()图3a从obo振子做了一次全振动b振动周期为2s，振幅是10cmc从b开始经过6s，振子通过的路程是60cmd从o开始经过3s，振子处在平衡位置答案c解析振子从obo只完成半个全振动，a错误；从ab振子也只是半个全振动，半个全振动是2s，所以振动周期是4s，b错误；6st，所以振子经过的路程为4a2a6a60cm，c正确；从o开始经过3s，振子处在最大位移处a或b，d错误振动物体路程的计算方法1求振动物体在一段时间内通过路程的依据：(1)振动物体在一个周期内通过的路程一定为四个振幅，则在n个周期内通过的路程必为n4a.(2)振动物体在半个周期内通过的路程一定为两倍振幅(3)振动物体在内通过的路程可能等于一倍振幅，还可能大于或小于一倍振幅，只有当初始时刻在平衡位置或最大位移处时，内通过的路程才等于振幅2计算路程的方法是：先判断所求时间内有几个周期，再依据上述规律求路程例2一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图象如图4所示，由图可知()图4a质点振动的频率是4hz，振幅是2cmb质点经过1s通过的路程总是2cmc03s内，质点通过的路程为6cmdt3s时，质点的振幅为零答案c解析由题图可以直接看出振幅为2cm，周期为4s，所以频率为0.25hz，所以a错误；质点在1s即个周期内通过的路程不一定等于一个振幅，所以b错误；因为t0时质点在最大位移处，03s为t，质点通过的路程为3a6cm，所以c正确；振幅等于质点偏离平衡位置的最大距离，与质点的位移有着本质的区别，t3s时，质点的位移为零，但振幅仍为2cm，所以d错误二、简谐运动表达式的理解2从表达式xasin (t)体会简谐运动的周期性当(t2)(t1)2n时，tnt，振子位移相同，每经过周期t完成一次全振动3从表达式xasin (t)体会特殊点的值当(t)等于2n时，sin (t)1，即xa；当(t)等于2n时，sin (t)1，即xa；当(t)等于n时，sin (t)0，即x0.例3(多选)一弹簧振子a的位移x随时间t变化的关系式为x0.1sin2.5t，位移x的单位为m，时间t的单位为s.则()a弹簧振子的振幅为0.2mb弹簧振子的周期为1.25sc在t0.2s时，振子的运动速度为零d若另一弹簧振子b的位移x随时间t变化的关系式为x0.2sin，则a滞后b答案cd解析由振动方程x0.1sin2.5t，可读出振幅为0.1m，圆频率2.5rad/s，故周期ts0.8s，故a、b错误；在t0.2s时，振子的位移最大，速度最小，为零，故c正确；两振动的相位差212.5t2.5t，即b超前a，或者说a滞后b，d正确应用简谐运动的表达式解决相关问题，首先应明确振幅a、周期t、频率f的对应关系，其中t，f，然后把确定的物理量与所要解决的问题相对应，找到关系.三、简谐运动的周期性和对称性简谐运动的周期性和对称性(如图5所示)图5(1)时间的对称物体来回通过相同两点间的时间相等，即tdbtbd.物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，图中tobtbotoatao，todtdotoctco.(2)速度的对称物体连续两次经过同一点(如d点)的速度大小相等，方向相反物体经过关于o点对称的两点(如c与d)时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反例4弹簧振子以o点为平衡位置，在b、c两点间做简谐运动，在t0时刻，振子从o、b间的p点以速度v向b点运动；在t0.2s时，振子速度第一次变为v；在t0.5s时，振子速度第二次变为v，已知b、c之间的距离为25cm.(1)求弹簧振子的振幅a；(2)求弹簧振子振动周期t和频率f.答案(1)12.5cm(2)1s1hz解析(1)弹簧振子以o点为平衡位置，在b、c两点间做简谐运动，所以振幅是b、c之间的距离的，所以acm12.5cm.(2)由简谐运动的对称性可知p到b的时间与b返回p的时间是相等的，所以tbps0.1s同时由简谐振动的对称性可知：tpos0.15s又由于tpotbp联立得：t1s，所以f1hz.理解全振动的意义是解题关键，画出一次全振动过程的图景是解题的手段.1(描述简谐运动的物理量)(多选)一个质点做简谐运动的图象如图6所示，下列叙述中正确的是()图6a质点的振动频率为4hzb在10s内质点经过的路程为20cmc在5s末，质点做简谐运动的相位为dt1.5s和t4.5s两时刻质点的位移大小相等，都是cm答案bd解析由题图振动图象可直接得到周期t4 s，频率f0.25 hz，故选项a错误；做简谐运动的质点一个周期内经过的路程是4a8 cm.10 s为2.5个周期，故质点经过的路程为20 cm，选项b正确；由图象知位移与时间的关系为x0.02sin (t) m当t5 s时，其相位为5，故c错误；在1.5 s和4.5 s两时刻，质点位移相同，x2sin (1.5) cm cm，故d正确2(简谐运动的表达式)一个小球和轻质弹簧组成的系统，按x15sin(8t) cm的规律振动(1)求该振动的周期、频率、振幅和初相；(2)另一简谐运动表达式为x25sin(8t) cm，求它们的相位差答案(1)s4hz5cm(2)解析(1)已知8 rad/s，由得t s，f4 hz.由x15 sin (8t) cm知a5 cm，1(2)由(t2)(t1)21得.3(简谐运动的表达式)如图7所示为a、b两个简谐运动的位移时间图象请根据图象回答：图7(1)a的振幅是cm，周期是s；b的振幅是cm，周期是s.(2)写出这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式；(3)在t0.05s时两质点的位移分别是多少？答案(1)0.50.40.20.8(2)xa0.5sin (5t) cm，xb0.2sincm(3)xacm，xb0.2sincm.解析(1)由题图知：a的振幅是0.5cm，周期是0.4s；b的振幅是0.2cm，周期是0.8s.(2)t0时刻a中振动的质点从平衡位置开始沿负方向振动，a，由ta0.4s，得a5rad/s.则a简谐运动的表达式为xa0.5sin (5t) cm.t0时刻b中振动的质点从平衡位置沿正方向已振动了周期，b，由tb0.8s得b2.5rad/s，则b简谐运动的表达式为xb0.2sincm.(3)将t0.05s分别代入两个表达式中得：xa0.5sin (50.05) cm0.5cmcm，xb0.2sincm0.2sincm.4(简谐运动的周期性和对称性)如图8所示，一质点沿水平直线做简谐运动，先后以相同速度通过a、b两点，经历时间tab1s，过b点后再经t1s质点第一次反向通过b点若在这两秒内质点所通过的路程是8cm，试求该质点的振动周期和振幅图8答案4s4cm解析简谐运动是以平衡位置为中心的对称运动，因为通过a、b两点时的速度相同，所以a、b连线的中点o必是振动的平衡位置根据简谐运动的对称性，可知质点从b点返回a点所用的时间必与从a点到b点所用的时间相同，即tbatab1s，质点从a点经最左端位置d再返回a点所用的时间tada必与质点从b点经最右端位置c再返回b点所用的时间tbcb相等，即tadatbcbt1s.综上所述，质点的振动周期为ttabtbcbtbatada4s由题图和简谐运动的对称性可知，质点在一个周期内通过的路程为s2222(2)28cm16cm.所以质点的振幅为a4cm.一、选择题考点一描述简谐运动的物理量1周期为2s的简谐运动，在半分钟内振子通过的路程是60cm，则在此时间内振子经过平衡位置的次数和振子的振幅分别为()a15次，2cmb30次，1cmc15次，1cmd60次，2cm答案b解析振子完成一次全振动经过轨迹上每点的位置均为两次(除最大位移处)，而每次全振动振子通过的路程为4个振幅2如图1所示，在光滑水平面上振动的弹簧振子的平衡位置为o，把振子拉到a点，oa1cm，然后释放振子，经过0.2s振子第1次到达o点，如果把振子拉到a点，oa2cm，则释放振子后，振子第1次到达o点所需的时间为()图1a0.2sb0.4sc0.1sd0.3s答案a解析简谐运动的周期只跟振动系统本身的性质有关，与振幅无关，两种情况下振子第1次到达平衡位置所需的时间都是振动周期的，故a正确3关于弹簧振子的位置和路程，下列说法中正确的是()a运动一个周期，位置一定不变，路程一定等于振幅的4倍b运动半个周期，位置一定不变，路程一定等于振幅的2倍c运动个周期，位置可能不变，路程等于振幅的3倍d运动一段时间位置不变时，路程一定等于振幅的4倍答案a解析运动一个周期，振子完成一次全振动，回到起始位置，故位置一定不变，路程是振幅的4倍，故a正确；当振子从一端开始运动，经过半个周期，则振子恰好到达另一端点，故位置变化，b错误；若从最大位置到平衡位置的中间某点开始运动，运动周期时由于速度不是均匀的，路程并不等于振幅的3倍，故c错误；只有振子振动一个周期时，路程才等于振幅4倍，若回到出发点，但速度反向，则不是一个周期，路程不等于振幅的4倍，故d错误4(多选)一个质点经过平衡位置o，在a、b间做简谐运动，如图2甲所示，它的振动图象如图乙所示，设向右为正方向，下列说法正确的是()图2aob5cmb第0.2s末质点的速度方向是aoc第0.4s末质点的加速度方向是aod第0.7s末质点的位置在o点与a点之间e在4s内完成5次全振动答案ace解析由题图乙可知振幅为5cm，则oboa5cm，a项正确；由题图可知00.2s内质点从b向o运动，第0.2s末质点的速度方向是bo，b项错误；由题图可知第0.4s末质点运动到a点处，则此时质点的加速度方向是ao，c项正确；由题图可知第0.7s末质点位置在o与b之间，d项错误；由题图乙可知周期t0.8s，则在4s内完成全振动的次数为5，e项正确5如图3所示，弹簧振子在b、c间振动，o为平衡位置，booc5cm，若振子从b到c的运动时间是1s，则下列说法中正确的是()图3a振子从b经o到c完成一次全振动b振动周期是1s，振幅是10cmc振子经过两次全振动通过的路程是20cmd从b开始经过3s，振子通过的路程是30cm答案d解析弹簧振子在b、c间振动，振子从b到c经历的时间为半个周期，周期为2s，振幅为5cm，故a、b错误；经过两次全振动所用的时间为2t，振子通过的路程是8a40cm，故c错误；从b开始经过3s，振子运动的时间是1.5个周期，振子通过的路程是1.545cm30cm，故d正确图46一质点做简谐运动的图象如图4所示，下列说法正确的是()a质点的振动频率是4hzb在10s内质点通过的路程是20cmc第4s末质点的速度是零d在t1s和t3s两时刻，质点位移大小相等、方向相同答案b解析根据振动图象可知，该简谐运动的周期t4s，所以频率f0.25hz，a错误；10s内质点通过的路程s4a10a102cm20cm，b正确；第4s末质点经过平衡位置，速度最大，c错误；在t1s和t3s两时刻，质点位移大小相等、方向相反，d错误7如图5所示，物体a和b用轻绳相连挂在弹簧下静止不动，a的质量为m，b的质量为m，弹簧的劲度系数为k.当连接a、b的绳突然断开后，物体a将在竖直方向上做简谐运动，则a振动的振幅为()图5a.b.c.d.答案a解析轻绳断开前，弹簧伸长的长度为x1.若弹簧下只挂有a，则静止时弹簧的伸长量x2，此位置为a在竖直方向上做简谐运动的平衡位置，则a振动的振幅为x1x2，故a正确考点二简谐运动的表达式8(多选)某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为xasint，则质点()a第1s末与第3s末的位移相同b第1s末与第3s末的速度相同c第3s末与第5s末的位移方向相同d第3s末与第5s末的速度方向相同答案ad解析根据xasint可求得该质点振动周期为t8s，则该质点振动图象如图所示，图象的斜率为正表示速度为正，反之为负，由图可以看出第1s末和第3s末的位移相同，但斜率一正一负，故速度方向相反，选项a正确，b错误；第3s末和第5s末的位移方向相反，但两点的斜率均为负，故速度方向相同，选项c错误，d正确9(多选)物体a做简谐运动的振动方程是xa3sinm，物体b做简谐运动的振动方程是xb5sinm比较a、b的运动()a振幅是矢量，a的振幅是6m，b的振幅是10mb周期是标量，a、b周期相等，都为100sca振动的频率fa等于b振动的频率fbda的相位始终超前b的相位答案cd解析振幅是标量，a、b的振动范围分别是6m、10m，但振幅分别为3m、5m，a错；a、b的周期均为ts6.28102s，b错；因为tatb，故fafb，c对；ab，为定值，d对10(多选)如图6所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动以竖直向上为正方向，物块做简谐运动的表达式为x0.1sin (2.5t) mt0时刻，一小球从距物块h高处自由落下；t0.6s时，小球恰好与物块处于同一高度取重力加速度的大小g10m/s2.以下判断正确的是()图6ah1.7mb简谐运动的周期是0.8sc0.6s内物块运动的路程是0.2mdt0.4s时，物块与小球运动方向相反答案ab解析t0.6s时，物块的位移为x0.1sin (2.50.6) m0.1m，则对小球h|x|gt2，解得h1.7m，选项a正确；简谐运动的周期是ts0.8s，选项b正确；0.6s内物块运动的路程是3a0.3m，选项c错误；t0.4s，此时物块在平衡位置向下振动，则此时物块与小球运动方向相同，选项d错误考点三简谐运动的周期性与对称性11一质点做简谐运动，它从最大位移处经0.3s第一次到达某点m处，再