数值分析课件 BIT.pdf

1 第八章非线性方程及非线性方程组解法第八章非线性方程及非线性方程组解法 第八章习题第八章习题 P288 3 6 7 8 9 10 计算一个计算一个 11 写公式计算写公式计算2 3步步 12 13 14 16 1 写公式计算写公式计算2 3步步 2 考试时间考试时间 11月月26日上午日上午 具体时间及考场安排见研究生网站通知具体时间及考场安排见研究生网站通知 考试时带有科学计算功能的计算器考试时带有科学计算功能的计算器 可以计算一些初等函数的值可以计算一些初等函数的值 考试前交第二次数值实验作业考试前交第二次数值实验作业 每个小组相同的版本不必重复交每个小组相同的版本不必重复交 电子文档 主题为题号 文件名为学号电子文档 主题为题号 文件名为学号 姓名 姓名 如果是多个人的作业 内容中注明如果是多个人的作业 内容中注明 3 2 1 0 1 1 0 0 LL kafklafaf kl 若若 重根重根 0 k af xkf xxaxa 是是的 重零点的 重零点 重零点重零点的的重根或函数重根或函数是方程的是方程的则称则称kxfkax 0f x 求方程求方程根根 f x其中其中为非线性函数为非线性函数 54 321 f xxxx 例如 例如 21 ln sin 2 x f xexx 4 a b x0 x1 a1 b2 x 1区间对分法 二分法 区间对分法 二分法 若若 则则内必有方程的根 称其为有根区间内必有方程的根 称其为有根区间 0 f xC a bf a f b a b 1 确定确定有有根区根区间间 2 逐逐次次对分区对分区间间 3 取根取根的的近似近似值值 b1 a2 0f x 解方程解方程 x ba x nn n 2 f x 连续连续 5 1 22 nn nn bab a xx a b x0 x1 a1 b2 x b1 a2 LL nn babababa 2211 二分法的误差二分法的误差 nn xab 2 nn n ab x 令令则则 2 nn n ba xx 1 2ln ln ln ab n 只只需需n xx ffQ 1 2 n n ab x误差为误差为做为近似值做为近似值取取 10 2 1 4 为使误差不超过为使误差不超过 10ln45 0ln5 0ln 1 n 4 1 10 2 1 2 1 f inline x 3 10 x 20 x x err bisection f 1 2 5e 5 30 n 1 x 1 1 50000000000000 err 0 50000000000000 n 2 x 2 1 75000000000000 err 0 25000000000000 n 3 x 3 1 62500000000000 err 0 12500000000000 n 4 x 4 1 56250000000000 err 0 06250000000000 n 5 x 5 1 59375000000000 err 0 03125000000000 n 6 x 6 1 60937500000000 err 0 01562500000000 n 7 x 7 1 60156250000000 err 0 00781250000000 n 8 x 8 1 59765625000000 err 0 00390625000000 n 9 x 9 1 59570312500000 err 0 00195312500000 n 10 x 10 1 59472656250000 err 0 00097656250000 n 11 x 11 1 59423828125000 err 0 00048828125000 n 12 x 12 1 59448242187500 err 0 00024414062500 n 13 x 13 1 59460449218750 err 0 00012207031250 n 14 x 14 1 59454345703125 err 0 00006103515625 n 15 x 15 1 59457397460938 err 0 00003051757813 x 1 59457397460938 err 3 051757812500000e 005 8 function x err bisection f a b eps max 求求f x 在在 a b 区区间的零点 间的零点 eps和和max分别分别为为精度和最大精度和最大二二分分次数次数 disp n x err err b a ya feval f a yb feval f b if ya 0 x a disp x disp x fprintf x f x break elseif yb 0 x b fprintf x f x break end k 1 state 1 while k max yx feval f x if yx 0 disp obtain the ture answer disp k x 0 break end if yx ya 0 a a b x elseif yx yb eps state 1 end fprintf n 2d x 2d 12 14f err 12 14f n k k x err disp k x err k k 1 end Printed with FinePrint purchase at PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 9 二分法简单 一定收敛 但是收敛速度慢二分法简单 一定收敛 但是收敛速度慢 很多收敛速度快的方法需要好的初值很多收敛速度快的方法需要好的初值 二分法通常被用来选择初值二分法通常被用来选择初值 二分法无法求偶数阶的重根二分法无法求偶数阶的重根 问题问题 寻找其它方法寻找其它方法 Axb 类似解线性方程组类似解线性方程组 10 0 0 的根的根近似近似以以 序列序列逐次代入迭代公式产生逐次代入迭代公式产生出发出发从初值从初值 xfx xx n n 2简单迭代法简单迭代法 称为迭代函数称为迭代函数x 2 1 0 1 L nxx nn 构造迭代格式构造迭代格式 2 1 简单迭代法的一般形式及其几何意义简单迭代法的一般形式及其几何意义 0f x 即即是方程的根是方程的根则则处连续处连续在在若若结论结论 xxxxxn 0 xf xx 11 5 1 02010 0 3 x xxxf 取取要求精确到六位小数要求精确到六位小数的根的根 用简单迭代法求方程用简单迭代法求方程例例 解解 迭代格迭代格式式 861 10023 376953 21 125 0 321 xxx 将初值代入得将初值代入得 显然显然 此迭代序列发散 此迭代序列发散 1 0f x 1 2 f x 在区在区间 内有零间 内有零点点 3 1120 xxx 3 1 1120 nnn xxx 12 10 20 0 2 x xxf 10 20 2 1 n n x x迭代格式迭代格式 L 6326531 1 105 1 20 21 x 67 1415 1514 10 2 1 104 5945622 1 5945618 1 xx xx 5945622 1 15 xx 02010 2 3 xxxf 13 10 20 3 x xxf 10 2 3 1 n n x x 迭代格式迭代格式 代入代入初值初值得得 5405006 1 6625 1 21 xx 5961284 1 5925061 1 5972529 1 5910265 1 5991837 1 5884803 1 6024955 1 5840930 1 6081705 1 5765184 1 6178746 1 5633947 1 6344175 1 15 141312 11109 876 543 x xxx xxx xxx xxx 0036223 0 1415 xx 上上例例的的结结果果表表明 明 对对同一方同一方程程可可构造构造不同的不同的迭代格迭代格式 式 产产生的生的迭代序列收敛性也迭代序列收敛性也不同不同 02010 3 3 xxxf 迭代格迭代格式的式的收敛性与什么收敛性与什么有有关关 先看几何意义先看几何意义 14 x y y x x y y x x y y x x y y x x x x x x0 p0 x1 p1 x0 p0 x1 p1 x0 p0 x1 p1 x0 p0 x1 p1 xy xy xy xy 15 2 2 迭代法的收敛条件迭代法的收敛条件 都有都有使得对一切使得对一切存在常数存在常数 10 2 bayxL yxLyx xxa bx 则则方方程程在在内内存在唯存在唯一的一的根根 0 迭代格式迭代格式且对任意初值且对任意初值bax 2 1 0 1 L nxx nn 所产生的序列所产生的序列均收敛于并且均收敛于并且 n xx 10 1 n n L xxxx L bxabax 1 都有都有对任意的对任意的 1 8在区间上满足在区间上满足设函数设函数压缩压缩映像原理映像原理定理定理x 1 1 nnn xx L L xx 存在性存在性 惟一性惟一性 xx 方方程程 16 1 证证明明存在性存在性0 0 ba 则则 2 xxC a b 由由满足条满足条件可知件可知 xC a b 故故 0 xa bx 由由介介值值定理定理使得使得 xx 即即 2 唯 唯一一性性 xxa bxx 假设假设在在内有内有两两个个根根则则 xxxxLxxxx xxa bx 导出矛盾导出矛盾 故故方方程程在在内有内有唯唯一的一的根根 xxx 令令 Printed with 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且且阶阶连续连续可微可微内内的的邻域邻域在在如果如果 1 xOxx 1 0 1 2 nn xxn L迭代序列迭代序列发散发散 结结论论 24 x y y x x y y x x y y x x y y x x x x x x0 p0 x1 p1 x0 p0 x1 p1 x0 p0 x1 p1 x0 p0 x1 p1 xy xy xy xy Printed with FinePrint purchase at PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 25 20110 1 3 xxxxf 3 10200 f xxx 前边例题前边例题 2 311xx 1 n x x 事事实上实上 有有 所所以以一一定发散定发散 11 1 2 x 8 2不不满足定理满足定理 1 2 有有根区根区间间 26 2020 1 2 1 2 1411 x 22 40 10 x x x I 1 2 xx 10 20 0 2 2 x xxf 满足定理满足定理8 2条条件 件 迭代收敛迭代收敛 3 10200 f xxx 前前边边例例题题 222 4080 II 1 2 0 66111 10 11 x xx x 1 2 x 在在 上 上单单调下降调下降 1 2 有有根区根区间间 27 2 3 10 x x 1 2 1xL 在在上不上不满足满足 10 20 3 3 x xxf 3 10200 f xxx 前前边边例例题题 2 3 0 8671 10 x x 收敛速度收敛速度比比慢慢 1 2 有有根区根区间间 1 5 1 75 区区间间不不满足条满足条件件 28 找收敛迭代格找收敛迭代格式的步式的步骤骤 1 0 f xxx 2 x 求求 3 1a bxL rr 一 收敛速度 一 收敛速度 使得使得 0 ar 1 称为称为线性收敛线性收敛特别地特别地 r 30 求求矩阵特征矩阵特征值的值的Aitken 埃特肯埃特肯 加加速速 lim n n xx 若若则则 1 12 nn nn xxxx xxxx 222 2211 2 nnnnnn x xxxxxxxxx 2 2121 2 nnnnnn xxxxxx xx 2 21 21 2 nnn nnn x xx x xxx lim nn n xxx 且且收敛速度收敛速度比比的的速度快速度快 2 1 12 2 nn nn nnn xx xx xxx 记做记做 31 二 二 Steffensen 斯蒂芬森斯蒂芬森 方法方法 nnn nn nn nn nn xyz xy xx yz xy 2 2 1 1 xSteffensen 可以可以证证明明 当当时时方方法法 至少至少是二是二阶阶局部局部收敛收敛的的 将将Aitken 埃特肯埃特肯 加加速与速与不不动动点点迭代结迭代结合合 即即得得Steffensen方方法法 其其计算计算过过程程为为 2 12 2 1 x xxx xx xx xx nnn nn nn n 以以更快更快的的速速度度收敛于收敛于则则 线性收敛于线性收敛于若若 2 2 xx x xxx 其迭代其迭代 函数函数 32 iter steffen leonardo iter enter initial guess x1 2 allowable tolerance tol 0 000001 maximum number of iterations max 10 iteration method has converged step x 1 2 00000000000000 2 1 19028340080972 3 1 35956267950143 4 1 36878079644430 5 1 36880810758180 6 1 36880810782137 iteration leonardo iter enter initial guess x1 2 allowable tolerance tol 0 0001 maximum number of iterations max 10 zero not found to desired tolerance step x 1 2 00000000000000 2 0 40000000000000 3 1 96160000000000 4 0 47562601431040 5 1 94399636218919 6 0 50951571468586 7 1 93485140020862 8 0 52692937882011 9 1 92983865092369 10 0 53641914395953 function f leonardo iter x f 20 x 3 2 x 2 10 function f leonardo x 达芬奇达芬奇在在1425年年研究研究此此方方程程 并并得得到到1 368808107 f x 3 2 x 2 10 x 20 进进一步考一步考虑虑在根在根附附近近的的情形情形 Printed with FinePrint purchase at PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 33 且且阶导数阶导数邻近有邻近有在在设设定理定理 2 4 8 rrxx 0 1 1 0 xrkxxx rk L 2 1 0 1 L nxx nn 则迭代公式则迭代公式 的 的阶收敛于阶收敛于是是产生的迭代序列产生的迭代序列xrxn 使得使得由定理由定理证明证明 0 3 8 xxx 0 1 2 1 0 xnxx nn 收敛于收敛于迭代序列迭代序列L xxxn 且且 34 r n r r n r nn xx r xx r x xxxxx 1 1 1 L 之 之间间和和在在xxn 1 rxx xx r r n n 0 lim 1 n r x xx xx r r n n n xrx故迭代序列故迭代序列阶收敛阶收敛于于 1 0 迭代法是迭代法是线性收敛线性收敛的的若若注注 x 1 xxxx nn r n n xx xx 1 r n r xx r x 35 的迭代公式的迭代公式设有求解方程设有求解方程例例0cos2312 xx nn xxcos 3 2 4 1 lim 1 0 为方程的根为方程的根均均有有证明证明对对xxxRx n n 10 4 2 3 0 要求误差不超过要求误差不超过 的近似值的近似值用用此此迭代公式求方程根迭代公式求方程根取取x 3 证明你证明你的结论的结论此此迭代的迭代的收敛阶收敛阶是是多少多少 36 nn xxcos 3 2 4 1 迭代公式迭代公式 解解 22 sin1 33 xx 迭代公式迭代公式对对 0 Rx xxn n lim 即即 迭代函数迭代函数 1 2 8可知可知由定理由定理 0cos2312 xx cos 3 2 4 xx RR L 2 1 0 cos 3 2 4 1 nxx nn xxn均收敛于均收敛于方程的根方程的根所所产生的序列产生的序列 xR 对对 37 5642 34cos 3 2 4 4 2 10 xx 3475 3 3483 3 3541 3 3920 3 5432 xxxx 3 45 100008 0 x 由定理由定理8 4 Newton法法至少至少二二阶收敛 阶收敛 法的迭代函数为法的迭代函数为证明证明Newton f x xx fx 1 0 1 2 n nn n f x xxn fx L xx 2 2 1 fxf x fx fx 2 f x fx fx 0 x 42 1 况况只只适适用用于导于导数数易易求的求的情情计算量大计算量大值值各各一次一次 导导数数数值数值由于每由于每次迭代需次迭代需计算计算函函但但对初值要求对初值要求苛刻苛刻 稳定性好稳定性好精度精度高高法法收敛快收敛快是单根是单根时时当当 说明说明 Newtonx r r xx xx n n n 1 lim 1 且且法是法是线性收敛线性收敛的的时时重根重根为为当当 1 2 Newtonrrx 法法改进改进的的Newton 43 的单根的单根是是可可以以证明证明令令xx xf xf xa 法得迭代公式法得迭代公式用用对对Newtonx 21 nnn nn nn xfxfxf xfxf xx 1 n n nn xf xf rxxb 以上以上两种改进都两种改进都是是至少至少二二阶收敛阶收敛的的 44 在在Newton公式中 公式中 用用差商差商代代替导替导数 数 即即 1 1 nn nn n xx xfxf xf 即即得迭代得迭代公式公式 11 1 1 2 n nnnn nn f x xxxxn f xf x L 0 的近似解称为的近似解称为弦截弦截法法按此按此公式求方称公式求方称 xf 11 线性插线性插值法值法故故弦截弦截法法又又称为称为割线割线法法 轴交轴交点的近似点的近似轴轴的的交交点为点为曲线与曲线与与与 直线直线以过以过曲线曲线上上两两点点几何几何意意义义 xx xfxxfx nnnn 3 2 弦截法弦截法 45 x0 x1 割线割线 secant line x与与 轴轴交点交点 1 2110 10 f x xxxx f xf x 10 11 10 f xf x yf xxx xx 0011 xf xxf x函数函数过过和和的的线性线性插插值函数值函数 或曲或曲线线的的割割线线 依依次次下去下去得得割割线法线法公式公式 46 10 端端点点作作为初值为初值通通常取有根区间的常取有根区间的两个两个 才能才能运行运行弦截弦截法需要法需要两个两个初值初值注注xx 且且邻邻近二近二阶阶连续连续可微可微在在设设定理定理 6 8 xxf 0 0 xfxf 618 1 0 10 且且收敛阶至少收敛阶至少为为收敛于收敛于 由弦截由弦截法产生的序列法产生的序列时时当当则则 xx xOxx n 47 2 1 23 10 20102 xxxf上上在在 2 1 零点零点内内存在存在唯唯一的一的在在所所以以xf 代入迭代公式得代入迭代公式得即即 初初始始两两点点取区间取区间端端点分点分别别为迭代为迭代 2 1 10 xx 37 1 36880746 1 369013326 1 357912305 1 304347826 1 54 32 xxx xx 取取 2 1 1 1 1 L kxf xfxf xx xx k kk kk kk 48 newton leonardo leonardo pr enter initial guess x1 2 allowable tolerance tol 0 000001 maximum number of iterations max 10 Newton method has converged step x y 1 2 00000000000000 16 000000000000000 2 1 46666666666667 2 123851851851853 3 1 37151201380592 0 057086641904323 4 1 36881022263390 0 000044614406963 5 1 36880810782267 0 000000000027313 6 1 36880810782137 0 000000000000000 ans 2 0000 1 4667 1 3715 1 3688 1 36881 3688 function f leonardo pr x f 3 x 2 4 x 10 function f leonardo x f x 3 2 x 2 10 x 20 Printed with FinePrint purchase at PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 49 secant leonardo enter initial guess x0 1 enter initial guess x1 2 allowable tolerance tol 0 000001 maximum number of iterations max 10 secant method has converged step x y 1 1 00000000000000 7 000000000000000 2 2 00000000000000 16 000000000000000 3 1 30434782608696 1 334757951836934 4 1 35791230465787 0 229135729587330 5 1 36901332599257 0 004329568312105 6 1 36880745972192 0 000013672393695 7 1 36880810778288 0 000000000812143 ans 1 0000 2 0000 1 3043 1 3579 1 3690 1 3688 1 3688 50 类似割线法 过三点做类似割线法 过三点做f x 的二次插值多项式的二次插值多项式 4抛物线法 抛物线法 抛物线法 抛物线法 mullermuller法 法 法 法 51 y x x Secant line x1 抛物抛物线线插插值值 x2 x3 Parabola 52 123 2312323 3 2 33 xxxfa xxxxxfxxfb xfc xxaxxbcy 的二次的二次插插值值多多项项式式做做 和和过过 332211 xf xfxxfxxfx 321 xxxx 的的三三个个近似值近似值 231233233 xxxxxxxfxxxxfxfy acbb bsignc xx 4 2 2 3 acbb bsignc xx 4 2 2 34 令令 53 muller Enter function f x x 3 10 x 20 enter the initial guess xr 1 75 enter the interval length h 0 25 enter the toleration tol 0 000001 maximum number of iteration max 10 step x y 1 1 5949003375 0 0059626661 2 1 5945609031 0 0000213915 3 1 5945621166 0 0000000001 4 1 5945621166 0 0000000000 muller method has converged 的根的根用用抛物抛物线线法求方程法求方程例例02010 3 xxxf 54 程的根程的根用用抛物抛物线线法求法求达芬奇达芬奇方方例例 muller Enter function f x x 3 2 x 2 10 x 20 enter the initial guess xr 1 5 enter the interval length h 0 5 enter the toleration tol 0 000001 maximum number of iteration max 10 step x y 1 1 3702416528 0 0302548158 2 1 3688024583 0 0001191819 3 1 3688081079 0 0000000011 4 1 3688081078 0 0000000000 muller method has converged 55 5 非线性方程组的解法非线性方程组的解法 0 0 0 21 212 211 nn n n xxxf xxxf xxxf L L L L 牛顿牛顿法法 将将非线性非线性方方程线性程线性化化以以n 2 为为例例 1 2 0 0 fx y fx y 考考 虑虑 12 fx yfx y用 线性用 线性 函数函数 近 似近 似和和 f a bf a b f x yf a bxayb xy 56 1 2 0 0 fx y fx y 用用 下下列 线 性列 线 性方方 程近 似程近 似 100100 110000 f x yf x y f x yf x yxxyy xy 200200 220000 f x yf x y f x yf x yxxyy xy 100100 10000 200200 20000 0 0 f x yf x y f x yxxyy xy f x yf x y f x yxxyy xy Printed with FinePrint purchase at PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 57 100100 10000 200200 20000 0 0 f x yf x y f x yxxyy xy f x yf x y f x yxxyy xy 00 11 0100 020012 x y ff xxf x yxy yyf x yff xy 58 00 11 0100 020012 x y ff xxf x yxy yyf x yff xy 00 1 11 0100 020012 x y ff xf x yxxy yf x yyff xy 59 00 1 11 0100 020012 x y ff xf x yxxy yf x yyff xy 1 11 11 1212 kk kkkk kkkk xy ff xxf x yxy yyf x yff xy 由此构造迭代格由此构造迭代格式式 60 112 212 12 0 0 0 n n nn fxxx fxxx fxxx 一一 般般地地 L L L L 1 111 12 1 11112 222 1 22212 12 1 12 k n kkkkk n kkkkk n n kk nn nnn n x fff xxx xxf xxx fff xxf xxx xxx xx fff xxx L L L L MM MMMM L 12 kkk nn f xxx M L 0F x 简记 为简记 为 1 1 kkkk xxFxF x 简简记记 为为 61 112 212 12 0 0 0 n n nn fxxx fxxx fxxx L L L L 2 最速最速下降下降法法 n i i xfx 1 2 令令 上的上的最最小值小值在在求求 n Rx 62 11212 22 21212 0 230 250 1 5 1 0 T fxxxx fxxxx x 例例 解非线性解非线性方方程程组组 取取初值初值 11 12 22 12 ff xx Fx ff xx 21 121 22 1 4128 x Fx xxx 牛顿牛顿法法 1 1 kkkk xFxFxx 解解 12 12 42xx 63 2 1 12 2 2 121 12 2223 1 41282 5 kk kk kk xxx xx xxxxx 0 1 5 1 0 x 代入代入得得 1 1 5 0 75 x 2 1 488095 0 755952 x 3 1 488034 0 755983 x x 3 的每一的每一位位数数字字都都是有是有效效数数字字 64 Matlab函数函数 roots c 多多项项式求式求根根 向量向量 c为多为多项项式式降降幂幂排排列列系系数数 fzero fun x0 非线性非线性方方程程求求解解 fsolve fun x0 非线性非线性方方程程组求组求解解 Printed with FinePrint purchase at PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 65 3 5 2 1 01 1 敛的敛的说明所用迭代格式是收说明所用迭代格式是收 位有效数位有效数精确至精确至用迭代法求出这些根用迭代法求出这些根 分析该方程存在几个根分析该方程存在几个根 给定方程给定方程例例 x exxf 1 1 1 x exxf解解 x xexf lim 2 0 1 lim 0 0 0 0 xf f xf f f xx 单调上升单调上升 极小值极小值 单调下降单调下降 01 2 2 ef 上只有一个根上只有一个根在在Rxf 2 1 有根区间为有根区间为 01 1 f 66 01 1 x exxf 2785 10 的近似根为的近似根为 xf 2 1 0 1 2 1 L nex n x n 令令1 0 x取取 3679 1 1 x 2546 1 2 x 2852 1 3 x 2766 1 4 x 2790 1 5 x 2783 1 6 x 2785 1 7 x 2785 1 8 x x ex 1 3 迭代函数迭代函数 x ex 1 max 1 2 1 ex x 2 1 2 1 xx 时时 上述迭代格式收敛上述迭代格式收敛由压缩映像原理由压缩映像原理 x ex 1 牛顿迭代用牛顿迭代用5次次 67 01 1 x exxf 2785 10 的近似根为的近似根为 xf 1 0 x取取 3679 1 1 x 2 1 2851 x 3 1 2785 x 4 1 2785 x 牛顿迭代 牛顿迭代 1 2 n nn n f x xx fx 牛顿牛顿迭代用迭代用5次次 1 nn n xx n nx n x ee x x e 68 3 1 0 3 3 2 2 1 0 且且收敛阶收敛阶为为收敛于收敛于产生的迭代序列产生的迭代序列 按按迭代公式迭代公式时时充充分分接接近近证明当证明当例例 ax n ax axx x ax n n nn n L ax axx x 2 2 3 3 迭代函数迭代函数解解 x xx 解解 ax axx x 2 2 3 3 即即 0 axx 得得 22222 2222 3 33 3 6 3 3 xaxax xaxxa xaxa 69 3 收敛收敛的的阶阶是是 n x 3 22 22 ax ax x x 3 189 16 42 224 3 ax aaxxa x 0 a 0 a 0 13 1189 16 3 2 3 aa aa a 8 4 由定理由定理 8 3 0 aax时时 迭代格式迭代格式收敛收敛到到充充分分接接近近由定理由定理 2 23 16 3 xa xa xa 70 3 1 lim k k k xa xa 法法证明收敛阶证明收敛阶的的另另一一种种方方 3 2 2 3 3 lim k k kk k xa ax axx a 3 1 lim 2 axk k 0 4 1 a 3 收敛收敛的的阶阶是是则则 k x 71 10 3 1 3 2 0 1 3 6 1 1 2 xxxf 2 1 0 内内有且有且仅仅有一有一个个根根在在 xf 75 牛顿牛顿法法求求此此方方程根程根的计算公式为 的计算公式为 13 12 13 1 2 3 2 3 1 n n n nn nn x x x xx xx 代入上式得代入上式得将将5 1 0 x 32472 1 32472 1 32520 1 34783 1 43 21 xx xx 3247 1 x 013 1 23 xxfxxxf 2 1 0 1 L n xf xf xx n n nn 76 0 1 22 2 xf xfxf xf xfxfxf x 22 4 2 f ffffff ffx x ffxxx 于于是是牛顿牛顿法法的的收敛阶收敛阶为为2 xx xf xf xx 迭代函数迭代函数 60 1 2 fxxx Q 13 1 23 xxfxxxf 0 xf 0 fx x fx 77 3 1 0152 1 3 进进行行二二步步后根的区间为后根的区间为 进进行行一一步步后后所所在区间为在区间为内内的根的根在区间在区间 用二分法求方程用二分法求方程