土耳其商人和帽子的故事(逻辑推导).doc

土耳其商人和帽子的故事这是著名物理学家爱因斯坦出过的一道题。一个土耳其商人，想找一个十分聪明的助手协助他经商，有两个人前来应聘，这个商人为了试一试哪一个聪明些，就把两个人带进一间漆黑的屋子里，他打开电灯后：“这张桌子上有五顶帽子，两顶是红色的，三顶是黑色的。现在，我把灯关掉，而且把帽子摆的位置弄乱，然后我们三个人每人摸一顶帽子戴在头上，在我开灯后，请你们尽快的说出自己头上戴的帽子是什么颜色的。”说完之后，商人将电灯关掉，然后三人都摸了一顶帽子戴在头上，同时商人将余下的两顶帽子藏了起来，接着把电灯打开，这时，那两个有应试者看到商人头上戴的是一顶红帽子，过了一会儿，其中一个人便喊到：“我戴的是黑帽子。”请问这个人猜得对吗？是怎么推导出来的？ 前面，我们提出了三种基本逻辑运算，可分别称为析取（）、合取（）和否定（）。还有两种运算：蕴涵运算（）和等值运算（？）。可分别由表2.1和表2.2来定义：对于命题P与Q，“若P则Q”称为条件命题，记作PQ，它的含义也规定为复合命题PQ，即PQ=PQ。由真值表2.1可见：在条件命题中，如果条件P为假（0），那么恒为真；如果条件P为真（1），那么的真假决定于结论Q的真假。因为有定义，所以“PQ”不是一种新的运算，但由于“若，则”的形式是人们常用的语言，所以把它当作一种重要运算，在进行推理时常常是方便的。如果命题恒真，即PQ=1，则称P蕴涵Q，故也称“”蕴涵运算，当时，也记成，这正是我们数学书上常遇到的情形。P?Q严格说，不是命题，而是P与Q之间的一种关系。对于命题P和Q，当且仅当命题P和Q真值相等时，称为等值（即P与Q同真假），记为P?Q。当P?Q是真的，即P?Q=1时，也称为恒真命题。我们利用上述五种运算和数学上的括号，可以构成各种符号序列，我们称之为公式，这里一切公式都应满足下述要求：（1）一切变项P，Q，R，是公式；（2）如果P，Q，R是公式，那么？P，PQ，PQ，PQ，PQ也是公式；（3）除由（1），（2）两条规则建立起来的符号序列外都不是公式。在建立的公式中，真值联结词按照结合力由强到弱顺序排列为,？：。任何公式（复合命题）都有相应的真值形式。无论公式P，Q的真值如何，其组成的最后公式始终得到真的值，这样的真值形式叫做重言式的真值形式，简称重言式。比如公式（PQ）?（PQ）。它的真值表如表2.3，故此公式为重言式。普通逻辑中的各种复合推理形式，在命题逻辑中都可以表示为相应的真值形式，因此可以运用真值形式来反映一个推理的形式结构。在普通逻辑中常用图表示推理形式，用图表示可写成： 横线上为两个前提，横线以下是结论，前提和结论之间存在着蕴涵关系，用蕴涵式表达：蕴涵式的前件是各个前提的合取，后件则是结论，这样这个图式的蕴涵式是（PQ）PQ同时，相当于一个正确推理形式的蕴涵式还必须是一个重言式，但要注意，正确推理形式是不依赖于前提和结论的具体内容，只要蕴涵式总是真的，这个蕴涵式的真值，可由表2.4反映出来。从表中可见，只有在（PQ）P为真的情况下，两个前提PQ和P才都是真的。同时Q也是真的，前提真则结论必真。这个推理形式保证了从真的前提到真的结论的过度，因此是一个正确的推理形式。相反的，一个不正确的推理形式虽然也有一个相当的真值形式，但这样的真值形式都不是永真的，即不是一个重言的真值形式，如推理形式： 这种推理是错误的，与这种推理形式相当的蕴涵式是（PQ）PQ这个公式的真值形式的真值表是表2.5，显然此真值形式不是永真的。由此可知，每一个推理形式都相当于一个真值形式，正确的推理形式相当于一个重言式；不正确的推理形式虽然也有相应的真值形式，但它不是重言式，判别一个推理形式是否正确，就要判别其相当的蕴涵式是不是一个重言式，重言式是判别一个命题表达式推理形式是不是正确的有效公式。把命题逻辑的重言式组成一个公理系统就得到命题演算，而这就是命题逻辑的公理化，即从公理（初始命题的 重言式）出发，应用明确规定的推演规则，进而推出一系列重言式的演绎体系。由公理去推导出其余的重言式，还要有一定的变形规则，这主要有两条：代换规则和分离规则（又称蕴涵原则，即从AB的真和A的真，可以推出B的真）。 现在我们来解本节一开始提出的问题。设P1表示“猜对的人戴红帽子”；P2表示“猜对的人戴黑帽子”；Q1表示“另一个人戴红帽子”；Q2表示“另一个人戴黑帽子”；R1表示“商人戴红帽子”。现在知道，商人头上戴的是红帽子，即R1为真，又知道另一个人没有作出断定，即既不能断定Q1为真，也不能断定Q2为真。根据题设条件，可得如下公式：R1P1Q2：如果商人和猜对的人戴的都是红帽子，那么另一个戴的就是黑帽子，因为红帽子只有两顶。R1Q1P2：如果商人和另一个戴的都是红帽子，那么猜对的人戴的就是黑帽子。P1P2：如果猜对的人戴的不是红帽子，那么他戴的就是黑帽子。Q1Q2：如果另一个人戴的不是红帽子，那么他戴的就是黑帽子。推演步骤如下：设P1（1）P1（根据假设）；（2）R1（根据题设）（3）R1P1（合取构成）；（4）R1P1Q2（根据题设）（5）Q2（3）（4）分离）。这就是说，“另一个人戴黑帽子”这个判定是必然可以作出的，但是这与题设条件（即“另一个没有作出判定”）相矛盾，因此，P1为假，即P1为真，故可得：（6）P1；（7）P1P2（根据题设）；（8）P2（6）（7）分离）。这就是说，“猜对的人戴着黑帽子”是真的，所以猜对的人肯定的说：“我戴的是黑帽子”。 聪明的囚徒古希腊有个国王，对处死囚徒的方法作了两种规定：一种是砍头，一种是绞刑。并他自恃聪明的做出一种规定：囚徒可以说一句话，并且这句话是马上可以验证其真假。如果囚徒说的是真话，那么处以绞刑，如果囚徒说的是假话，那么处以砍头。许多囚徒或者是因为说了假话而被砍头或者因为说了真话而被处以绞刑。 有一位极其聪明的囚徒，当轮到他来选择处死方法时，他说出一句巧妙的话，结果使这个国王按照哪种方法处死他，都违背自己的决定，只得将他放了。试问：这囚徒说的是句什么话？在时常的语言中，一般地讲，只有陈述句才可分辨真假。凡是可以决定真假的语句叫做命题。但陈述句中有两种形式不是命题。如陈述句“这道题很难”、“那个人很年轻”等，“很难”、“相当年轻”等这些概念没有清晰的界限，属于模糊命题，这类命题不属于我们讨论范围。 还有一类，就陈述句本身而言，确实很明确，但与其他命题联合起来，就无法判定其真假。如在一张空白的双面卡片上，正面写上一句：“A：这张卡片背面的句子是真的。”而在该卡片的背面写上一句：“B：这张卡片背面的句子是假的。”若A是真的，那么B就是真的，即“这张卡片背面的句子是假的”为真，这就导致句子A是假的。若A是假的，那么B就是假的，即“这张卡片背面的句子是假的”为假，这就导致句子A是真的。两个句子都没有谈到自身，但放到一起，它们就不断改变着它们的真实性，结果就无法判断出任何一个句子的真假性。这不是诡辩，这是命题悖论。在日常语言活动中，留心命题逻辑这一问题的人，往往还可找到许多这样的例子。最典型的例子就是“说谎者悖论”：“我正说的这句话是假话”。试问这句话是否真是谎话呢？若是谎话，则它陈述的事实为假，因而“我”说的就不是谎话；若不是谎话，则它陈述的事实为真，因而“我”说的又是谎话。总之无法自圆其说。又如“自谓悖论”：一个形容词能够形容自己，则称为“自谓的”，否则就是“非自谓的”。例如，“中文的”这个形容词就是“自谓的”，因为它不但可以形容一切用中文书写或印刷的东西，还可以形容它自己，它自己也是“中文的”，而“英文的”这个形容词就是“非自谓的”，因为它本身是非英文的。现在问“非自谓的”这个形容词是否“自谓”呢？若它是自谓的（即可以自己形容自己），则正好又与它本身的的词义相同，按照“自谓的”的定义，它又应该是自谓的。 所谓命题悖论是：一个命题Q，如果从Q为真，可以推出Q为假；有从Q的否定为真（即Q为假），可以推出Q为真，我们就说Q是一个命题悖论。这类悖论 往往还是与语义有关的悖论。命题悖论是与集合悖论密切相关的，每一命题悖论可以重新组织为一个关于集合的悖论；反之每一集合悖论可以可以重新组织为一个关于命题的悖论。最初罗素为了排除这种悖论，提出下面的观点：语言应该层次分明，同一层次的语言不能在其自身中讨论真假，建立了所谓“简单类型论”。按照这个理论，把集合按其类型的级别加以排列，一个集合不能是低一级的任何集合的元素，这样就把第四个问题中的罗素悖论的“一个集合是它本身的一个元素”就排除掉了，从而消除了自相矛盾的集合，这也就是在命题逻辑中规定了合格命题的法则。但罗素的这种类型悖论并没有被大多数逻辑学者所接受，进而导致了各种公理化集合论， 聪明的囚徒所说的话，应使国王无论