2011届新课标人教版高中第1轮总复习理科数学课件第19讲.ppt

1 2 第三单元导数及其应用 3 第19讲 定积分及简单应用 4 1 了解定积分的实际背景 了解定积分的基本思想 了解定积分的概念 2 了解微积分基本定理的含义 5 1 下列积分的值为1的是 C A B C D x 1 6 2 曲线y cosx 0 x 与坐标轴所围成图形的面积是 B A 2B 3C D 4 由曲线y cosx 0 x 的图象及面积意义知 所求面积为S cosx dx 3cosxdx 3sinx 3 7 3 x dx等于 C xdx x dx x dx xdxxdx x dx 因为 x x x 0 x x 0 所以 x dx x dx xdx 8 4 一物体在力F x 4x 1 单位 N 的作用下 沿着与力F相同的方向 从x 1运动到x 3处 单位 m 则力F所做的功为 D A 8JB 10JC 12JD 14J 由变力做功公式有W 4x 1 dx 2x2 x 14J 9 5 做匀变速直线运动的物体 初速度为30m s ts后的速度v 30 1 5t 4 则该物体停止运动时 运动的路程是m 设物体经过ts后停止 由30 1 5t 4 0 得t 所以运动路程为s 30 1 5t 4 dt 30t t2 30 2 m 10 1 定积分的概念如果函数f x 在区间 a b 上连续 用分点a x0 x1 xi 1 xi xn b将区间 a b 等分成n个小区间 在每个小区间 xi 1 xi 上任取一点 i i 1 2 n 作和式f i x 当n 时 上述和无限接近某个常数 这个常数叫做函数f x 在区间 a b 上的定积分 11 记作 f x dx 即f x dx a与b分别叫做积分下限与积分上限 区间 a b 叫做积分区间 函数f x 叫做被积函数 x叫做积分变量 f x dx叫做积式 1 定积分f x dx是一个常数 12 2 定积分的几何意义 当函数f x 在区间 a b 上恒为正时 定积分f x dx的几何意义是由曲线 和直线 所围成的曲边梯形的面积 如图中阴影部分 y f x x a x b a b y 0 13 一般情况下定积分f x dx的几何意义是介于x轴 函数y f x 的图象以及直线 之间的曲边梯形面积的代数和 如图 其中在x轴上方的面积取正号 在x轴下方的面积取负号 x a x b 14 3 定积分的性质 kf x dx kf x dx k为常数 f x g x dx f x dx g x dx f x dx f x dx f x dx 其中a c b 2 微积分基本定理如果f x 是区间 a b 上的连续函数 并且 则f x dx F x F b F a 其中F x 是f x 的一个原函数 F x f x 15 3 求定积分的方法 1 定义法 分割 n等分区间 a b 近似代替 取点 i xi 1 xi 用f i 近似地代替f x 在 xi 1 xi 上的函数值 求和f i 取极限 f x dx f i 16 2 利用微积分基本定理求定积分f x dx 求f x 的一个原函数F x 计算F b F a 3 利用定积分的几何意义求定积分 4 定积分的简单应用 1 定积分在几何中的应用 求曲边梯形的面积 17 2 定积分在物理中的应用 求变速直线运动的路程 s v t 为速度函数 求变力所做的功 W v t dt F x dx 18 题型一定积分的概念及几何意义 例1 求下列定积分 1 dx 2 4 x x 2 dx 19 1 因为dx表示曲线y 与直线x x 1及x轴所围成的面积 如图 所以dx 20 2 4 x x 2 dx 4 x dx x 2 dx表示 OBD的面积与 OAE及 ABC和的差 如图 故 4 x x 2 dx 4 4 2 2 2 4 解定积分的概念 利用定积分的几何意义求定积分是常用技巧之一 21 2010 广东潮州调研 已知f x 为偶函数且f x dx 8 则f x dx等于 D A 0B 4C 8D 16 原式 f x dx f x dx 因为原函数为偶函数 所以在y轴两侧的图象对称 所以对应的面积相等 则f x dx 2f x dx 16 22 计算下列定积分 1 2sinx 3ex 2 dx 2 sinx sin2x dx 3 dx 题型二定积分的计算 例2 23 1 2sinx 3ex 2 dx 2sinxdx 3exdx 2dx 2 cosx 3ex 2x 2 cos cos0 3 e e0 2 0 7 3e 2 2 函数y sinx sin2x的一个原函数为y cosx cos2x 所以 sinx sin2x dx cosx cos2x 1 24 3 原式 dx sinx cosx dx sinx cosx dx sinx cosx dx cosx sinx dx sinx cosx dx sinx cosx cosx sinx 2 1 25 利用微积分基本定理求定积分 其关键是求出被积分函数的原函数 求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算 因此应熟练掌握一些常见函数的导数 此外 如果被积函数是绝对值函数或分段函数 那么可以利用定积分的性质f x dx f x dx f x dx 根据函数的定义域 将积分区间分解为若干部分 代入相应的解析式 分别求出积分值 相加即可 26 题型三定积分的简单应用 例3 求由曲线y2 x y x2所围成的图形的面积 如图所示 由y2 xy x2 得出交点的横坐标为x 0及x 1 因此所围成图形的面积S dx x2dx 求平面图形的面积 关键是弄清该图形的生成函数关系及其位置 27 例4 一点在直线上从时刻t 0 s 开始以速度v t2 4t 3 m s 运动 求 1 在t 4s时的位置 2 在t 4s时运动的路程 1 在时刻t 4s时该点的位置为 t2 4t 3 dt t3 2t2 3t m 即在t 4s时刻该点距出发点m 28 2 因为v t t2 4t 3 t 1 t 3 所以在区间 0 1 及 3 4 上 v t 0 在区间 1 3 上 v t 0 所以在t 4s时的路程为s t2 4t 3 dt t2 4t 3 dt t2 4t 3 dt t2 4t 3 dt t2 4t 3 dt t2 4t 3 dt 4 m 即在t 4s时运动的路程为4m 29 因为位置决定于位移 所以它是v t 在 0 4 上的定积分 而路程是位移的绝对值之和 因此需判断在 0 4 上 哪些时间段的位移为负值 30 若直线l y t2 t 0 t t为常数 与函数f x x2 x的图象以及y轴所成的封闭图形的面积为S1 t 若直线l与函数f x 的图象所围成的封闭图形的面积为S2 t 已知g t S1 t S2 t 当g t 取最小值时 求t的值 先确定出封闭图形S1 t S2 t 的面积 建立面积的函数关系式 最后求最值 31 由y x2 xy t2 t 得交点坐标为 t t2 t 和 1 t t2 t 又因为0 t 所以t2 t t 2 0 而函数y x2 x的顶点坐标为 32 由定积分的几何意义 得g t S1 t S2 t x2 x t2 t dx 2 t2 t x2 x dx x3 x2 t2 t x 2 t2 t x x3 x2 t3 t2 t3 t2 2 t2 t t2 t t t3 t2 2t3 t2 t 33 故g t 6t2 5t 1 3t 1 2t 1 令g t 0 解得t 或t 舍去 当t 0 时 g t 0 函数g t 在区间 上单调递增 故当t 时 函数g t 有最小值 解决此问题的关键是正确的确定图形的位置 再利用定积分的几何意义求得图形面积函数的解析式 34 1 定积分的概念 1 定积分的定义是由实际问题抽象概括出来的 它的解决过程充分体现了 由直到曲 由 有限到无限 的极限的思想 2 利用定积分的定义求定积分可以分为四步 分割 近似代替 求和 取极限 注意 定积分是一个数值 极限值 它只与被积函数以及积分区间有关 而与积分变量无关 即f x dx f t dt f u du 35 f x dx f x dx f x dx 三者在几何意义上的不同 当f x 0 即函数f x 的图象全部在x轴上方时 f x dx f x dx f x dx 都表示界于x轴 曲线y f x 以及直线x a x b之间的曲边形的面积 当f x 0 即函数f x 的图象全部在x轴下方时 f x dx f x dx 表示界于x轴 曲线y f x 以及直线x a x b之间的曲边形的面积 而f x dx 0 其结果是面积的相反数 36 当函数f x 的图象在x轴上方和下方都有时 f x dx表示界于x轴 曲线y f x 以及直线x a x b之间各部分面积 如图阴影部分所示 37 2 微积分基本定理使我们找到了求定积分的一般方法 不需要根据定义求和式的极限 只要求出积函数的任意一个原函数 并且一般使用不含常数的原函数 再计算原函数在积分区间上的改变量即可 分段函数的定积分及绝对值函数的定积分问题 都可以实施分段求解的方法 3 定积分的应用主要有求平面图形面积 变速运动路程及变力做功三个方面 1 利用定积分求平面图形面积的关键是画出几何图形 结合图形位置 38 确定积分区间以及被积函数 从而得到面积的表达式 再利用微积分基本定理求出积分值 对于由两条曲线所围成的图形面积计算问题 一定要注意结合图形特征 适当地进行分段处理 要善于进行分解 2 利用定积分解决变速运动问题和变力做功问题 关键是求出物体作变速运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系 确定好积分区间 得到积分表达式 再利用微积分基本定理计算即得所求 39 2009 广东卷 已知甲 乙两车由同一起点同时出发 并沿同一路线 假定为直线 行驶 甲车 乙车的速度曲线分别为v甲 v乙 如图所示 那么对于图中给定的t0和t1 下列判断中一定正确的是 A A 在t1时刻 甲车在乙车前面B t1时刻后 甲车在乙车后面C 在t0时刻 两车的位置相同D t0时刻后 乙车在甲车前面 40 在t0时刻之前 因为v甲 v乙 所以甲车一直在乙车前面 在t0时刻以后 因为v乙 v甲 所以乙车会