第四章 中值定理与导数的应用(全).ppt

第四章中值定理与导数的应用 4 1微分中值定理 4 2洛必达法则 4 3函数的单调性 4 4函数的极值与最值问题 4 5曲线的凸凹性与拐点 4 6曲线的渐近线和函数作图 4 1微分中值定理 二 拉格朗日中值定理 一 罗尔定理 三 柯西中值定理 本节我们将介绍导数的一些更深刻的性质 函数在某区间的整体性质与该区间内部某点处导数之间的关系 由于这些性质都与自变量区间内部的某个中间值有关 因此被统称为中值定理 我们知道导数和微分是讨论小增量 y f x x f x 的有效工具 自然进而要问 这一工具是否也有助于对宏观增量f b f a 的研究 微分中值定理对此做出肯定的回答 引理 费马定理 证 2 最大值点必在 a b 内 设为 证 1 结论成立 注意 定理的三个条件有一个不满足 定理的结论就可能不成立 1 由图可知 函数不满足连续的条件 2 由图可知 函数在x 0不满足可导的条件 3 定义在 0 1 函数y x 不满足端点函数值相等的条件 例1 验证罗尔定理对函数 在区间 上的正确性 解 且 解 例3 证 例4 证 例5已知函数f x 在闭区间 0 1 上连续 在开区间 0 1 内可导 且f 1 0 试证 在开区间 0 1 内至少存在一点 证 构造函数 令F x xf x 则F x 在 0 1 上满足罗尔中值定理的条件 于是在开区间 0 1 内至少存在一点 几何意义 使得 使曲线在C处的切线平行于弦AB 证明思路 把曲线的两个端点A B拉平 证 由罗尔定理知 在 a b 内至少存在一点 使得 罗尔定理 称为拉格朗日中值公式 注 1 对于b a也成立 2 有限增量定理 也叫微分中值定理 推论 推论 证 在区间I上任取两点 3 证 例1 在 1 x 上应用拉格朗日中值定理 证 例2 在 0 x 上应用拉格朗日中值定理 例3证明恒等式 证 所以 例4已知函数f x 在闭区间 a b 上连续 在开区间 a b 内可导 且f a f b 0 试证 在开区间 a b 内至少存在一点 证 则F x 在 a b 上满足罗尔中值定理的条件 于是在开区间 a b 内至少存在一点 注 几何意义 曲线的参数方程 C点处切线斜率为 它等于弦AB的斜率 直接验证知 由罗尔定理知 在 a b 内至少存在一点 证 证 设 故 例5设 在 上连续 在 内可导 证明 使得 证 例6设 在 上连续 在 内可导 证明 使得 故 例7 证 则F x 在 0 1 上连续 在 0 1 例8 证 于是存在 故存在 一 未定式 二 x a时型未定式 三 未定式 四 其它未定式 4 2洛必达法则 洛必达法则 例如 一 定理 那么 不妨假定 由柯西中值定理 有 证 设 解 例1 例2 解 并且可以依次类推进行计算 1 注1 特别提醒 每次用洛必达法则前必须进行检验 例3 解 例4 解 如果 二 三 例5 解 例6 解 例7 解 对于其它未定式 如 四 例8 解 解 例9 例10 解 解 例11 例12 解 特别提醒 洛必达法则与其它方法结合使用 会使计算简化 方便 例13 解 例14 解 但 极限存在 若用洛必达法则 则 例15 解 注2 不存在 例16 解 若用洛必达法则 则 事实上 解 例17 若用洛必达法则求 则有 极限不存在 但 本题还可如下做 例18 解 一 函数单调性的判定法 设函数y f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 4 3函数的单调性 证 在 a b 上任取两点 由拉格朗日中值定理 有 同理 则 例1 解 1判定函数单调性 即确定其单调区间 一般的解题的格式为 1 确定函数定义域 2 求 3 令解得它的根 4 确定f x 的间断点 不存在的点 5 用把函数的定义域划分为几个部分区间 6 在上面每个小区间上讨论函数的单调性 解 函数的定义域为 令解得x1 x2 x3 当x 时 不存在 列表得结论 二 利用函数单调性所解决的几个问题 一般步骤为 例2 解 例3 解 例4 解 又例 解 例5 解 注 2利用单调性证明不等式 一般要证明 或 例6 证 例7 证 证 例8 3利用函数单调性讨论某些方程的根 得证 证 例9 由零点定理 知 一般方法为 4 4函数的极值与最值问题 一 定义二 必要条件三 第一充分条件四 第二充分条件 设f x 在区间 a b 内有定义 是 a b 内的一点 都有 极小值 一 函数极值的定义 注 极值具有局部性 极值一定在给定的区间内部取得 极大值不一定比极小值大 证 极小值的情况可类似证明 定理1 必要条件 二 函数极值的判定 驻点 注 1 2 负 正 极小值 定理2 充分条件一 证 根据函数单调性的判定法 其它情况可类似证明 5 算出各个极值点处的函数值 即为极值 求函数的极值的步骤 例1 解 2 1 极大 极小 定理3 充分条件二 证 那么 1 因此 由定理2知 2 可类似证明 在例1中 也可如下做 注 例2 解 例3 解 f x 单调减少 三 最大值与最小值 1 最大 小 值点 端点 内部 驻点 导数不存在的点 求出端点 驻点和不可导点处的函数值 其中最大 小 的就是函数的最大 小 值 例4 解 例5 解 2 实际问题中的最大值最小值问题 由实际情况最小周长一定存在 解 1 凹凸性的定义 如果对I上任意两点 4 5曲线的凹凸性与拐点 2 定理 例1 解 例2 解 曲线凹向与凸向的分界点 称为拐点 例3 解 例4 解 定义域为 例5 解 令 得x 0 都有 二阶导数等于零的点 不一定是拐点 注1 例6 解 都不存在 二阶导数不存在的点 也可能是拐点 且曲线在x 0连续 故点 0 0 是曲线的拐点 注2 4 6曲线的渐近线和函数作图 一 曲线的渐近线 1 水平渐近线 2 垂直渐近线 3 斜渐近线 例1 解 一般步骤 利用导数工具描绘函数的图形