人苏教版选修22 1.3.1单调性 教案.doc

1.3导数在研究函数中的应用 1.3.1单调性苏教版普通高中课程标准实验教科书选修2-2教学目标：1、知识与技能目标：通过实例，借助图形直观探索并了解导数与函数单调性的关系，理解并掌握利用导数研究函数的单调性以及求解函数单调区间；2、过程与方法目标：会用导数研究函数单调性，并会用导数求解函数单调区间；3、情感态度与价值观目标：探究导数与函数单调性关系的过程中培养学生数形结合思想和从特殊到一般的数学思想，以及发现问题、解决问题的能力。教学重点：利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间；教学难点：发现和揭示导数值的符号与函数单调性的关系；教学方法与手段：探究式教学模式；利用多媒体现代设备教学教学过程： 一、 复习回顾：我们知道平均变化率可以刻画函数的变化趋势，大家还记得问题1：函数在区间上平均变化率的数学表达式吗？生1：（教师板书），师：那你能给出这个二次函数在上的平均变化率吗？问题2：导数的概念和它的几何意义？生2：（教师板书）师：这个导数又有什么几何意义？生2：曲线在点处切线的斜率师：这个二次函数，它对应的又是什么？生3：师：今天我们一起来学习导数在研究函数中的应用，导数作为函数变化率比较精确地刻画了函数的变化趋势，（板书“导数在研究函数 中的应用”）二、建构数学师：观察二次函数图象，请大家给出在对称轴左右两侧函数的变化趋势生：对称轴左边下降趋势，对称轴右边上升趋势，师：也就是在为减函数，在为增函数，这也是函数的单调性师：你是怎样判断函数单调性的？生：图象法（教师板书）师：我们曾经还学习过判断函数单调性还有什么方法？生：定义法（教师板书）问题3：那函数单调性定义又是什么？ 生：函数的定义域为，区间，任取，当时，则在区间上是单调增函数；，则在区间上是单调减函数。师：回答的非常好！请大家用定义法证明二次函数在 为增函数生： ，不妨设，则，所以，所以函数在为增函数。问题4：大家注意观察，从形式上你发现定义法和平均变化率对应的两式之间有关系吗？，生：有关系师：说的很好！我们发现平均变化率与定义法之间存在某种密切的关系问题5：当自变量的改变量无限趋近于0时平均变化率无限趋近于导数，而定义法可以判断函数的单调性，大家发现了什么？ 生：导数与单调性之间可能也有关系师：说的太好了！同学们发现了导数与函数单调性之间可能也有着某种密切的关系，这个问题的发现是很非常了不起的，那今天我们就来学习导数在研究函数的单调性中的应用。（教师补全课题）问题6：导数与单调性之间究竟什么关系？师：请大家结合切线斜率来观察这个二次函数在对称轴左右两侧导数值有什么不同特点？切线在对称轴左侧移动时，观察导数值特点并记录你所观察到的结果，切线在对称轴右侧移动时，同样也观察导数值特点并记录你的观察结果。生： 在区间上， 函数在该区间为减函数；在区间上， 函数在该区间为增函数。（教师板书）师：我们通过图形直观观察得出结论，请大家回到导数定义中来，不妨假设，问题7：你能从“数”的角度解释为什么在上，得到在该区间为增函数？ 生：小组交流讨论教师点评归纳：不妨设，当时，若，得到， ，所以 ，得到在为增函数。 师：对于这个二次函数我们体会到平均变化率、定义法、导数、单调性四者密切相关，通过这四者之间的关系，我们从图形直观观察得到结论，又结合导数定义从“数”的角度解释了结论，做到了数形的完美结合。更一般地，我们也可以用导数值的符号来判断函数的单调性，你能归纳出一个一般性的结论吗？生：对于函数， 在某个区间上函数在该区间上为增函数；在某个区间上函数在该区间上为减函数师：归纳的很好！这样大家便有了一种研究函数单调性新的方法导数法。尤其对于那些很难作出图象，或者用定义法也很难判断单调性的函数，我们就可以选择导数法（板书）。三、数学运用：例1：用导数法确定函数在哪个区间上是增函数，在哪个区间上是减函数？ 解：，令，解得，即在区间上为增函数令，解得，即在区间上为减函数（教师板书）师：结合这道例题，你能归纳出利用导数求解函数单调区间的主要步骤吗？生：回答教师点评步骤：（1）求导数；（2）解和；（3）写出单调区间。最后不忘函数定义域四、课堂练习：例2：用导数法确定函数在哪些区间上是增函数？在哪个区间上是减函数？（请学生板演） 解：令，解得，令，解得，因此函数在和上为增函数，在上为减函数教师追问：你能根据函数单调性在演练纸上作出反映三次函数单调性变化趋势的简图吗？（实物投影学生演练纸）生：解释怎样做出函数简图：（1）找导函数零点；（2）分区间；（3）由单调性作图师：我们利用导数值的符号来研究了函数的单调性，体会到导数法可以作为研究函数单调性的一般方法，那对于这个结论请大家思考：问题8：若函数在某个区间单调递增，那么在该区间上必有吗？大家请结合函数来思考生：，发现 师：由此看来若函数在某个区间单调递增，那么在该区间上不一定有。师：通过这节课的学习，你学习了哪些知识？体会了哪些数学思想？五、回顾小结：生1： 学习到利用导数值的符号来判断函数的单调性，及利用导数求解函数的单调区间；生2：在探究导数与函数单调性之间的关系时，通过图形直观观察，体会到了数形结合的数学思想和特殊到一般的数学思想。师总结归纳：平均变化率、定义法、导数、单调性四者密切相关，通过四者关系我们得到了一个结论，学习了判断函数单调性新的方法导数法，在探究这个结论的过程中，以一个二次函数为例，先从图形直观观察得出结论，然后结合导数定义从“数”的角度解释结论，最后将结论一般化，渗透了两种思想：数形结合、研究问题从特殊到一般，利用导数