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泛函分析习题及参考答案 一 在 2 R中定义如下三种距离 2 1212 xx xyy yR 22 11122 d x yxyxy 21122 max dx yxyxy 31122 dx yxyxy 试证 212 2ddd 313 2 2 ddd 232 2ddd 从而这三种距离诱导出的极限是等价的 二 设 yxd为空间X上的距离 试证 1 xyd xyd xyd 也是X上的距离 证明 显然 0 yxd并且yxyxdyxd 0 0 再者 1 1 yxd yxd yxd xyd xyd xyd 最后 由 tt t 1 1 1 1 的单调增加性及 yzdzxdyxd 可得 1 1 1 1 yzdzxd yzd yzdzxd zxd yzdzxd yzdzxd yxd yxd yxd 1 1 yzdzxd yzd yzd zxd zxd 三 设1p 1 i nnp n xl 2 1 n 1 p i xl 则n 时 1 1 0 p p n nii i d xx 的充要条件为 1 n 时 n ii 1 2 i 2 0 存在0N 使得 1 p np i i N 存在 1 0N 使得 1 1 2 p p i i N 时 1 2 p np ii i 由此可得 11 111 111 pp p pp p nnp iiii i Ni Ni N 成立 对于 1 1 2 nN 存在 2 0N 2 1 p np i i N 取 12 max NN N 则 1 p np i i N 存在0K 使得 1 2 p np i i K 对任何自然 数n成立 并且 1 2 p p i i K N 使得Nn 时 1 K p np ii i 并且 111 K ppp pnnn niiiiii iii K dxx 11 111 2 p K pp p nnppp iiii ii Ki K xxE p n E p n n dtxxdttxtx xxEm n p 2 1 n 令 n 可得0 xxEm n 即 txn 依测度收敛于 tx 由 tx的积分绝对连续性可知 对任何0 存在0 1 使得Ee 1 me时 存在0 N 使得Nn 时 E p p n dttxtx 2 1 从而 p e p p E p n p e p p e p n p e p n dtxdtxxdtxdtxxdttx 1 1111 即 使Ee 2 me时 e p n dttx 取 min 21 则Ee me时 令 xxEE nn 则0 n mE 由此可知 对任何0 存在0 N 使得Nn 时 n mE 令 xxEF nn 则 nn EF p n p nn p dtxxdtxxxx 此时 p E p p E p E p n p n nnn dtxdtxdtxx 11 p F p n abdtxx n 存在0 使得Ee me时 2 1 p e p n dttx 2 1 存在0 N 使得Nn 时 存在0 N 使得Nn 时 1 1 p n d xxba 即 txn收敛于 tx 五 设B是度量空间X中闭集 试证必有一列开集 21n OOO 包含B 并且 1n n OB 证明 任取 2 1 1 n n n 令 Bx nn xO 则 n OB 并且 n O为开集 2 1 n 任取 1n n Ox 则存在Bxn 使得 n xxd n 1 FxdFx 0 1222 FxdFx 令 2 2 12 2 21 1 FxdFxd 2211 222111 FxFx xGxG 则 21 GG 分别为包 含 21 FF 的开集 假设 210 GGx 则 211220110 FxFxxxdxxd 但是 2 2 21 1221 200121 xxd FxdFxd xxdxxdxxd 是一错误 故而 21 GG 七 试证 l是不可分的距离空间 证明 设 1 0 21 nn lM 则对于任何 Myx nn 当 yx 时 sup1 nn d x y 显然 M与二进制小数一一对应 因而是不可数的 假设 l是可分的 则存在可数稠密子集 n y 使得任何 lMx的邻域 1 3 O x中 至少包含一个 n y 对于任何两个不同的邻域 1 3 O x 1 3 O y Myx 必有 11 33 O xO y 从而 1 3 O xxM 是一族互不相交的球 其总数是不可数的 因此 n y至少也有不可数个 这与 n y是可数的相矛盾 或 由 1 3 n O ylM 以 及M是不可数的 可知存在一个 1 3 n O y包含M中的两个不同点yx 但 1d x y 并且 2 3 nn d x yd x yd y y 和子列 k n xX 使得 0 k n d TxTx 令 0 Fy d y Tx 则 k n TxF 并且F为Y中的闭集 从而FT 1 是X中 的闭集 由 1 k n xT F k n xx 可得 1 xT F 即TxF 由此可得 0 0 0d Tx Tx 这一矛盾说明 n TxTx 十 试证 p l 1 p是完备的距离空间 证明 对于任何基本列 p n xl 1 2 i nnn n x 2 1 n 有0 存在0N m nN 时 1 p nmp ii i 从而对于每个1 2 i n i 是R中 的基本列 由R的完备性可知 存在 i R 使得 n ii n 同时对于任何自然 数s 1 s p nmp ii i 2 2 11 nmnm d xxx txt dt mn 由此可知 n x为 C a b d 中的基本点列 若 n x在 C a b d中收敛 则存在 x tC a b 使得 2 2 0 nn d xxx tx t dt 从而 1 1 2 2 1 1 0 n n x t dtx t dt 由此可得 0 1x 0 1x 这与 x tC a b 矛盾 因此 n x在 C a b d中 不收敛 从而 C a b在积分平均收敛意义下是不完备的 十二 设 xf是R上的可微函数 并且1 xf 则方程xxf 有唯一的实数解 证明 对于任何Ryx yxyxfyfxf 由10 可知 f是完备空间R上的压缩映射 由压缩映射不动点原理可知 xxf 有唯一的实数解 十三 设F是n维欧几里得空间 n R中有界的闭集 A是F到自身中的映射 并且满足下 列条件 对任何 yxFyx 有 yxdAyAxd Axxdx 则 2 AxxdxAAxd 即 0 xAx 这与 inf 0 xFAx Fx 矛盾 故而0 Axxd 从而 xAx 即映射A在F中存在不动点 若 xxxAx 000 Fx 0 则 000 xxdAxAxdxxd b 使得 21 xbx 成立 则对每一个自然数n 存在Xxn 使 得 21 nn xnx 从而 nx x n n 1 2 1 b 使得对任何Xx 21 xbx 成立 同理可证 存在0 a 使得 12 xax 令 a a 1 则0 a 并且对任何Xx 成立着 12 xxa 十六 设 2 1 0 0 nxxXxx nn 并且 nxxn 则 x x x x n n 证明 由xxn 及xxxx nn 或范数的连续性 可得xxn 由xxxxxx xxxx xxxx x x x x nn nn nn n n 1 nxxxxxx xx nn n 0 1 可得 x x x x n n 十七 设 21 XX是一列Banach空间 21n xxxx 是一列元素 其中 nn Xx 2 1 n 并且 0 0 时 ji xx 即 1 1 n p p j n i n xx 从而对每个自然 数n 均有 时 xx i 从而 ixx i 并且 1 1 1 1 n p p n i n n p p n xxxx 由二次型理论可知 1 11 2 22 22 T TTT max TxAxAxxA A xA Ax 同时 存在 0 n xR 0 2 1x 使得 12 0 2 T max TxA A 由此可知 T为有界线性算子 并且 12 2 T max TA A 十九 试求 11 C上线性泛函 0 1 1 0 dttxdttxxf的范数 解 由 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 dttxdttxdttxdttxdttxxf 1 1 2 max2 11 Cxxtx t 可得2 f 取 1 1 1 1 1 1 1 1 n nn nt n txn 则 2 1 1 1 1 nxCx nn 并且 n n n n n n n dtdtntdtntdtxf 1 0 1 1 1 1 0 1 2 1 1 2 1 1 从而 2 1 1 2 n n xff n 由此可得2 f 从而2 f 二十 设无穷矩阵 ij a 2 1 ji 满足 对 1 1 00 kkk k 存在自然数 k i 使得0 1 1 k Ma j jik 令 sgn sgn 1 jiik kk aax 则 lxk 并且 1 0 kkxk 由此可得 sgn 1 ji j ijk k aaTx 11 1 sgnsgnsup j jiji j jiij i k kkk aaaaTx 2 1 1 1 k k Ma j jik 从而 1 0 kk k MTxT k 即有MT 因 而MT 二十一 设X是赋范线性空间 Z是X的线性子空间 Xx 0 又0 0 Zxd 试证 存在 Xf 满足条件 1 当Zx 时 0 xf 2 00 Zxdxf 3 1 f 证明 设 KkZzzkxG 0 对于任何 00 ZxdkxFGzkxx 则F 为X的子空间G上的线性泛函 00 ZxdxF 并且Zx 时 0 xF 0 k时 x k z xkZxdkzxkFxF 000 即有1 F 设 Zzn 使得 nZxdzx n 00 则 000n zxFxFZxd n zxF 0 令 n 可得 00 ZxdFZxd 即1 F 因此1 F 由Banach延拓定理 可得存在 Xf 满足1 0 00 fZxdxfZf 二十二 设X是线性空间 1 x和 2 x是X上两个范数 若X按 1 x及 2 x都是完备的 并且由点列 n x按 1 x收敛于 0 必有按 2 x收敛于 0 试证 存在正数ba 使 121 xbxxa 证明 记Banach空间 21 xXxX分别为FE E到F上的恒等算子为I 则 xxn 即0 1 xxn时 0 22 xxIxIx nn 即IxIxn 从而I为E到F 上的连续线性算子 因此存在正常数b 使得 12 xbx 由逆算子定理 可得 1 I为F 到E上的有界线性算子 从而存在正常数a 使得 2 1 1 1 xxIaxa 因此存在正常数a b 使得 121 xbxxa 二十三 设 YXBTn 2 1 n 其中X是Banach空间 Y是赋范线性空间 若对于每个Xx xTn都收敛 令xTTx n n lim 试证 T是X到Y中有界线性算子 并且 n n TT lim 证明 由已知 对于每个Xx xTn收敛 从而有界 由共鸣定理可知 n T有界 即存在0 M 使得MTn 由TyTxyTxTyxTyxT n n n n n n limlim lim 可知T是X到Y中的线性算子 对于任何Xx xTxTxTxTTx n n n n n n n n lim limlimlim 即有 n n TT lim 二十四 任取内积空间X中一点y 对于任意xX 令 f xx y 试证 f x为 X上有界线性泛函 并计算其范数f 证明 对于任意 x zX 和常数k f xzxz yx yz yf xf z f kxkx ykx ykf x 因此 f x为X上线性泛函 对于任意xX 由 f xx yxy 可知 f x为X上有界线性泛函 并且 fy 不妨设0y 令 y x y 则1x 并且 f xy 由此可得 fy 从而fy 二十五 设 n x是内积空间X中点列 若xxn n 并且对于一切Xy 有 n i jijjii njxxkxxk 1 2 1 0 即njk j 2 1 0 因而 n xxx 21 线性无关 二十八 设X是Hilbert空间 MX M 试证 M 是X中包含M的最小 闭子空间 证明 显然 M 为X中包含M的闭子空间 设F为X中包含M的任意闭子空间 则F为完备的子空间 并且 FM 下证 FF 从而 FF 任取 xF 由正交分解定理可知 12 xxx 12 xF xF 两边与 2 x作内积得 21222 x xx xx x 由 2 0 x x 12 0 x x 可得 22 0 x x 即 2 0 x 1 xxF 因此 FF 或 由 1 xFF 可知 12 0 xxxFF 即 1 xxF 因此 FF 由此可知 FM 综上所述 M 是X中包含M的最小闭子空间 二十九 试证 数域K上内积空间X中向量yx 垂直的充要条件是对一切数K 成立 xyx 充分性证明 由xyx 可得 yxK 即yx 由 此可得 2222 xyxyx 即xyx 三十 设 12 n e ee 为内积空间X中的规范正交系 试证 X到 12 n span e ee 的投 影算子P为 1 n ii i Pxx ee xX 证明 设 12 n Mspan e ee 则M为X中完备子空间 由题意知 对于任何xX xPxy 其中PxM yM 从而 12 n ye ee 设 1 n i i